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第 1 章整式的乘除（单元基础卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•昆明期末）x2+ax+9是一个完全平方式，a的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．9
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a
的值．
【解答】解：∵x2+ax+9＝x2+ax+32，
∴ax＝±2•x•3，
解得a＝±6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是
难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
2．（2021秋•南平期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+ B．1+4x2 C．a2+ab+b2 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2，据此即可判断．
【解答】解：A、是完全平方式，故本选项正确；
B、不是完全平方式，故本选项错误；
C、不是完全平方式，故本选项错误；
D、不是完全平方式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方式，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积
的2倍，是解题的关键．
3．（2021秋•浉河区期末）已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【分析】根据完全平方公式的特点求解．
【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展开可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，
∴k＝±16．
故选：D．
【点评】本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2＝a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且
互为相反数．4．（2021秋•双台子区期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．a9÷a3＝a6 C．a2•a2＝2a2 D．（﹣a2）3＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂
的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、a9÷a3＝a6，故本选项符合题意；
C、a2•a2＝a4，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟
记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（2021•崂山区二模）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．（3a）2＝9a2
【分析】选项A根据同底数幂的除法法则判断，同底数幂的除法法则：底数不变，指数
相减；
选项B根据幂的乘方运算法则判断，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项C根据同底数幂的乘法法则判断，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则判断，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得
的幂相乘．
【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
B．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（3a）2＝9a2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是
解答本题的关键．
6．（2021•蚌埠一模）下列各式计算结果为a5的是（ ）
A．a3+a2 B．a3×a2 C．（a2）3 D．a10÷a2
【分析】选项A根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可；
选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a3×a2＝a5，故本选项符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则
是解答本题的关键．
7．（2021秋•大洼区期末）下列等式成立的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝
C．（a﹣12）2＝a14 D．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：A、（﹣3）2＝9≠﹣9，本选项错误；
B、（﹣3）﹣2＝ ，本选项正确；
C、（a﹣12）2＝a﹣24≠a14，本选项错误；
D、（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝a2b6≠﹣a2b6，本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概
念和运算法则．
8．（2021秋•定州市期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6
【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b
的值即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b，
∴a＝1，b＝﹣6．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2021秋•官渡区期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小
正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，
其中能够验证平方差公式的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面
积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝
（2b+2a）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平
方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝
（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
本题主要利用面积公式求证明平方差公式．
10．（2021秋•郾城区期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（
）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关
于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的
系数等于0列式是解题的关键．二．填空题（共8小题）
11．（2021秋•望花区期末）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴
影部分的面积为 2 a 2 ．
【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝大正方形的面积的+小正方形的面积﹣直角
三角形的面积．
【解答】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积
＝（2a）2+a2﹣ •2a•3a
＝4a2+a2﹣3a2
＝2a2．
故填：2a2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．
12．（2021秋•海珠区期末）计算：（ ﹣3.14）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质：a0＝1（a≠0）得出答案．
π
【解答】解：（ ﹣3.14）0＝1．
故答案为：1．
π
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
13．（2021秋•长春期末）计算：（14a2﹣7a）÷7a＝ 2 a ﹣ 1 ．
【分析】根据整式的除法的法则对式子进行运算即可．
【解答】解：（14a2﹣7a）÷7a
＝14a2÷（7a）﹣7a÷（7a）
＝2a﹣1．
故答案为：2a﹣1．
【点评】本题主要考查整式的除法，解答的关键是熟记并灵活运用整式的除法法则．
14．（2021秋•双辽市期末）若x2﹣2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，则为m的值 ﹣ 3
或 5 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴﹣2（m﹣1）＝±8，
∴m＝﹣3或5
故答案为：﹣3或5【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础
题型．
15．（2021秋•宣化区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝ a 3 b 2 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：32n＝25n＝b，
则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2．
故答案为：a3b2．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
16．（2021秋•庄河市期末）如果x2﹣2（m+1）x+1是一个完全平方公式，则m＝ 0 或﹣ 2
．
【分析】利用完全平方公式的特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+1是一个完全平方公式，
∴﹣2（m+1）＝±2，
解得：m＝0或﹣2．
故答案为：0或﹣2
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（2021秋•梅里斯区期末）若有（x﹣3）0＝1成立，则x应满足条件 x ≠ 3 ．
【分析】根据0的0次幂没有意义即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
故答案是：x≠3．
【点评】本题主要考查了零指数幂．负整数指数为正整数指数的倒数，任何非0数的0次
幂等于1．
18．（2021秋•汝南县期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为 ﹣ 8
．
【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（x2﹣x+m）（x﹣8），再根据积不含x的一次
项，可得含x的一次项的系数等于零，即可求出m的值．
【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次项，
∴8+m＝0，
解得：m＝﹣8．
故答案为﹣8．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数
等于0．三．解答题（共10小题）
19．（2021春•郴州期末）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2，其中x＝
，y＝﹣3．
【分析】根据整式的四则运算顺序（先乘除，后加减）及整式的运算法则对代数式进行
化简，然后将x、y的值代入．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝ ，y＝﹣3时，
原式＝ ．
【点评】本题考查整式的混合运算，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
20．（2021春•宁德期末）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5．
（2） ．
【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的乘、除法法则求出即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a6•a8÷a10
＝a4；
（2）原式＝（ ）2﹣（3a）2
＝ ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，乘法公式等知识点，能灵活运用知识点进
行计算和化简是解此题的关键．
21．（2021春•周村区月考）已知am＝2，an＝5，求a3m﹣2n的值．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此
计算即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴a3m﹣2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝23÷52＝ ．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关
键．
22．（2021春•台儿庄区月考）已知a2+b2＝25，a+b＝7，求ab与a﹣b的值．
【分析】由（a+b）2＝a2+b2+2ab，将已知代入即可得ab的值，求出（a﹣b）2的值，从而可得a﹣b的值．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a2+b2＝25，a+b＝7，
∴72＝25+2ab，
∴ab＝12，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，ab＝12，a2+b2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣2×12
＝1，
∴a﹣b＝±1．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形及
应用．
23．（2021春•济宁期末）计算：
（1）（﹣a）3•a2﹣（﹣3a3）2÷a．
（2）20212﹣2022×2020．
【分析】（1）先计算乘方运算，再计算乘除，最后合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式展开，再合并即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣a3•a2﹣9a6÷a
＝﹣a5﹣9a5
＝﹣10a5；
（2）原式＝20212﹣（2021+1）×（2021﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
【点评】此题考查的是整式的混合运算及平方差公式，能够进行正确变形20212﹣
2022×2020＝20212﹣（2021+1）×（2021﹣1）是解决此题关键．
24．（2021春•舞钢市期末）先化简，再求值．
（a+2b）（a﹣b）﹣（﹣2a+b）2+（3a﹣b）（3a+b），其中a＝1，b＝2．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝a2+ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）+9a2﹣b2
＝a2+ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2+9a2﹣b2
＝6a2+5ab﹣4b2，
当a＝1，b＝2时，
原式＝6+10﹣16
＝0．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，
本题属于基础题型．
25．（2021春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S 和S ．
甲 乙
（1）①计算：S ＝ m 2 +1 2 m +2 7 ，S ＝ m 2 +1 0 m +2 4 ；
甲 乙
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S ＞ S ．
甲 乙
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S ．
正
①该正方形的边长是 m + 5 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S 与S 的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说
正 乙
明你的理由．
【分析】（1）①根据长方形的面积公式以及多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
②通过作差法比较大小．
（2）①根据一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，求出正方形的边长．
②先用含有m的代数式表示出S 与S 的差，进而判断S 与S 的差与m的关系．
正 乙 正 乙
【解答】解：（1）①S ＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S ＝（m+6）（m+4）＝
甲 乙
m2+10m+24．
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S ﹣S
甲 乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S ＞S ．
甲 乙
故答案为：＞．
（2）①∵C ＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
乙
∴C ＝4m+20．
正
∴该正方形的边长为 ．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵ ＝m2+10m+25，S ＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
乙
∴S ﹣S ＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
正 乙
∴S 与S 的差是1，故与m无关．
正 乙
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本
题的关键．26．（2021春•于洪区期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种
纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的
长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ＝
a 2 +2 ab + b 2 ． ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
【分析】（1）图形②是边长为（a+b）的正方形，它的面积由一个边长为a的正方形和一
个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b＝4进行平方，结合a2+b2＝10即可求得ab的值；
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1则有（a﹣1）2+（a+1）2＝130，进
行整理可得a2＝64，从而求出所求．
【解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽
为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解题的关
键．
27．（2021春•通川区校级月考）（1）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣
8x2y2）÷4xy，其中x＝2019，y＝2020；
（2）已知（2a﹣1）2+|b+3|＝0，求[（a2+b2）﹣（a﹣b）2+2b（a﹣b）]÷（﹣2b）的值．
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式，多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，
最后求出答案即可；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，算除法，求出
a、b的值，再求出答案即可．
【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy
＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy
＝x2+y2﹣2xy
＝（x﹣y）2，
当x＝2019，y＝2020时，原式＝（2019﹣2020）2＝1；
（2）[（a2+b2）﹣（a﹣b）2+2b（a﹣b）]÷（﹣2b）
＝（a2+b2﹣a2+2ab﹣b2+2ab﹣2b2）÷（﹣2b）
＝（﹣2b2+4ab）÷（﹣2b）
＝b﹣2a，
∵（2a﹣1）2+|b+3|＝0，
∴2a﹣1＝0且b+3＝0，
解得：a＝ ，b＝﹣3，
当a＝ ，b＝﹣3时，原式＝﹣3﹣2× ＝﹣4．
【点评】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，整式的混合运算与求值等知识点，能灵
活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
28．（2021秋•永春县期中）发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体
体积，就可以得到一个恒等式．如图是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分
成8块．（1）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为
（ a + b ） 3 ＝ a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ；
（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【分析】（1）根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱
长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝
a3+3a2b+3ab2+b3；
（2）根据（1）得出的式子再进行转化，然后把a+b＝4，ab＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（2）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
得：（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，
将a+b＝4，ab＝2，代入（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
得（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，
即43＝a3+3×2×4+b3，
解得：a3+b3＝64﹣24＝40．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方
公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
