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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 12 讲 函数的图像（精讲）
①画函数的图像
②已知解析式选图像
③已知图像选解析式
④函数图像的平移、对称、伸缩变换
⑤函数图像的其他应用
一、必备知识整合
一、基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
二、描点法作图要点
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
三、函数图像变换
（1）平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
（2）对称变换
①y＝f (x)的图象―――――――→y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象――――――――→y＝f (－x)的图象；③y＝f (x)的图象―――――――――→y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象――――――――――→y＝log x(a＞0且a≠1)的图象．
a
（3）含绝对值的对称变换
① 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻折上来
得到的（如图（a）和图（b））所示
② 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对称得到函
数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对称图形，然后擦去
轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，擦去 轴左方的图像，然后做出 轴
右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
（4）伸缩变换
① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩短 到原来
的 倍得到．
② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长 或缩短 到原来
的 倍得到．
1.若
f(m+x)=f(m−x)恒成立，则 y=f(x)的图像关于直线x=m对称．
2.设函数
y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x−m)与 y=f(m−x)(m>0)的图象关于直线x=m对
称．
a+b
x=
3.若 f(a+x)=f(b−x)，对任意x∈R 恒成立，则 y=f(x)的图象关于直线 2 对称．
4.函数 与函数 的图象关于直线 对称．
5.函数.. ..与函数 的图象关于直线 对称．6.函数 与函数 的图象关于点 中心对称．
7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
二、考点分类精讲
【题型一 画函数的图像】
作函数图象的两种常用方法
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象
(1) ；
(2) .
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（ ）|x|；
② y＝|log （x＋1）|；
2③ y＝ .
2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数 .
(1)画出函数 的图象；
(2)当 时，求实数 的取值范围，
【题型二 已知解析式选图像】
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南大理·期中）函数 的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数 的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的
特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两
边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，
彼此相互依存.已知函数 ，则 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）函数 的大致图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【题型三 已知图像选解析式】
【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）．A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华
氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺
形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题
的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函
数图象的特征．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B． C． D．
5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家
园 ”一首婉转动听的 美丽惠州 唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图 是惠州市风景
优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作
由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点．点 沿着边
， 与 运动，记 ．将动点 到 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图
像大致为（ ）A． B．
C． D．
【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图
象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
一、单选题
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度2．（2024·北京西城·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象再关于 轴对称，
得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
4．（2024·重庆·三模）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二上·贵州遵义·期末）已知函数 的图象如下图所示，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型五 函数图像的其他应用】
函数图像的其他应用
1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象
(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致
图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的
图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横
坐标．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数 若函数 图象
与直线 有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
2．（2024·广东江门·二模）若函数 的图象与圆 恰有4个公共点，则 的解析式可以为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在 上的 满足对 ，关于
的方程 有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 是偶函数 D．函数 是增函数6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为
B．若 有 个零点，则 或
C．若 有 个零点，则 或
D．若 的 个零点分别为： ， ， ，则 的取值范围为
