文档内容
专题24 一次函数与几何综合最值问题及折叠问题（解析版）
第一部分 知识梳理+方法指引
模块一：一次函数和将军饮马模型综合
“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，
而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察．
模型I：最小问题
A A
A
B
P
l
l
P' P l
P
B' B
B
A A
P A
1
C'
C
P E C C P
D
O D B O D B
O F B
P2 D'
P'
模型II：最大问题
A
A
B B'
l
l P
P P' B
模块二：一次函数与折叠问题
一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系：
角度
斜率
方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形）
第二部分 典例剖析+针对训练
【典例1】（2023春•广宁县期末）如图，直线l ：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于
1 2
点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l 与l 交于点C（2，m）．
1 2
（1）求k、b和m的值；（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由；
（4）若动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向点A运动，设点P的运动时间为t秒．
是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【思路引领】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出A，D，C的坐标，利用三角形面积公式求解即可．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．求出直线
BC′的解析式，即可解决问题．
（4）如图，由题意AC=❑√22+22=2❑√2，分3种情形：当AC＝AP＝2❑√2时，当P′C＝P′A时，当CA
＝CP时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
2
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l ：y＝﹣x+4，
2
∵直线l ：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
2
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
1
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k= ．
2
1
∴k= ，b＝4，m＝2．
21
（2）对于直线l ：y= x+1，令y＝0，得到x＝﹣2，
1 2
∴D（﹣2，0），
∴OD＝2，
对于直线l ：y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝4，
2
∴A（4，0），
∴OA＝4，AD＝6，
∵C（2，2），
1
∴S△ADC =
2
×6×2＝6．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（﹣1，5），C′（2，﹣2），
7 8
∴直线BC′的解析式为y=− x+ ，
3 3
8
令y＝0，得到x= ，
7
8
∴E（ ，0）．
7
（4）如图，由题意AC=❑√22+22=2❑√2，当AC＝AP＝2❑√2时，t＝6﹣2❑√2，
当P′C＝P′A时，∠AP′C＝90°，AP′＝2，
∴t＝6﹣2＝4，
当AC＝CP时，P（0，0），此时t＝2．
综上所述，满足条件的t的值为6﹣2❑√2或4或2．
【总结提升】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，等腰
三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式训练】
1．（2023秋•长兴县期末）如图，一次函数y=−x+❑√2第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线
段，垂足为A，连结OP，则Rt△OAP的周长的最小值是（ ）
A．❑√2 B．2❑√2 C．❑√2+1 D．❑√2+2
【思路引领】设点P的坐标为（a，b）（0＜a＜❑√2），则a+b=❑√2，OP=❑√a2+b2，Rt△OAP的周长
＝a+b+❑√a2+b2=❑√2+❑√a2+b2，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2﹣2ab，再根据均值不等式的最值求法解出
结果即可．
【解答】解：设点P的坐标为（a，b）（0＜a＜❑√2），
∵点P（a，b）在直线y=−x+❑√2图象上，∴a+b=❑√2，OP=❑√a2+b2，
∴Rt△OAP的周长＝a+b+❑√a2+b2=❑√2+❑√a2+b2，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2﹣2ab，
∴当ab有最大值时，❑√a2+b2有最小值，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，
❑√2
当a＝b时，ab有最大值，此时a＝b= ，
2
∴Rt△OAP的周长的最小值为❑√2+1．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握均值不等式的求法是解答本题的关键．
2．（2023秋•碑林区期末）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣1，0）
是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+2和y轴上的两个动点，则△CEF的周长最小值是（ ）
A．❑√13 B．2❑√2 C．3 D．❑√10
【思路引领】利用轴对称的性质，过点C分别作AB及BO的对称点即可解决问题．
【解答】解：过点C分别作直线AB和y轴的对称点，记作M和N，
连接MN分别与直线AB和y轴交于点P，Q，
根据轴对称的性质可知，
ME＝CE，NF＝CF，
所以C△CEF ＝CE+CF+EF＝ME+NF+EF，
则当点E与点P重合，点F与点Q重合时，
C△CEF 取得最小值，即为MN的长．
因为一次函数y＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，所以A（﹣2，0），B（0，2），
则OA＝OB＝2，
所以∠BAO＝45°，
所以∠MAC＝90°．
又因为MA＝CA＝2﹣1＝1，AN＝2+1＝3，
则在Rt△AMN中，
MN=❑√12+32=❑√10，
所以△CEF周长的最小值为❑√10．
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性将△CEF的周长进行转化是解题的
关键．
3．（苏州模拟）在直角坐标系中有四个点 A（﹣6，3），B（﹣2，5），C（0，m），D（n，0），当四
边形ABCD周长最短时，则m+n＝ 0 ．
【思路引领】设 A 点关于 x 轴的对称点为 A′，则 A′（﹣6，﹣3），B 点关于 y 轴的对称点是
B′（2，5），设直线A′B′解析式为y＝kx+b，把A′（﹣6，﹣3），B′（2，5）代入得k＝1，b＝
3，所以y＝x+3，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝﹣3，即m＝3，n＝﹣3，即m+n＝0．
【解答】解：∵四边形ABCD周长最短，AB长度一定，∴必须使AD+CD+BC最短，即A′、D、C、B′共线，
作A点关于x轴的对称点为A′，B点关于y轴的对称点是B′，
设直线A′B′为y＝kx+b，
则A′（﹣6，﹣3），B′（2，5），
将其代入直线中得：k＝1，b＝3，
∴y＝x+3，
∵C（0，m），D（n，0），
代入直线方程中，得：m＝3，n＝﹣3，
∴m+n＝0．
故填0．
【总结提升】本题考查了最短线路问题及坐标与图形性质；应用线段AB长度一定，当四边形ABCD周
长最短时，即AD+CD+BC最短，可以利用对称性求解是正确解答本题的关键．
4．（鄂州二模）在直角坐标系中，有四个点 A（﹣8，3）、B（﹣4，5）、C（0，n）、D（m，0），当
n
四边形ABCD的周长最短时， 的值为（ ）
m
3 2 7 2
A．− B．− C．− D．
7 3 2 3
【思路引领】若四边形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A
关于x轴的对称点A′、B关于y轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C、D
n
坐标，得到 ．
m
【解答】解：根据题意，作出如图所示的图象：过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标
轴交点即为所求．
设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y＝kx+b．
∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），
∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），
依题意得：
{−8k+b=−3)
，
4k+b=5
2
{k= )
3
解得 ，
7
b=
3
7
所以，C（0，n）为（0， ）．
3
7
D（m，0）为（− ，0），
2
7
n 3 2
∴ = =− ，
m 7 3
−
2
故选：B．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，利用轴对称与待定系数法求函数解析式相结合，考
查了同学们的综合应用能力．正确作出图形是解题的关键．
5．（2021•青羊区开学）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，
0），点P在线段AC上移动．（1）△ABC的面积为 1 3 ．
（2）当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小，画出图形并求出Q点坐标和
△PQC周长．
【思路引领】（1）过点B作BE∥y轴，过A点作AE∥x轴交于点E，过C作CF∥y轴，过A作AF∥x
轴交于点F，根据S△ABC ＝S梯形EBCF ﹣S△AEB ﹣S△AFC 即可求得；
（2）作P点关于轴的对称点P′，连接P′C交于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，
Q就是△PQO周长最小的点，利用勾股定理求得直线AC的解析式，即可求得P的坐标，进而求得则
8
P′（﹣1， ），个待定系数法求得直线CP′，即可求得Q的坐标，然后根据△PQC周长＝P′C+CP
3
求得即可，
【解答】解：（1）过点B作BE∥y轴，过A点作AE∥x轴交于点E，过C作CF∥y轴，过A作AF∥x
轴交于点F，
∴E（﹣2，4），F（3，4），
∴S△ABC ＝S梯形EBCF ﹣S△AEB ﹣S△AFC1 1 1
＝（BE+CF）•EF× − AE•BE−= AF•CE
2 2 2
1 1 1
＝（6+4）×5× − ×2×6− ×3×4
2 2 2
＝25﹣6﹣6
＝13，
∴△ABC的面积为13，
故答案为13；
（2）∵A（0，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
{ b=4 ) { k=− 4 )
∴ ，解得 3 ，
3k+b=0
b=4
4
∴直线AC的解析式为：y=− x+4，
3
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），
4 8
∴m=− ×1+4= ，
3 3
8
∴P（1， ），
3
作P点关于轴的对称点P′，连接P′C交于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，Q就是
8
△PQO周长最小的点，则P′（﹣1， ），
3
设直线P′C的解析式为y＝mx+n（m≠0），{ −m+n= 8 ) { m=− 2 )
∴ 3 ，解得 3 ，
3m+n=0 n=2
2
∴直线PC的解析式为y=− x+2，
3
∴Q点的坐标为（0，2），
∴△PQC周长＝PQ+CQ+CP，
√ 8 4❑√13
∴CP′=❑(3+1) 2+( ) 2= ，
3 3
√ 8 10
CP=❑(3−1) 2+( ) 2= ，
3 3
4❑√13 10
∴△PQC的周长最小值为： + ．
3 3
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，熟
练掌握待定系数法和轴对称的性质，分类讨论是本题的关键．
类型二 一次函数的折叠问题
【典例2】（2023秋•金水区期末）如图，一次函数y＝kx+b分别与坐标轴交于A（8，0），B（0，15），
24
点M为y轴上一点，把直线 AB沿AM翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为 (0， )或
5
40
(0，− )．
3
【思路引领】设沿直线AM将AB折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，而AB的长度根据
已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM＝BM，在直角△CMO中根据勾股定理
可以求出OM，也就求出M的坐标．
【解答】解：如图所示，当点M在y轴正半轴上时，设沿直线AB将AM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，
∵A（8，0），B（0，15），
∴OA＝8，OB＝15，
∴AB=❑√82+152=17=AC，
∴CO＝AC﹣AO＝17﹣8＝9，
∴点C的坐标为（﹣9，0）．
设M点坐标为（0，b），则OM＝b，CM＝BM＝15﹣b，
∵CM2＝CO2+OM2，
∴（15﹣b）2＝92+b2，
24
∴b= ，
5
24
∴M(0， )；
5
如图所示，当点M在y轴负半轴上时，
OC＝OA+AC＝8+17＝25，
设M点坐标为（0，b），则OM＝﹣b，CM＝BM＝15﹣b，
∵CM2＝CO2+OM2，
∴（15﹣b）2＝252+b2，40
∴b=− ，
3
40
∴M(0，− )，
3
24 40
故答案为：(0， )或(0，− )．
5 3
【总结提升】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的
关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
【变式训练】
1
1．（2023秋•宿豫区期末）将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象
2
的对应的函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=− x−2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y= x−2
2 2 2 2
【思路引领】利用平移规律得出平移后关系式，再利用关于x轴对称的性质得出答案．
1 1
【解答】解：将y= x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得的函数是y= x+2，
2 2
1 1
将该函数的图象沿x轴翻折后所得的函数关系式﹣y= x+2，即y=− x﹣2，
2 2
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移的规律以及关于x轴对称的点的
坐标特征是解题关键．
2．（2022•利辛县二模）将函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象位于x轴上方的部分沿x轴翻折至其下方，
所得的折线记为图象C，若图象C在直线y＝﹣3上方所有点（含交点）的横坐标x均满足0≤x≤4，则
b的取值范围是（ ）
A．3≤b≤5 B．0≤b≤3 C．0＜b＜3 D．3＜b＜5
b+3
【思路引领】先解不等式﹣2x+b≥﹣3得x≤ ；再求出函数y＝﹣2x+b沿x轴翻折后的解析式为y＝
2
b−3
2x+b，解不等式2x﹣b≥﹣3得x≥ ；根据横坐标x均满足0≤x≤4，即可求出b的取值范围．
2
【解答】解：∵y＝﹣2x+b，
∴当y≥﹣3时，﹣2x+b≥﹣3，b+3
解得x≤ ，
2
∵翻折后y＝﹣2x+b变成﹣y＝﹣2x+b，即y＝2x﹣b；
∵y≥﹣3，即2x﹣b≥﹣3，
b−3
解得：x≥ ，
2
b−3 b+3
∴ ≤x≤ ，
2 2
∵满足0≤x≤4，
b−3
∴当 = 0，解得b＝3，
2
b+3
当 = 4，解得b＝5，
2
∴3≤b≤5．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数 y＝﹣2x﹣b沿x轴翻折后的解析式是解
题的关键．
3．（2023秋•鼓楼区期末）要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图
象的运动方式中，可行的是 ②③ （只填序号）．
①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线
翻折．
【思路引领】分别求得变换后的函数解析式，再代入x＝1判断即可．
【解答】解：①将一次函数y＝﹣3x+2的图象向下平移9个单位长度得到y＝﹣3x+2﹣7＝﹣3x﹣5，
当x＝1时，y＝﹣8，则经过点（1，﹣8），
②将直线y＝﹣3x+2绕点（0，﹣1）旋转180°得到y＝﹣3x﹣4，
当x＝1时，y＝﹣8，则经过点（1，﹣7），
③将y＝﹣3x+2沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折得到y＝3x﹣10，
当x＝1时，y＝﹣7，则经过点（1，﹣7），
故答案为：②③．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规
律和旋转的性质是解题的关键．
4．（2023秋•中原区期末）一次函数y＝kx+b分别与坐标轴交于A（0，12），B（﹣5，0），点P为y轴10 15
上一点，把直线AB沿BP翻折，点A刚好落在x轴上，则点P的坐标为 （ 0 ， ）或（ 0 ， − ）
3 2
．
【思路引领】设把直线AB沿BP翻折，点B正好落在x轴上的C点，则有AP＝PC，而AB的长度根据
已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CP＝AP，在直角△CPO中根据勾股定理可
以求出OP，也就求出P的坐标．
【解答】解：如图所示，当点P在y轴正半轴上时，
设把直线AB沿BP翻折，点A正好落在x轴上的C点，则有AP＝PC，
∵B（﹣5，0），A（0，12），
∴OA＝12，OB＝5，
∴AB=❑√122+52=13＝BC，
∴CO＝BC﹣BO＝13﹣5＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
设P点坐标为（0，b），则OP＝b，CP＝AP＝12﹣b，
∵CP2＝CO2+OP2，
∴（12﹣b）2＝82+b2，
10
∴b= ，
3
10
∴P（0， ）；
3
如图所示，当点P在y轴负半轴上时，OC＝OB+BC＝5+13＝18，
设P点坐标为（0，b），则OP＝﹣b，CP＝AP＝12﹣b，
∵CP2＝CO2+OP2，
∴（12﹣b）2＝182+b2，
15
∴b=− ，
2
15
∴P（0，− ），
2
10 15
故答案为：（0， ）或（0，− ）．
3 2
【总结提升】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的
关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
1
5．（2023秋•南岸区期中）如图，直线AB：y=− x+b与坐标轴交于A、B两点，点C为第一象限内一
2
点，连接BC且BC∥x轴，交直线x＝3于点E，连接AC，AE，将△ABC沿着直线AB翻折，得到
△ABD，点D正好落在直线x＝3上，若S△BDE ＝2S△ACE ＝6，那么点C的坐标为 （ 5 ， 3 ） ．
【思路引领】先求出点A（2b，0），B（0，b），由BC∥x轴，设点C的坐标为（t，b），根据点E在
直线x＝3上得BE＝3，则BC＝t，CE＝BC﹣BE＝t﹣3，由翻折的性质得BD＝BC＝t，在Rt△BDE中由1
勾股定理得DE=❑√t2−9，根据S△BDE ＝6得
2
×3×❑√t2−9=6，由此可解出t＝5（舍去负值），则CE＝t
﹣3＝2，再由2S△ACE ＝6得2b＝6，据此可得点C的坐标．
1
【解答】解：对于y=− x+b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝2b，
2
∴点A（2b，0），点B（0，b），
∴OA＝2b，OB＝b，
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，
∴可设点C的坐标为（t，b），
又∵点E在直线x＝3上，
∴BE＝3，
∴BC＝t，CE＝BC﹣BE＝t﹣3，
∵将△ABC沿着直线AB翻折，得到△ABD，
∴BD＝BC＝t，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=❑√BD2−BE2=❑√t2−9，
∵S△BDE ＝6，
1
∴ BE•DE＝6，
2
1
即 ×3×❑√t2−9=6，
2
解得：t＝5或t＝﹣5，
∵点C在第一象限，因此t＝﹣5不合题意
∴t＝5，
∴CE＝t﹣3＝2，
又∵2S△ACE ＝6，
1
∴2× CE•OB＝6，
2
即2b＝6，
解得：b＝3，
∴点C的坐标为（5，3）．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的图象，图形的翻折变换及其性质，三角形的面积，勾股定理等，理解题意，熟练掌握一次函数的图象，理解图形的翻折及其性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公
式构造方程是解决问题的关键．
4
6．（2023春•清原县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+4与x轴、y轴分别交于点A、
3
点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
1
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB =
2
S△OCD ？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【思路引领】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB
的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则
CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB 的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
4
令y＝0得：0=− x+4，解得：x＝3，
3
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB=❑√OA2+OB2=5．
（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
1
∵S△PAB =
2
S△OCD ，
1 1
∴S△PAB =
2
×
2
×6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB ＝12，
1 1
∴ BP•OA＝12，即 ×3BP＝12，解得：BP＝8，
2 2
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【总结提升】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待
定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
4
7．（2023秋•福田区期中）如图，直线y=− x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点A
3
的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
4
（3）若将一次函数y=− x+4的图象绕点B顺时针旋转45°后得到直线m，请写出直线m的解析式 y ＝
3
7 x +4 ．4
【思路引领】（1）分别将x＝0、y＝0代入直线y=− x+4中求出与之对应的y、x值，由此即可得出点
3
B、A的坐标；
（2）根据折叠的性质结合勾股定理可求出 AB的长度，进而可得出点D的坐标，设OC＝m，则CD＝
BC＝4﹣m，在Rt△COD中利用勾股定理可求出m的值，进而可得出点C的坐标，则可求出答案；
（3）过点A作AF⊥直线m于点E，作EF⊥x轴于F．依据全等三角形的性质可得EF＝AO＝3，AF＝
BO＝4，进而得出E（﹣1，﹣3），再根据待定系数法即可得出函数表达式．
4
【解答】解：（1）当x＝0时，y=− x+4＝4，
3
∴点B的坐标为（0，4），
4
当y＝0时，有− x+4＝0，
3
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
（2）由折叠性质可知，△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，BC＝CD．
在Rt△AOB中，AB=❑√OA2+OB2=5，
∴AD＝5，
∴OD＝AD﹣OA＝5﹣3＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
设OC＝m，则CD＝BC＝4﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即m2+22＝（4﹣m）2，3
解得：m= ，
2
3
∴OC= ，
2
3
∴点C的坐标为（0， ）．
2
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
3
将A（3，0）、D（0， ）代入y＝kx+b得，
2
{3k+b=0
)
3 ，
b=
2
1
{k=− )
2
解得： ，
3
b=
2
1 3
∴直线AC的解析式为y=− x+ ．
2 2
（3）过点A作AE⊥AB，交直线m于点E，作EF⊥x轴于F．
则∠AFE＝∠BOA＝90°，AE＝BA，∠EAF＝∠ABO，
∴△AOB≌△EFA（AAS），
∴EF＝AO＝3，AF＝BO＝4，
∴FO＝1，
∴E（﹣1，﹣3），
设直线BE的解析式为y＝mx+4，
把点E的坐标代入，得﹣m+4＝﹣3，
解得m＝7，
∴直线BE的解析式为y＝7x+4．
故答案为：y＝7x+4．【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（2022•固安县模拟）如图，A点坐标为（6，0），直线l 经过点B（0，2）和点C（2，﹣2），交x轴
1
于点D．
（1）求直线l 的函数表达式．
1
（2）点M在直线l
1
上，且满足2S△ADM ＝S△ADC ，求点M的坐标．
（3）过C点作一条直线l ，使得直线l 沿l 折叠之后正好经过点A，求直线l 的解析式．
2 1 2 2
【思路引领】（1）设直线l 的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法将B（0，2），C（2，﹣2）代
1
入求解即可；
（ 2 ） 点 M 的 坐 标 为 （ m ， ﹣ 2m+2 ） ， 由 2S△
ADM
＝ S△
ADC
得
1 1
2× ×|AD|×|y |= ×|AD|×|y |，求出m值即可；
2 M 2 C
（3）由直线l 经过定点C（2，﹣2）得直线l 的表达式为y+2＝k（x﹣2），点A（6，0）关于直线l 的
2 2 2
对称点A'在直线l ：y＝﹣2x+2上，得AA'的中点在直线l 上，由对称的性质知CA＝CA'，按照这个思路
1 2
列等式即可求解．
【解答】解：（1）设直线l 的函数表达式为y＝kx+b，
1将B（0，2），C（2，﹣2）代入，
{ 2=b )
得 ，
−2=2k+b
{k=−2)
解得 ，
b=2
∴直线l 的函数表达式为y＝﹣2x+2；
1
（2）由（1）知直线l 的函数表达式为y＝﹣2x+2，
1
令y＝0得﹣2x+2＝0，
解得x＝1，
∴点D的坐标为D（1，0），
∵A点坐标为（6，0），
∴|AD|＝6﹣1＝5．
∵点M在直线l 上，
1
∴设点M的坐标为M（m，﹣2m+2），
∵2S△ADM ＝S△ADC ，
1 1
∴2× ×|AD|×|y |= ×|AD|×|y |，
2 M 2 C
1 1
即2× ×5×|−2m+2|= ×5×2，
2 2
∴|﹣2m+2|＝1，
1 3
解得m= 或m= ，
2 2
1 1
当m= 时，−2m+2=−2× +2=1，
2 2
3 3
当m= 时，−2m+2=−2× +2=−1，
2 2
1 3
∴点M的坐标为( ，1)或( ，−1)；
2 2
（3）由题意，直线l 经过定点C（2，﹣2），
2
∴直线l 的表达式为y+2＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k﹣2．
2
∵直线l 沿l 折叠之后正好经过点A（6，0），
1 2
∴点A（6，0）关于直线l 的对称点A'在直线l ：y＝﹣2x+2上，
2 1
设A'的坐标为（n，﹣2n+2），n+6 −2n+2
∴AA'的中点坐标为( ， )，且该点在直线l 上，
2 2 2
−2n+2 n+6
∴ =k⋅ −2k−2，
2 2
6−2n
整理得，k= ．
n+2
由对称的性质知CA＝CA'，
∴❑√(2−6) 2+(−2−0) 2=❑√(2−n) 2+[−2−(−2n+2)] 2，
整理得（n﹣2）2＝4，
解得n＝4或n＝0，
6−2×4 1 1 1 1 4
当n＝4时，k= =− ，直线l 的表达式为y=− x−2×(− )−2=− x− ；
4+2 3 2 3 3 3 3
6−2×0
当n＝0时，k= =3，直线l 的表达式为y＝3x﹣2×3﹣2＝3x﹣8，
0+2 2
1 4
∴直线l 的解析式为y=− x− 或y＝3x﹣8．
2 3 3
【总结提升】本题考查求一次函数解析式，平面直角坐标系内求三角形的面积，对称的性质，两点间距
离公式等，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
9．（2022春•通州区期末）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，
与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如：如图
1就是函数y＝x的“V形”图象．
（1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与 x轴交点A的坐标是
（﹣ 1 ， 0 ） ；
1
（2）在（1）的条件下，若直线y=− x+1与一次函数y＝x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求
3
△ABC的面积；
（3）一次函数y＝kx﹣5k+4（k为常数）的“V形”图象经过（﹣1，y ），（3，y ）两点，且y ＞y ，
1 2 1 2
求k的取值范围．【思路引领】（1）根据材料中的“V形”图象定义和一次函数的性质作答；
（2）由直线与直线的交点求法和三角形面积公式作答；
（3）对k的取值范围进行分类讨论．
【解答】解：（1）
如图是所求的图象．点A的坐标是（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）；
{
y=−x−1
)
（2）由 1 ，
y=− x+1
3
{x=−3)
解得 ．
y=2
∴B（﹣3，2）．
{
y=x+1
)
∵ 1 ，
y=− x+1
3
{x=0)
解得 ．
y=1
∴C（0，1）．
由（1）得：A（﹣1，0）．3 1
∴△ABC的面积=4− − =2；
2 2
解：（3）∵直线y＝kx﹣5k+4（k≠0，且为常数），
∴当x＝5时，y＝4．
∴经过定点（5，4）．
5k−4
当y＝0时，x= ．
k
5k−4
∴该图象与x轴交点( ，0)．
k
①当k＞0时，
5k−4
∵y ＞y ，由图象可知 ＞1，
1 2 k
解之得k＞1．
∴k＞1
②当k＜0时，由图象可知，始终有y ＞y ．
1 2
综上所述，k＞1或k＜0．
【总结提升】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出一次函数与x轴与
y轴的交点是解题的关键．
第三部分 专题提优训练
1．在平面直角坐标系中，x轴上的动点P到定点A（5，5），B（2，1）的距离分别为PA和PB，那么当
PA+PB取最小值时，点P的坐标为 （ 2. 5 ， 0 ） ．
【思路引领】先作出点B关于x轴的对称点B ，再连接B A，求出直线B A的函数解析式，再把y＝0代
1 1 1
入即可得．
【解答】解：作点B关于x轴的对称点B （2，﹣1），连接B A交x轴于P，
1 1
∵A的坐标是（5，5），
∴直线B A的函数解析式为y＝2x﹣5，
1
∵点P在x轴上，
∴当y＝0时，即2x﹣5＝0，
解得：x＝2.5，
∴点P的坐标是（2.5，0）．
故答案为：（2.5，0）．【总结提升】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
2．已知点P坐标是（4，0），点Q坐标是（6，2），在直线y＝x上找一点M，使得△QMP的周长最小．
则点M的坐标为 （ 3 ， 3 ） ．
【思路引领】作点P′与点P关于y＝x对称，连接P′Q，求得直线P′Q与y＝x的交点坐标即可求得
点M的坐标．
【解答】解：作点P′与点P关于直线y＝x对称，
∵点P′与点P关于直线y＝x对称
∴点P′的坐标为（0，4）．
连接P′Q交直线y＝x与点M，由轴对称的性质可知：P′M＝PM，
∴△MPQ的周长＝PQ+QM+PM＝PQ+P′Q．
当点P′、M、Q在一条直线上时，三角形的周长有最小值．
{6k+b=2)
设直线P′Q的解析式为y＝kx+b，将P′、Q的坐标代入得： ，
b=4
{ k=− 1 )
解得： 3
b=4
1
∴直线P′Q的解析式为y=− x+4．
31 { y=− 1 x+4)
将y=− x+4与y＝x联立得 3 ，
3
y=x
{x=3)
解得： ．
y=3
∴点M的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【总结提升】本题主要考查的是轴对称﹣路径最短、待定系数法求函数的解析式、解二元一次方程组，
明确当点P′、M、Q在一条直线上时，三角形的周长有最小值是解题的关键．
3．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的
距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（
）
A．50 B．50❑√5 C．50❑√5−50 D．50❑√5+50
【思路引领】过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取
NF＝AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可
求出周长．
【解答】解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取
NF＝AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，
过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．
MK＝40+10＝50，
作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．
∵LN＝AS=❑√502−(40−10) 2=40．
∴KN＝60+40＝100．
∴MN=❑√502+1002=50❑√5．
∵MN＝MQ+QP+PN＝BQ+QP+AP＝50❑√5．
∴四边形PABQ的周长＝50❑√5+50．
故选：D．【总结提升】本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周
长最短，以及构造直角三角形，求出周长．
4．如图，长方形ABCD中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为
AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，CF所在的直线方程
❑√6
为y=− x+❑√6，则折痕EF的长为 2❑√15．
12
【思路引领】由直线方程可得OF和CO的长，利用点E是AD的中点及长方形的性质可得AE和DE的
长；连接CE，由翻折可知△AEF≌△GEF，易证Rt△CDE≌Rt△CGE，则CD＝CG，设AF的长为m，
则FG＝m，CD＝CG＝m+❑√6，在Rt△OCF中，利用勾股定理建等式，求出m的值，再利用勾股定理
求出EF的长即可．
【解答】解：如图，连接CE，
❑√6
∵直线y=− x+❑√6与x轴交于点C，与y轴交于点F，
12
∴C（12，0），F（0，❑√6），∴OC＝12，OF=❑√6，
在长方形AOCD中，AD＝OC＝12，OA＝CD，∠A＝∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝6，
由折叠可知，AE＝EG，AF＝FG，∠A＝∠EGF＝90°，
∴∠D＝∠EGC＝90°，AE＝EG＝DE，
∵CE＝CE，
∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL），
∴CD＝CG，
设AF的长为m，则FG＝m，CD＝OA＝CG＝m+❑√6，
∴CF＝FG+CG＝2m+❑√6，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，OF2+OC2＝CF2，
∴❑√62+122＝（2m+❑√6）2，解得m＝2❑√6（负值舍去），
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，EF=❑√AE2+AF2=❑√62+(2❑√6) 2=2❑√15．
故答案为：2❑√15．
【总结提升】本题主要考查一次函数与几何综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点，折叠的性质，全等
三角形的性质与判定，勾股定理等知识，关键是得出Rt△CDE≌Rt△CGE，得出线段之间的等量关系．
5．在直角坐标系中，有四个点A（﹣8，3），B（﹣4，5），C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD
m
的周长最短时，求 的值．
n
【思路引领】先作点A关于x轴的对称点A′，作B点关于y轴的对称点B′，连接A′B′，根据两点
之间线段最短可值线段A′B′的长即为四边形ABCD的最小周长，用待定系数法求出A′B′所在的直
线解析式，再分别把C、D两点的坐标代入此函数的解析式即可．
【解答】解：作点A（﹣8，3）关于x轴的对称点A′（﹣8，﹣3），作点B（﹣4，5）关于y轴的对
称点B′（4，5），设直线A′B′的方程为y＝kx+b（k≠0），
{−3=−8k+b) 2 7
则 ，解得k = ，b =
5=4k+b 3 3
2 7
故过A′B′的直线解析式为：y= x+ ，
3 3
直线A′B′与x轴交点D（m，0），与y轴交点为C（0，n），7 7 m 3
可得m=− ，n= ，故 =− ．
2 3 n 2
3
故答案为：− ．
2
【总结提升】本题考查的是两点之间线段最短及用待定系数法求一次函数的解析式，能利用一次函数的
知识求出过A′、B′两点的直线的解析式及直线与两坐标轴的交点是解答此题的关键．
6．如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x的正半轴上，OA＝6，OC＝10，在
OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标．
【思路引领】如图，根据勾股定理求出BD的长度，进而求出AD的长度；根据勾股定理列出关于OE
的方程，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：
DC＝OC＝10，DE＝OE（设为 ），
则AE＝6﹣ ； λ
∵四边形ABλCO为矩形，
∴∠EAD＝∠B＝90°，BC＝AO＝6；
由勾股定理得：
BD2＝DC2﹣BC2＝100﹣36，
∴BD＝8，AD＝10﹣8＝2；由勾股定理得： 2＝（6﹣ ）2+22，
10 λ λ
解得： = ，
3
λ
10
∴E点的坐标为（0， ）．
3
【总结提升】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知
识点来分析、判断、推理或解答．
7．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．
如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4❑√5，点B的坐
标为B（2a，a）．
（1）A （ 0 ， 4 ） ，C （ 8 ， 0 ） ．
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，
E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．
（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、
D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引领】（1）由矩形的性质及勾股定理求得a的值，即可得结果；
（2）根据矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，证得四边形ADCE是菱形，得到AD＝CD＝
AE＝CE，设OD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，利用勾股定理在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2，即（8﹣x）2
＝x2+16，解得：x＝3，从而确定D（3，0），E（5，4），利用待定系数法求直线DE的解析式，即可
解答；（3）设M（0，m），根据勾股定理可得AD=❑√OA2+OC2=❑√42+32=5，分三种情况：
①当AM＝AD时，②当DM＝AD时，③当MA＝MD时，分别进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B（2a，a）
∴OA＝BC＝a，AB＝OC＝2a，
则AC=❑√OA2+OC2=❑√a2+(2a) 2=4❑√5，
∴a＝4，则2a＝8，
∴A（0，4），C（8，0），
故答案为：（0，4），（8，0）；
（2）连接AD，CE，
∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE是AC的垂直平分线，AF＝CF，AB∥OC，则∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∴AD＝CD，AE＝CE，△EAF≌△DCF（AAS），
∴AE＝CD，则四边形ADCE是菱形，
∴AD＝CD＝AE＝CE，
设OD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，
在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴OD＝3，CD＝AE＝5，
∴D（3，0），E（5，4），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
将D、E坐标代入得：
{3k+b=0)
，
5k+b=4{ k=2 )
解得： ，
b=−6
∴直线DE的解析式为y＝2x﹣6．
（3）设M（0，m），
∵OA＝4，OD＝3，
∴AD=❑√OA2+OC2=❑√42+32=5，
①当AM＝AD时，
即|4﹣m|＝5，解得：m＝﹣1（m＝9时，点N在x轴上方，舍去）
∴M（0，﹣1），
{ 0+x =0+3 )
N
由中点坐标可得： ，
4+ y =−1+0
N
{ x =3 )
N
得 ，
y =−5
N
即：N（3，﹣5）；
②当DM＝AD时，DM=❑√m2+32=5，
解得：m＝﹣4（m＝4时，点M与点A重合，舍去），
∴M（0，﹣4），
{ 3+x =0 )
N
由中点坐标可得： ，
0+ y =−4+4
N{x =−3
)
N
得 ，
y =0
N
即：N（﹣3，0）；
③当MA＝MD时，MA＝DM＝|4﹣m|，
7
由勾股定理可得：DM2＝OM2+OD2，即（4﹣m）2＝m2+32，解得：m= ，
8
此时点N在x轴上方，故不符合题意，
综上，当N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）时，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形．
【总结提升】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形
的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
