文档内容
第 12 讲 函数与导数的综合
真题展示
2022 新高考一卷第 12 题
已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ，
均为偶函数，则
A． B． C． （4） D． （2）
【思路分析】由 为偶函数，可得 关于 对称，可判断 ； 为
偶函数，可得 ， 关于 对称，可判断 ；由 ， 关于
对称，可得 ，得到 是 的极值点， 也是极值点，从而判断
； 图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断 ．
【解析】【解法一】(特殊值验证)： 为偶函数， 可得 ，
关于 对称，
令 ，可得 ，即 （4），故 正确；
为偶函数， ， 关于 对称，故 不正确；
关于 对称， 是函数 的一个极值点， ，
又 关于 对称， ， 是函数 的一个极值点，
关于 对称， 是函数 的一个极值点， ，故 正
确；
图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故
错误．
故选： ．
【解法二】 (导数推导)：由 f( ),g(2+x)均为偶函数，得 f( )=f( ),
g(2+x)=g(2−x)，
故f( )=f( ),两边同时求导得− ( )= ( ),即−g( )=g( ),∴g(x)关于直线 x=2 对称，且关于点( ,0)对称，从而可得 g(x)的周期为
T=4(2− )=2,
由−g( )=g( )可得−g( )=g( ),即 g( )=0，∴g( )= g( +2)= g(
)=0,B正确；
g(−1)= g(−1+2)=g(1)=g( )=−g( )=−g(2)，D不正确。
由导函数与原函数的关系知函数 f(x)的周期为 2，关于直线 x= 对称，关于
点(2，m)对称，若m=0，则f(0)=f(2)=0，若m≠0，f(0)=f(2)≠0，A错误；
由f(x)关于直线x= 对称，得f(−1)=f( − )=f( + )=f(4)，C正确。
【解法三】(特殊函数)：构造函数 f(x)=sinπx+2，则 g(x)=πcosπx，适合题意条件，
验证选项，A、D错误，B、C正确。
【试题评价】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方
程思想，属中档题．
考查目标
试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知识.
试题考查了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.作
为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、
综合性、应用性、创新性的考查要求．试题将导函数与函数的性质结合，设计
新颖，具有较好的选拔功能.
试题亮点
以往试题中考查抽象函数性质的问题，往往通过特殊值法、单调性、奇偶性
即可得出结论.试题除了考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，还创造性地
将导函数引入其中，这便成为本题的一大亮点；同时多选题的题型设置也为不
同能力层次的考生提供了发挥的空间．试题源于教材，紧扣课程标准，对考生
的能力能进行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与
之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
（1）直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，
进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－
1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把
不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调
性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
方法 高考示例 思维过程
……
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由
于f(x)的两个极值点x ，x 满足x2－ax＋1＝0(函数在极值
1 2
点处的导数为0)，所以x x ＝1.
1 2
已知函数f(x)＝－x＋
不妨设x ＜x ，则x ＞1(注意原函数的定义域)．
1 2 2
aln x.
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等价于
直接构 (1)讨论f(x)的单调性；
－x ＋2ln x ＜0. 【关键 1 ：将所证不等式进行变形与化
造法 (2)若f(x)存在两个极值 2 2
简】
点x ，x ，证明：＜a
1 2
设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调
－2.
递减， 【关键 2 ：直接构造函数 ， 判断函数单调性】
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，所以－x ＋
2
2ln x ＜0，即＜a－2. 【关键 3 ：结合单调性得到函数最
2
值 ， 证明不等式】
已知函数f(x)＝aex－ln
……
x－1.
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1. 【关键 1 ：利用不等
(1)设x＝2是f(x)的极值
放缩构 式性质放缩 ， 将 a 代换掉】
点，求a，并求f(x)的
造法
设g(x)＝－ln x－1， 【关键 2 ：利用不等式右边构造函
单调区间；
数】
(2)证明：当a≥时，
则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞
f(x)≥0.0.所以x＝1是g(x)的最小值点． 【关键 3 ：利用导数研究
函数的单调性、最值】
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0. 【关键 4 ：利用函数最值使
放缩后的不等式得到证明】
因此，当a≥时，f(x)≥0.
……
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，从而f(x)＞1等价
于xln x＞xe－x－. 【关键 1 ：将所证不等式等价转化 ， 为
构造双函数创造条件】
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈(0，)
设函数f(x)＝aexln x
时，g′(x)＜0；当x∈(，＋∞)时，g′(x)＞0.故g(x)在(0，)
＋，曲线y＝f(x)在点 上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，从而g(x)在(0，＋
构造双 (1，f(1))处的切线方程 ∞)上的最小值为g()＝－. 【关键 2 ：构造函数 ， 利用导数
函数法 为y＝e(x－1)＋2. 研究函数的单调性 ， 求最小值】
(1)求a，b； 设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，
(2)证明：f(x)＞1. 1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.故h(x)在
(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在
(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. 【关键 3 ：构造函数 ，
利用导数研究函数的单调性 ， 求最大值】
因为g(x) ＝g()＝h(1)＝h(x) ，所以当x＞0时，g(x)＞
min max
h(x)，即f(x)＞1. 【关键 4 ：利用函数最值证明不等式】
突破疑难点2 利用分类讨论法确定参数取值范围
一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x) ；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a
max
＜f(x) .若存在x ∈D，使a＞f(x )成立，则只需a＞f(x) ；若存在x ∈D，使a＜f(x )成立，则
min 0 0 min 0 0
只需a＜f(x ) .由此构造不等式，求解参数的取值范围．
0 max
常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定
分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外
一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者
一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．
方法 高考示例 思维过程
(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)(求函数定义域)．
已知函数f(x)＝x－1－
①若a≤0，因为f＝－＋aln 2＜0，所以不满足题意．【关
aln x.
键 1 ：利用原函数解析式的特点确定分类标准】
(1)若f(x)≥0，求a的
②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；
值；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，
(2)设m为整数，且对
在(a，＋∞)上单调递增． 【关键 2 ：根据导函数的零点分
于任意正整数n，(1＋)
类讨论】
(1＋)…(1＋)＜m，求m
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值点．
的最小值．
由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.
……
……
(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在
结合导
[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于
函数的
任意x ，x ∈[－1，1]，|f(x )－f(x )|≤e－1的充要条件是即
1 2 1 2
零点分
设函数f(x)＝emx＋x2－
① 【关键 1 ：利用充要条件把不等式恒成立等价转化】
类讨论
mx.
设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1. 【关键 2 ：直接构
(1)证明：f(x)在(－∞，
造函数 ， 并求导】
0)上单调递减，在(0，
当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，
＋∞)上单调递增；
0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，g(－
(2)若对于任意x ，
1
1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0. 【关键 3 ：
x ∈[－1，1]，都有|f(x )
2 1
根据导函数的零点分类讨论】
－f(x )|≤e－1，求m的
2
故当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；
取值范围．
当m＞1时，由g(t)的单调性，知g(m)＞0，即em－m＞e－
1；
当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1. 【关键 4 ：通
过分类讨论得到参数的取值范围】
综上，m的取值范围是[－1，1].
由导函 函数f(x)＝ax3＋3x2＋ ……(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0. 【关 键 1 ：函
3x(a≠0)．
数求导 ， 根据导函数的特点确定分类标准】
数的特 (1)讨论f(x)的单调性；
故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
点直接 (2)若f(x)在区间(1，2)
当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当f′(1)≥0
分类讨 是增函数，求a的取值
且f′(2)≥0，解得－≤a＜0. 【关键 2 ：利用导数判断函数的
论 范围．
单调性 ， 结合需满足的条件 ， 求解关于参数的不等式 ， 得
到参数的取值范围】
综上，a的取值范围是∪(0，＋∞).
突破疑难点3 两法破解函数零点个数问题
两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是
连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取
值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的
标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.
方法 高考示例 思维过程
……
(2017·全国卷Ⅱ)已 (2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x.
知函数f(x)＝ax2－ax
设h(x)＝2x－2－ln x，
－xln x，且f(x)≥0.
则h′(x)＝2－.当x∈时，h′(x)＜0；当x∈时，h′(x)＞0.所以h(x)在
(1)求a；
上单调递减，在上单调递增． 【关键 1 ：构造函数 ， 利用导数
(2)证明：f(x)存在唯
研究函数的单调性】
直接 一的极大值点x ，
0 又h(e－2)＞0，h＜0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零点x ，在
0
法 且e－2＜f(x )＜2－2
0
上有唯一零点1， 【关键 2 ：利用零点存在性定理判断导函数
零点的位置】
且当x∈(0，x )时，h(x)＞0；当x∈(x ，1)时，h(x)＜0；当
0 0
x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0.
因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x 是f(x)的唯一极大值点．由f′(x )＝0
. 0 0
得ln x ＝2(x －1)，
0 0故f(x )＝x (1－x )．由x ∈得f(x )＜. 【关键 3 ：求二次函数值域
0 0 0 0 0
得到 f ( x ) 的范围】
0
因为x＝x 是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－
0
1)≠0得f(x )＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x )＜2－2. 【关键 4 ：利用
0 0
函数最值证明不等式】
……
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x＜0，从而h(x)＝min{f(x)，
g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点． 【关键 1 ：对 x
的取值分类讨论 ， 适当放缩 ， 判断 h ( x ) 的符号 ， 确定函数零点
个数】
当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}
＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a＜－，则f(1)＜0，h(1)
已知函数f(x)＝x3＋ ＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零点．【关键
ax＋，g(x)＝－ln x. 2 ：当 x 的取值固定时 ， 对参数 a 的取值分类讨论 ， 确定函数值
(1)当a为何值时，x 的符号得到零点个数】
轴为曲线y＝f(x)的 当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x＞0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上
分类 切线；
的零点个数．
讨论 (2)用min{m，n}表
(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故
法 示m，n中的最小
f(x)在(0，1)上单调．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，
值，设函数h(x)＝
f(x)在(0，1)上有一个零点；当a≥0时， f(x)在(0，1)上没有零
min{f(x)，g(x)}(x＞
点．
0)，讨论h(x)零点的
(ⅱ)若－3＜a＜0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递
个数．
增，故在(0，1)上，当x＝时，f(x)取得最小值，最小值为f()＝
＋.
①若f()＞0，即－＜a＜0，则f(x)在(0，1)上无零点；
②若f()＝0，即a＝－，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；
③若f()＜0，即－3＜a＜－，由于f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当－
＜a＜－时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3＜a≤－时，f(x)
在(0，1)上有一个零点． 【关键 3 ：当 x 的取值固定在一个范围内时 ， 对参数 a 的取值分类讨论 ， 利用函数单调性、最值、零
点存在性定理得到零点个数】
综上，当a＞－或a＜－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝
－时，h(x)有两个零点；当－＜a＜－时，h(x)有三个零点.
突破疑难点4 两法破解由零点个数确定参数问题
已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求
满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由
参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数
范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通
常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
方法 高考示例 思维过程
……
(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅
当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点． 【关键 1 ：构造函数 h ( x ) ， 将
f ( x ) 的零点情况转化为 h ( x ) 的零点情况】
(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点．
已知函数f(x)＝ex
－ax2. (ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x. 【关键 2 ：对参数 a 分类讨
由导
(1)若a＝1，证 论 ， 结合函数值判断函数零点情况】 当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；
数特
明：当x≥0时， 当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在
点分
f(x)≥1；
(2，＋∞)上单调递增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小
类讨
(2)若f(x)在(0，＋
论 值． 【关 键 3 ：分类讨论 ， 利用导数研究函数单调性 ， 求函数
∞)只有一个零
最值】
点，求a.
①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；
②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；
③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个
零点．
由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.
故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零
点． 【关键 4 ：对函数最小值的符号分类讨论 ， 结合函数单调
性判断零点情况 ， 求出参数值】
综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.
……
(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点． 【关键 1 ：针对
f ( x ) 解析式的特点 ， 可对参数 a 直接分类讨论】
(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小
值为f(－ln a)＝1－＋ln a.
【关键 2 ：结合函数单调性求函数最小值 ， 进而根据最小值直
已知函数f(x)＝ 接判断零点的情况】
ae2x＋(a－2)ex－x. ①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；
(1)讨论f(x)的单
②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故
直接
调性；
分类
f(x)没有零点；
(2)若f(x)有两个
讨论 ③当a∈(0，1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.
零点，求a的取
又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，
值范围．
－ln a)上有一个零点．
设正整数n 0 满足n 0 ＞ln(－1)，则f(n 0 )＝en 0(aen 0＋a－2)－n 0 ＞en 0
－n
0
＞2n 0－n
0
＞0.
由于ln(－1)＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一个零
点． 【关键 3 ：对参数 a 分类讨论 ， 结合函数单调性与最小值
判断函数零点情况 ， 求参数取值范围】
综上，a的取值范围为(0，1).
三年真题
一、单选题1．设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ．且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，因此函数 在 上是奇函数．
① 当 时， ， 在 时单调递增，
故函数 在 上单调递增．
，
，
．
②当 时，函数 在 上是奇函数，可知： 在 上单调递增，且 （3） ，
，的解集为 ．
③当 时， ，不符合要求
不等式 的解集是 ， ， ．
故选：D
2．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，
∴曲线 在点 处的切线的斜率 ，则倾斜角为 ，
故选：B．
3．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，在点 处的切线为 ，截距分别为 ，故切线与坐标轴所围三角形
的面积为 .
故选：D
4．设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由导函数的图象可得当 时， ,函数 单调递增；
当 时， ,函数 单调递减；
当 时， ,函数 单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
5．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】A
【详解】由题意可知k＝ ，
又(0，b)在切线上，解得：b＝1.
故选：A.
7．用计算器验算函数 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）A． 在 上是单调减函数 B． 的值域为
C． 有最小值 D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，A错误
，B错误；
在 上单调递增，在 上单调递减，其在 上无最小值，C错误；
综上，可排除 ,
故选：D.
8． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ， ，
所以 在 上为常函数或递减,
若 在 上为单调递减，所以 ，
即 ①， ②
①②两式相乘得：所以 ，
若 在 上为常函数，且 ，则 ，
即 ③， ④，
③④两式相乘得：
所以 ，
综上所述，
故选：A
9．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数 在 处连续，则
B．函数 的不连续点是 和
C．若函数 ， 满足 ，则
D．
【答案】C
【详解】由连续函数的定义知A正确；
函数 的定义域是 ，因此其不连续点是 和 ，B正确；
，D正确；
例如 ， ， ，但 与 不存在，C错．
故选：C．
10．若 ，则常数a，b的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】C
【详解】 ，则 ，解得 ， ，
故选：C．
11．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
12．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
13．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
14．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.三年模拟
多选题
1．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当 时， .
设 ，其中 .
则 ，故 在 上单调递增.
又 ， ，则 ，使 .
即存在 ， ，使 .
但此时， .故A错误.
对于B选项，
.设 ，其中 .则 .
得 在在 上单调递增.
注意到 .则 .又 在 上递增，
则有 .故B正确.
对于C选项，由B选项可知 ，则由 ，
有 .故C正确.
对于D选项，因 ， ，
则 .设 ，其中 .
则 .
设 ，其中 .则 ，
得 在 上单调递增.
（1）若 ，注意到 ， ，则 ，使 .即
，
则 ，设 ，则 ，
得 在 上单调递减，则 .
（2）当 ， ，注意到 .
则 ，此时 .
（3）当 ，注意到
则 ，又由（1）分析可知 在 上单调递增.则 .
综上，有 .故D正确.
故选：BCD
2．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
3．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是函
数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若
函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】BCD
【详解】由题意知 .
令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
令 ，解得 ，所以在 上单调递减.
又 ， .
所以， 在 处有极大值 ，在 处有极小值 .
所以 的极大值点为-2，A项错误；又极大值 ，极小值 ，作出 的图象，
有图象可知， 有且仅有3个零点，故B正确；
，令 ，解得 ，
又 ，由题意可知，点 是 的对称中心，故C正确；
因为点 是 的对称中心，所以有 ，即 .
令 ，
又 ，
所以
，，所以 .故D正确.
故选：BCD.
4．下列不等式关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】A选项：当 且 时，有 ，
进一步可得 ，
（ ）
从而得当 且 时，有 ，
所以 ，故A选项不成立.
B选项：令 ，则 ，所以在 上函数 单调递减，所以
，也即在 上， ，即 ，所以当 时， ，
，
即 ，在上式中取 ，得 ，
即 ，故B选项成立.
C选项：因为 ， ，所以 ，故C选项成立.
D选项：当 时， ，取 ，得 ，即 ，故D选项成立.
5．已知函数 （ ， ， ），则下列说法正确的是（ ）A．若实数 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或
B．函数 的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数 在 上单调，则
D．若函数 的图象关于点 中心对称，则
【答案】ABD
【详解】A选项： ，由题意知实数 是方程 的两个不等实根，（注
意：极值点与导函数的零点之间的关系）
所以 ，且 ， ，由 ，得 ，所以 ，解得
或 ，所以A正确；
B选项：若函数 的图象过坐标原点，则 ，故必要性成立；反之，若 ，则 ，
故函数 的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；
C选项：若函数 在 上单调，则 恒成立，所以 ，即 ，所以
C不正确；
D选项：因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 ，即
，整理得 ，所以
，所以D正确.
故选：ABD.
6．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 在定义域内是减函数
B．存在一个实数 ，使得函数 满足
C．对于任意的实数 ，函数 无极值点D．当 时，若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
【答案】BC
【详解】A选项：当 时， ，定义域为 ，显然函数 在定义域内不具有
单调性，故A不正确；
B选项：当 时， ，此时满足 ，故B正确；
C选项：当 时， ，此时函数 是常函数，无极值点；当 时，函数
，在 和 上都是单调的，因此不存在极值点，故C正确；
D选项：当 时，由 ， ， ，因此曲线 在点 处的切
线方程为 ，即 ，则切线与坐标轴交点坐标为： ，
，所以 ，解得 或 ，故D不正确.
故选：BC.
7．已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
【答案】ABD【详解】对于A，当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故A正确；
对于B，令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，整理得 ，即 恒成立，故B正确；
对于C，令 ，则 ，令 ，解得 ，故 只有1个零点，故C错误；
对于D，因为 是关于 的方程 的2个不等实数根，
所以 ，即 ，
所以问题等价于 有两个零点 ，证明 ，
不妨设 ，则由 得到 ，
要证 ，只需要证明 ，即只需证明： ，
只需证明： ，即 ，
令 ，
只需证明： ，
令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 恒成立，
综上所述，原不等式成立，即 成立，故D正确.
故选：ABD.
8．关于函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 在 处的切线方程为
B．当 时， 存在唯一极小值点 且
C．对任意 ， 在 上均存在零点
D．存在 ， 在 上有且只有一个零点
【答案】ABD
【详解】对于A选项，当 时， ，x ，
故 ，切点为(0，1).又 ， .
则切线方程为 ，即 ，故A正确;对于B选项， 时， ，
令 ，则 .
当 时，因 ，则 .
当 时， ，故 在(-π，+∞)上单调递增，
注意到 ， ，
有 ，又 = >0，
故 在(-π，+∞)上有唯一零点，结合 在(-π，+∞)上单调递增
得f(x)存在唯一极小值点 ，且 ，
则 ，得 + ，
则 ，又因
则 ，得 ，故B正确.
对于C选项， ， ，令 ，则 ，
当 且 时，显然没有实根，故 且
则 ，令 ，有 ，
令 ，得 且 ，
则 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极小值为h = ≥ ，
的极大值为h = ≤ ，
故当 时， 与 的图像没有交点，
即 在 上没有零点，故C错误;
对于D选项，由C选项分析可知，存在 ，使得 在 上有且只有一个零点，此时 ，
故D正确，
故选：ABD.
【点睛】：方法点睛：处理涉及函数零点问题的常见手段：
（1）数形结合，转化为直线与函数图像的交点相关问题.
（2）利用零点存在性定理，结合函数单调性，通过适当地取点，确定零点所在的大致区间.
9．已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数a的可能
取值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】CD
【分析】原不等式转化为 时， 恒成立，
只需证明 时， 恒成立，对 求导得 ，则 ，分别讨论
和 ，即可求解.
【详解】由题意得： 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，设 （ ），则 ,,
所以 时， 恒成立.
又 ，则 ，
① 时， ，
设 ，存在 时， ，即 在 上是减函数，
此时， ，不满足题意；
② 时， 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
设 （ ），即 ，
则 ，
令 （ ），则 ，
当 时， ，所以 在 上是增函数，
则 时， ，
即 时， 时， ，
所以 时， .
则 ，
又 时，有 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 时， .
所以 在 上是增函数，
则 ，
所以 时， 在 上恒成立.
综上， 时， 在 恒成立，
故选：CD
【点睛】对导函数二导后进行放缩判断正负是问题的关键
10．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由题设条件得到 ，从而变形得 ，分类讨论 与 两种
情况，利用同构法得到 ，由此构造函数 将问题转化为 恒
成立问题，进而得解.
【详解】因为 ，且 恒成立，
所以 ，则 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，故 ，则 恒成立，
当 时， ， ，则 ，
对 两边取对数，得 ，令 ，则 ，
又 ，所以 在 上单调递增，
故 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，即 ，
又 ，令 ，得 ； ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
故 ，
对于AB，易得 ， ，故AB错误；
对于CD，易得 ， ，故CD正确.
故选：CD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是对 进行变形得到 ，从而利用同构法得
到 ，由此得解.
11．已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先对函数化简，不难分析出函数的奇偶性、单调性、凹凸性.对于A，借助奇偶性和单调性判断即可；对于B、D，可借助减函数、凹函数可得出结论；对于C，可将 化为关于 的函数，利
用导数分析，即可判断.
【详解】解： ，则 ，
函数 是定义在 上的奇函数，在 上单调递减且下凸（类似于反比例函数），
由题意 ， ，可得 .
对于A， ， ，
即 ，故A不正确；
对于B、D， 函数 在 上单调递减且下凸，
，即 ，故B正确，
，即 ，故D正确；
对于C， ，
设 ，
，
当 时 ，
，故C错误.
故选：BD.12．设函数 ，已知 在 ， 有且仅有4个零点．则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 必有有2个极大值点 B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围是
【答案】BD
【分析】令 ，则 ，根据复合函数的单调性及图像综合判断即可．
【详解】解：依题意知 ，
由于 在 ， 有且仅有4个零点，
结合图像及单调性可得
，
，故D对；
令 ， ，
有1或2个极大值点，
结合复合函数的单调性知 也有1或2个极大值点，故A错；
同理 有2个极小值点，
所以 有2个极小值点，故B对；
当 时， ，
，
，递减，
根据复合函数单调性得 递减，故C错；
故选：BD．
13．已知函数 ，则（ ）．
A． B．若 有两个不相等的实根 ，则
C． D．若 ， 均为正数，则
【答案】AD
【分析】先求导数，判断函数单调性，A,C,D结合单调性可以判断正误，B结合反例可以判断错误.
【详解】对于A： ，又 ， ， ，所以
，则有 ，A正确；
对于B： 当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；所以 有极大值 .
若 有两个不相等的正实根 ，不妨取 ，显然 ，此时不满足 ，B不正确；
对于C：由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，则有 ， C
不正确；
对于D：令 ， ， 均为正数，则 ，解得： ， ，
，
由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，即 ，所以 ，
D正确.故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用导数求出函数的单调区间，结合单调性，比较数值的大小.
14．以下四个不等关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】结合基本不等式及对数函数的单调性估计判断A；利用导数证明 ，赋值判断B；
观察不等式的结构，构造函数 ，利用导数判断其单调性，利用函数单调性比较大小，判断C；
根据函数 的单调性判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以A正确；
对于B，因为 ，故考虑构造函数 ，
因为 ，仅当 时等号成立，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
故 ，所以 ，B不正确
对于C，不等式 ，等价于 ，等价于 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，函数 在 单调递减，当 时， ，函数 在 单调递
增，
所以 ，即 ，所以 ，C正确；对于D，因为 ，所以 ， ，
因为函数 在 单调递增，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，D正确，
故选：ACD.
【点睛】本题解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大
小即可.
15．若 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】构造函数 比较 大小，构造函数
比较 大小，利用三角函数定义有 比较 大小，从而得结论．
【详解】由 ，令 ，
则 ，故 为增函数．
由 ，得 ．
由 ，令 ，
则 ，当 时， ， ，设 ，则 ，则 在 上单调递减，
则 ，得 在 上单调递减，
所以 ，得 ，故 ．
根据三角函数的定义可证 ，故 ，即 ．
故选：ABD
【点睛】关键点点点睛：本题考查实数大小比较，解题关键是根据数据的形式构造适当的函数，利用导数
确定函数单调性后，由单调性得大小关系．
16．已知函数 有两个零点 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C．
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据参变分离构造函数 ，求导确定 的单调性，即可判断A,求导得 ，即可结
合 判断B,构造函数 ，求导即可判断C,根据 的单调性即可
判断D.
【详解】由 等价于 ，令 ，令 ，得 ,令 ，得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减；
，
当 当 时， ,因为 ,故A对．
，令 ，得 ；令 ，得 ；由 选项可知 ，
在 先增后减， B错．
对于C选项，由 选项可知 ，当 时， 显然成立；
当 时， 等价于 ．
由上可知 在 上单调递增，要让 ，只需证
又 只需证 ，令 ，
在 上单调递增， 故C对；
对于D选项 在 单调递增，在 上单调递减，且
， ,故D对；
故选：ACD．
