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第 1 章整式的乘除（压轴 30 题专练）
一．选择题（共5小题）
1．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆
盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S ；若按图2摆放时，阴影部分的
1
面积为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
2 1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
2．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正
方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方
形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b
3．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或1
4．若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在
代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；
a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中
为完全对称式的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形
ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的
差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝ b B．a＝3b C．a＝ b D．a＝4b
二．填空题（共18小题）6．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩
形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个
月他们就募集到资金1万元．随着影响的扩大，第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比
上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次完成突破10万元时，相应的n的值为 ．
（参考数据：1.25≈2.5，1.26≈3.0，1.27≈3.6）
8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 ．
9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数
意义．这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，
那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张．
10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
11．为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S＝1+2+22+23+…+22010，则2S＝2+22+23+24+…+22011，
因此2S﹣S＝22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010＝22011﹣1，仿照以上推理，计算
1+5+52+53+…+52010的值可得 ．12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，则△AFC的
面积S为 ．
13．观察下列运算过程：S＝1+3+32+33+…+32012+32013①，
①×3得3S＝3+32+33+…+32013+32014②，
②﹣①得2S＝32014﹣1，S＝ ．
运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013＝ ．
14．如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为 ．
15．已知实数a，b满足a+b＝2，a﹣b＝5，则（a+b）3•（a﹣b）3的值是 ．
16．求1+21+22+23…+22013的值，可令S＝1+21+22+23…+22013，则2S＝21+22+23+24+…+22014，因
此2S﹣S＝S＝22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+31+32+33+…+32012+32013的值是 ．
17．若m2﹣5m+1＝0，则 ＝ ．
18．如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形
ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S ；
1
当AB＝2时，△AME的面积记为S ；当AB＝3时，△AME的面积记为S ；…当AB＝n时，
2 3
△AME的面积记为S
n
．当n≥2时，S
n
﹣S
n﹣1
＝ ．
19．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x＝ ．
20．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边
长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片
张才能用它们拼成一个新的正方形．
21．若m ，m ，…m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m +m +…+m ＝1525，
1 2 2015 1 2 2015
（m ﹣1）2+（m ﹣1）2+…+（m ﹣1）2＝1510，则在m ，m ，…m 中，取值为2的个数
1 2 2015 1 2 2015
为 ．
22．对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad﹣bc．例如： ＝1×4﹣2×3＝﹣2，
＝（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22．按照这个规定，当x2﹣4x+4＝0时， 的值是
．
23．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008+22009，则2S＝
2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S＝22010﹣1，所以1+22+23+…+22009＝22010﹣1仿照以上
推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是 ．
三．解答题（共7小题）
24．对于任何实数a，b，c，d，我们规定符号的意义是 ＝ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算 的值；
（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1＝0时， 的值．
25．如果一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm2，求原正方形的边长．26．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的
实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复
数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）
+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
27．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方
形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式： ．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 块，
块， 块．
（3）．如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的
两边长（x＞y），观察图案，以下关系式正确的是 （填序号）．
①xy＝ ②x+y＝m③x2﹣y2＝m•n④x2+y2＝28．阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数
均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的
两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友
好数对”．
（1）36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为
b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个
等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字
和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位
数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．29．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152＝1×2×100+25＝225，
252＝2×3×100+25＝625，
352＝3×4×100+25＝1225，
…
（1）根据上述各式反应出的规律填空：952＝ ＝9025．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出89×81的简便计算
过程和结果．30．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）
1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成
表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律
回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，
（结果用含字母n的代数式表示）．
