文档内容
第 1 章整式的乘除（典型 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•长春期末）计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算，然后即可作出判断．
【解答】解：a6÷a2＝a4，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，熟记其运算法则是解题的关键．
2．（2021秋•雨花区期末）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）
A．8 B．3 C．﹣3 D．10
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
3．（2021秋•江油市期末）下面运算中正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m2+m2＝2m4
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6
【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、m2•m3＝m5，本选项计算错误，不符合题意；
B、m2+m2＝2m2，本选项计算错误，不符合题意；
C、（﹣3a2b）2＝9a4b2，本选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6，本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方，掌握它们的运算法则是解
题的关键．
4．（2021秋•沂水县期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数
幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是
解答本题的关键．
5．（2021秋•长春期末）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术，下载一个2.4M的短
视频大约只需要0.000048秒，将数字0.000048用科学记数法表示应为（ ）
A．0.48×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．4.8×10﹣4 D．48×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0
的个数所决定．
【解答】解：将数字0.000048用科学记数法表示应为4.8×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2021秋•科左中旗期末）如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±6．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2021秋•沂水县期末）如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6
【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．
【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．
8．（2021秋•河东区期末）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法
法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．
【解答】解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误；
B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误；
C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误；
D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，解题的关键是熟练掌握
各计算法则．
9．（2021秋•乐昌市期末）下列运算正确的是（ ）
A．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1 B．（﹣3a2）2＝6a4
C．a2⋅a3＝a6 D．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1，故选项A正确；
（﹣3a2）2＝9a4，故选项B错误；
a2⋅a3＝a5，故选项C错误；
2ab•（﹣ ab）＝﹣a2b2，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
10．（2021秋•环江县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个
数学等式．例如利用图1可以得到a（a+b）＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是（
）
A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2
B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc
D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c
【分析】从整体和部分两个方面分别表示其面积，即可得出结论．
【解答】解：如图，从整体上看，大正方形的边长为（a+b+c），
因此面积为（a+b+c）2；从各个部分看，整体的面积等于各个部分的面积和，
即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•双辽市期末）计算：（﹣0.25）2021×42022＝ ﹣ 4 ．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
【解答】解：（﹣0.25）2021×42022
＝（﹣ ）2021×42021×4
＝﹣（ ×4）2021×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2021秋•沂水县期末）计算：（3a2+2a）÷a＝ 3 a + 2 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2021秋•杜尔伯特县期末）若am＝10，an＝6，则am+n＝ 6 0 ．
【分析】同逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可，底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底
数不变，指数相加．
【解答】解：∵am＝10，an＝6，
∴am+n＝am•an＝10×6＝60．
故答案为：60．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
14．（2021秋•龙凤区期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a﹣b的值为 ．
【分析】利用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【解答】解：∵3n＝5，3b＝10，
∴9a﹣b＝（3a﹣b）2＝（3a÷3b）2＝（ ）2＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，
m＞n）．
15．（2021秋•荔湾区期末）已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为 8 ．
【分析】由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得2m•4n＝
2m•22n＝2m+2n，再把m+2n＝3代入计算即可．
【解答】解：由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，
∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关
键．
16．（2021秋•沂水县期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放
置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B
的面积之和为 1 1 ．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，
所以a2+b2＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
17．（2021秋•临江市期末）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为 ﹣ 5 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（2021秋•朝阳区期末）已知3m＝2，3n＝5，则32m+n的值是 2 0 ．
【分析】首先根据3m＝2，求出32m的值是多少；然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出
32m+n的值是多少即可．
【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴32m＝（3m）2＝22＝4，
∴32m+n＝32m•3n＝4×5＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌
握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是
正整数）．
19．（2021秋•八公山区期末）若（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为 4 ．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出﹣k+4＝0，求出即可．
【解答】解：（x+2y）（2x﹣ky﹣1）
＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y
＝2x2+（﹣k+4）xy﹣2ky2﹣2y﹣x，
∵（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，
∴﹣k+4＝0，
解得：k＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的
关键．
20．（2021秋•硚口区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为 7 或﹣ 1 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16，
∴2（m﹣3）＝±8，
∴m＝7或﹣1．
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•丰台区期末）（x+2）（x﹣3）
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021秋•双辽市期末）计算：（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3．
【分析】先根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘和同底数幂相乘：底数
不变指数相加的性质计算．
【解答】解：（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3，
＝4m4n﹣4•3m﹣3n3，
＝12m4﹣3n﹣4+3，
＝12mn﹣1．
【点评】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键，是基础题．
23．（2021秋•肇源县期末）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2，
其中x＝﹣3．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x
＝﹣3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2
＝9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2﹣4x﹣1
＝x﹣5，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3﹣5＝﹣8．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
24．（2021春•西安期末）化简：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2．
【分析】原式利用单项式乘以多项式、多项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，
＝（﹣12x3y2+6x2y4）÷xy2
＝﹣12x2+6xy2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关计算法则是解题关键．
25．（2021秋•兰山区期末）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y
＝﹣2．
【分析】先将中括号里面用完全平方公式和平方差公式展开括号，合并同类项，然后利用多
项式除以单项式的法则计算，最后把x＝3，y＝﹣2的值代入化简后的式子就可以求出其值．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x，
＝（2x2﹣2xy）÷2x，
＝x﹣y．
当x＝3，y＝﹣2时，
原式＝3﹣（﹣2），
＝3+2，
＝5．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，平方差公式的运用，合并同类项法则的运用及多
项式除以单项式的法则．计算中注意结果的符号不要遗漏．26．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；
（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab＝ ，
∴6ab＝3．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
27．（2021秋•崆峒区期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长
方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影
部分进行绿化．
（1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积．
【分析】（1）绿化面积＝矩形面积﹣正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公
式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）依题意得：
（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2+3ab）平方米．
答：绿化面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝2，b＝4时，原式＝20+24＝44（平方米）．
答：绿化面积是44平方米．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意是解本题
的关键．
28．（2021秋•郾城区期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方
形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征
是正确应用的前提．
29．（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，
求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的
值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝
﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求
y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，
大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S ，左下角的面积为
1
S ，当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整
理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得
出5y﹣2＝0，即可得出答案；
（3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），即可得到S ﹣S 关于x的代数
1 2 1 2
式，根据取值与x可得a＝2b．
【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，解得，m＝ ，
答：当m＝ 时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴5y﹣2＝0，即y＝ ；
（3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），
1 2
∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
1 2
∵当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变．
1 2
∴S ﹣S 取值与x无关，
1 2
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序
和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．
30．（2021秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形
的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解
答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求
a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长
方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：
2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表
示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝112﹣2×38
＝45．
（3）如图所示
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路
表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
