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第 1 章整式的乘除（压轴 30 题专练）
一．选择题（共5小题）
1．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆
盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S ；若按图2摆放时，阴影部分的
1
面积为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S 和S 的大
1 2
小．
【解答】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，
由图1，得S ＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，
1
由图2，得S ＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，
2
∴S ＝S ．
1 2
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形四条边相等的性质，分别得出S 和S 的面积是解题关键．
1 2
2．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正
方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方
形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
【分析】根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形
纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
再根据正方形的面积公式即可得出答案．
【解答】解；3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
用到的知识点是完全平方公式．3．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或1
【分析】|x|一定是非负数， ，那么 一定为正数，进而先求得（ ）2的值，
最后求得其算术平方根即为所求的值．
【解答】解：∵ ﹣|x|＝1，
∴x＞0
∴ +|x|＞0，
∵（ ）2＝（ ﹣|x|）2+4＝5，
∴ +|x|＝ ，
故选：B．
【点评】综合考查了绝对值及完全平方公式的知识；得到x的取值是解决本题的突破点；求
两数的和，先求得两数的和的平方是解决本题的基本思路．
4．若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在
代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；
a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中
为完全对称式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】由于将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对
称式，根据这个定义分别将①②③进行替换，看它们都有没有改变，由此即可确定是否完
全对称式．
【解答】解：①∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，
∴①是完全对称式；
②ab+bc+ca中把a和b互相替换得ab+bc+ca，
∴②是完全对称式；
③a2b+b2c+c2a中把a和b互相替换得b2a+a2c+c2b，
和原来不相等，
∴不是完全对称式；
故①②正确．
故选：A．
【点评】此题是一个阅读材料题，考查了完全平方公式，难点在于读懂题意，然后才能正确
利用题意解决问题．
5．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的
差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝ b B．a＝3b C．a＝ b D．a＝4b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的
关系式．
【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）
PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．
【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
二．填空题（共18小题）
6．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩
形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2 m + 4 ．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得
解．
【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x＝2m+4．
故答案为：2m+4．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的
关键．
7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个
月他们就募集到资金1万元．随着影响的扩大，第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比
上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次完成突破10万元时，相应的n的值为 1 4 ．
（参考数据：1.25≈2.5，1.26≈3.0，1.27≈3.6）
【分析】由题意得第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第
三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n﹣1万元，根据1.
26×1.27＝10.8＞10，可得n﹣1＝6+7，解得n＝14．
【解答】解：第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个
月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n﹣1万元，由题意得：
1（1+20%）n﹣1＞10，
1.2n﹣1＞10，
∵1.26×1.27＝10.8＞10，
∴n﹣1＝6+7＝13，
n＝14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了增长率问题，以及同底数幂的乘法，关键是根据题意列出第n个月
募集到资金，再根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 1 1 ．
【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得
出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
∵b﹣a+1＝2，
∴b﹣5+1＝2，
∴b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2＝x2+（a﹣2）x+（b
﹣a+1）是解题关键．
9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数
意义．这个长方形的代数意义是 a 2 + 3 a b + 2 b 2 ＝（ a + b ）（ a + 2 b ） ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，
那么小明需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．
【解答】解：（1）如图所示：
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，
需用2号卡片3张，3号卡片7张．
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本
题的关键．
10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ a 6 + 6 a 5 b +1 5 a 4 b 2 +2 0 a 3 b 3 +1 5 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6 ．
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数
按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规
律解决问题是应该具备的基本能力．
11．为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S＝1+2+22+23+…+22010，则2S＝2+22+23+24+…+22011，
因此2S﹣S＝22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010＝22011﹣1，仿照以上推理，计算
1+5+52+53+…+52010的值可得 （ 5 201 1 ﹣ 1 ） ．
【分析】依照上述推理，即可得到结果．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52010，
则5S＝5+52+53+…+52011，
∴5S﹣S＝4S＝5+52+53+…+52011﹣（1+5+52+53+…+52010）＝52011﹣1，
则S＝1+5+52+53+…+52010＝ （52011﹣1）．
故答案为： （52011﹣1）
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的推理是解本题的关键．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，则△AFC的
面积S为 2 ．
【分析】根据即可推出S梯形ABGF +S△ABC ﹣S△CGF ，然后根据梯形、三角形的面积公式表示出阴
影部分的面积，由CG＝BC+BG，AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE，经过等量代换后，
即可推出阴影部分的面积．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形EFGB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S△AFC ＝S梯形ABGF +S△ABC ﹣S△CGF
＝ ×（FG+AB）×BG+ ×AB×BC﹣ ×FG×CG
＝ ×（FG+AB）×BG+ ×AB×BC﹣ ×FG×（BC+BG）
＝ ×FG2+FG+2﹣FG﹣ ×FG2
＝2．
解法二：连接FB
∵∠CAB＝∠ABF＝45°
∴FB∥AC
又∵△ABC和△AFC有同底AC且等高
∴S△AFC ＝S△ABC ＝ ×2×2＝2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，梯形的面积、三角形的面积、正方形的性质，关键
在于根据图形推出S△AFC ＝S梯形ABGF +S△ABC ﹣S△CGF ．
13．观察下列运算过程：S＝1+3+32+33+…+32012+32013①，
①×3得3S＝3+32+33+…+32013+32014②，
②﹣①得2S＝32014﹣1，S＝ ．
运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013＝ ．
【分析】首先根据已知设S＝1+5+52+53+…+524+525 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，
②﹣①即可求得答案．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52013 ①，
则5S＝5+52+53+54…+52014②，
②﹣①得：4S＝52014﹣1，
所以S＝ ．
故答案为 ．
【点评】此题考查了有理数的乘方运算，考查了学生的观察与归纳能力．题目难度不大，解题时需细心．
14．如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为 a 2 ﹣ b 2 ＝
（ a + b ）（ a ﹣ b ） ．
【分析】利用正方形的面积公式以及矩形的面积公式即可表示出两个图形中阴影部分的面积，
两个式子相等，即可得到公式．
【解答】解：第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，
第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了平方差公式，理解题意是关键．
15．已知实数a，b满足a+b＝2，a﹣b＝5，则（a+b）3•（a﹣b）3的值是 100 0 ．
【分析】所求式子利用积的乘方逆运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝5，
∴原式＝[（a+b）（a﹣b）]3＝103＝1000．
故答案为：1000
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．求1+21+22+23…+22013的值，可令S＝1+21+22+23…+22013，则2S＝21+22+23+24+…+22014，因
此2S﹣S＝S＝22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+31+32+33+…+32012+32013的值是 （ 3 201 4 ﹣
1 ） ．
【分析】设M＝1+31+32+33+…+32012+32013，可得出3M，两式相减求出M，即为所求式子的值．
【解答】解：令M＝1+31+32+33+…+32012+32013，
可得3M＝31+32+33+…+32012+32013+32014，
∴3M﹣M＝2M＝32014﹣1，
则M＝ （32014﹣1），即1+31+32+33+…+32012+32013的值是 （32014﹣1）．
故答案为： （32014﹣1）
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题意是解本题的关键．
17．若m2﹣5m+1＝0，则 ＝ 2 3 ．【分析】由于m≠0，把m2﹣5m+1＝0两边除以m可得到m+ ＝5，再把m+ ＝5两边平方得
到m2+2+ ＝25，变形即可得到m2+ 的值．
【解答】解：∵m2﹣5m+1＝0，
∴m﹣5+ ＝0，即m+ ＝5，
∴（m+ ）2＝25，
∴m2+2+ ＝25，
∴m2+ ＝23．
故答案为23．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力．
18．如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形
ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S ；
1
当AB＝2时，△AME的面积记为S ；当AB＝3时，△AME的面积记为S ；…当AB＝n时，
2 3
△AME的面积记为S
n
．当n≥2时，S
n
﹣S
n﹣1
＝ ．
【分析】方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出S
n
＝ n2，S
n﹣1
＝ （n﹣1）2＝ n2﹣n+ ，即可得出答案．
方法二：根据题意得出图象，根据当AB＝n时，BC＝1，得出S
n
＝S矩形ACQN ﹣S△ACE ﹣S△MQE
﹣S△ANM ，得出S与n的关系，进而得出当AB＝n﹣1时，BC＝2，S
n﹣1
＝ n2﹣n+ ，即可得
出S
n
﹣S
n﹣1
的值．
【解答】解：方法一：连接BE．
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，∴△AME的面积＝△AMB的面积，
∴当AB＝n时，△AME的面积记为S ＝ n2，
n
S n﹣1 ＝ （n﹣1）2＝ n2﹣n+ ，
∴当n≥2时，S
n
﹣S
n﹣1
＝ ．
方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，
∵线段AC＝n+1（其中n为正整数），
∴当AB＝n时，BC＝1，
∴当△AME的面积记为：
S
n
＝S矩形ACQN ﹣S△ACE ﹣S△MQE ﹣S△ANM ，
＝n（n+1）﹣ ×1×（n+1）﹣ ×1×（n﹣1）﹣ ×n×n，
＝ n2，
当AB＝n﹣1时，BC＝2，
∴此时△AME的面积记为：
S n﹣1 ＝S矩形ACQN ﹣S△ACE ﹣S△MQE ﹣S△ANM ，
＝（n+1）（n﹣1）﹣ ×2×（n+1）﹣ ×2×（n﹣3）﹣ ×（n﹣1）（n﹣1），
＝ n2﹣n+ ，
∴当n≥2时，S
n
﹣S
n﹣1
＝ n2﹣（ n2﹣n+ ）＝n﹣ ＝ ．
故答案为： ．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S
与n的关系是解题关键．
19．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，
上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x＝ 2 ．
【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x
的值．
【解答】解：根据题意化简 ＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，
解得：x＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，
去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
20．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边
长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 4 张
才能用它们拼成一个新的正方形．
【分析】根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．
【解答】解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4＝8，大于8的完全平方数依次是9，
16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9；
当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．
因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数
是解题的关键．
21．若m ，m ，…m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m +m +…+m ＝1525，
1 2 2015 1 2 2015（m ﹣1）2+（m ﹣1）2+…+（m ﹣1）2＝1510，则在m ，m ，…m 中，取值为2的个数
1 2 2015 1 2 2015
为 51 0 ．
【分析】通过m ，m ，…m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m ﹣1）2+（m ﹣
1 2 2015 1 2
1）2+…+（m ﹣1）2＝1510从而得到1的个数，由m +m +…+m ＝1525得到2的个数．
2015 1 2 2015
【解答】解：∵（m ﹣1）2+（m ﹣1）2+…+（m ﹣1）2＝1510，
1 2 2015
∵m ，m ，…，m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
1 2 2015
∴m ，m ，…，m 中为1的个数是2015﹣1510＝505，
1 2 2015
∵m +m +…+m ＝1525，
1 2 2015
∴2的个数为（1525﹣505）÷2＝510个．
故答案为：510．
【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律．利用规律解决问题．
22．对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad﹣bc．例如： ＝1×4﹣2×3＝﹣2，
＝（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22．按照这个规定，当x2﹣4x+4＝0时， 的值是 ﹣
1 ．
【分析】先根据题中所给出的例子得出关于x的式子，再把x2﹣4x+4＝0代入进行计算即可．
【解答】解：∵ ＝ad﹣bc，
∴原式＝（x+1）（2x﹣3）﹣2x（x﹣1）＝x﹣3，
∵x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
解得x＝2，
∴原式＝3﹣4＝﹣1．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
23．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008+22009，则2S＝
2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S＝22010﹣1，所以1+22+23+…+22009＝22010﹣1仿照以上
推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是 ．
【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，
用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52009，
则5S＝5+52+53+…+52010，
5S﹣S＝﹣1+52010，
4S＝52010﹣1，则S＝ ．
故答案为：
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
24．对于任何实数a，b，c，d，我们规定符号的意义是 ＝ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算 的值；
（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1＝0时， 的值．
【分析】（1）根据 ＝ad﹣bc，把 展开计算即可；
（2）先把 展开，再去括号、合并，最后把x2﹣3x的值整体代入计算即可．
【解答】解：（1） ＝5×8﹣6×7＝﹣2；
（2） ＝（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝x2﹣1﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣1，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴﹣2x2+6x﹣1＝﹣2（x2﹣3x）﹣1＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，以及整体代入．
25．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．
【分析】设原正方形的边长为xcm，得出方程（x+2）2﹣x2＝24，求出方程的解即可．
【解答】解：设原正方形的边长为xcm，
（x+2）2﹣x2＝24，
解得：x＝5．
答：原正方形的边长为5cm．
【点评】本题考查了算术平方根，一元二次方程的应用，关键是能根据题意得出方程．
26．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的
实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复
数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝ ﹣ i ，i4＝ 1 ．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）
+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2•i，i4＝i2•i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1，
（2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5；
②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；
（3）∵（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴x+y＝1﹣x，3＝﹣y，
∴x＝2，y＝﹣3；
（4） ＝ ．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理
解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解
答问题．
27．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方
形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式： （ a + 2 b ）（ 2 a + b ）＝ 2 a 2 + 5 a b + 2 b 2 ． ．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 2 块， 7
块， 3 块．（3）．如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的
两边长（x＞y），观察图案，以下关系式正确的是 ①②③④ ． （填序号）．
①xy＝ ②x+y＝m③x2﹣y2＝m•n④x2+y2＝
【分析】（1）由图形根据面积公式可得答案；
（2）将（a+3b）（2a+b）展开化简即可得答案；
（3）逐项按照平方差公式及图形验证即可．
【解答】解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝
2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2
故答案为：2；7；3．
（3）∵m2﹣n2＝4xy
∴①正确；
∵x+y＝m
∴②正确；
∵x+y＝m，x﹣y＝n
∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，故③正确；
∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）
∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题综合考查了平方差公式的几何背景，数形结合是解答本题的关键．本题中等难
度，属于中档题．
28．阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数
均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的
两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友
好数对”．
（1）36和84 是 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个
等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字
和个位数字交换位置后两个数依次表示为 1 0 b + a 和 1 0 d + c ．
因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ （ 1 0 b + a ）（ 1 0 d + c ） ．
即a，b，c，d的等量关系为： a c ＝ b d ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 B 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位
数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【分析】（1）计算36×84和63×48，根据定义判断；
（2）利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出
等量关系，并化简；
（3）A、结合（2）中的等量关系ac＝bd写出新的“友好数对”；
B、根据“ac＝bd”得（x+2）（x+2）＝x（x+8），解方程得到x，写出两个两位数．
【解答】解：（1）∵36×84＝3024，63×48＝3024，
∴36×84＝63×48，
∴36和84是友好数对．
故答案为：是．
（2）∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为10b+a，10d+c，
∵这两个数是友好数对，
∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
化简得：ac＝bd．
故答案为：10b+a，10d+c，（10b+a）（10d+c），ac＝bd．
（3）选A，根据ac＝bd，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，•••
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一．
选B，由（2）得：（x+2）（x+2）＝x（x+8），
解得：x＝1，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
故答案为：A或B．
【点评】本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、整式的运算——多项式乘以多项
式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，
然后根据新定义列出方程．
29．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：152＝1×2×100+25＝225，
252＝2×3×100+25＝625，
352＝3×4×100+25＝1225，
…
（1）根据上述各式反应出的规律填空：952＝ 9×10×100+2 5 ＝9025．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 10 0 a
（ a + 1 ） +2 5 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出89×81的简便计算
过程和结果．
【分析】（1）根据152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝
1225，…，可得952＝9×10×100+25，据此解答即可．
（2）根据152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，
可得（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25，据此解答即可．
（3）①1952＝前两位数字×（前两位数字+1）×100+25，据此解答即可．
②根据89×81＝（85+4）×（85﹣4），求出89×81的结果是多少即可．
【解答】解：（1）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝
1225，…，
∴952＝9×10×100+25＝9025．
（2）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，
∴（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25＝100a（a+1）+25．
（3）①1952＝19×20×100+25＝38025．
②89×81
＝（85+4）×（85﹣4）
＝852﹣42
＝8×9×100+25﹣16
＝7200+25﹣16
＝7209
故答案为：9025、100a（a+1）+25．
【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以
下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可
以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，
且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，
解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
指数相加．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）
n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
30．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）
1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成
表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律
回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，
（结果用含字母n的代数式表示）．
【分析】（1）由题意可求得当n＝1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次
几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n＝1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答
案；
（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：（1）∵当n＝1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系
数为：0＝ ，
当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝ ，当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝ ，
当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝ ，
…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为： ；
（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；
（3）∵当n＝1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21，
当n＝2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22，
当n＝3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23，
当n＝4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S＝2n．
【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是
解此题的关键．
