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九年级上册数学知识梳理
第1章 特殊四边形 知识梳理
一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
S 底高
3．面积：
平行四边形
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
对角线对角线
3．面积：S ＝底高＝
菱形 2
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S ＝长宽
矩形
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角
形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积： 边长×边长＝ ×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
五、特殊平行四边形之间的联系
第2章 一元二次方程 知识梳理
一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，
叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一
元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①
一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数
不为0．
二、一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法
和因式分解
法，再考虑用公式法．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bxc 0(a 0) 中，b2 4ac叫做一元二次方程
ax2 bxc 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以
下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解
决而获得对实际问题的解决.
第3章 概率的进一步认识 知识梳理
一、用树状图或表格求概率
1.树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一
事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件
发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可
能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结
果个数m；
m
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）= .
n
二、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.m
概率：事件A的频率 n 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记
作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小
摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率
是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能
性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中
事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏
差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频
率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，
结果将较为精确.第4章 图形的相似 知识梳理
一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相
等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c
，则b2
=ac（b称为a、c的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角
形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于
直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
要点：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能
构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的
比等于k或-k.
第5章 投影与视图 知识梳理
一、投影
1. 投影现象
物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所
在的平面称为投影面.
2. 中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形
成的投影，称为中心投影.
相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子
短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越
长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影
子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物
体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.平行投影的定义
太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.
相应地，我们会得到两个结论：
①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的
影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西
→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即： .
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解
题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
4、正投影
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相
平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面
(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行
光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.
要点：
正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
二、中心投影与平行投影的区别与联系
1.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散
的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一
方向，也可能在不同方向.
2.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线
下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线
所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来
的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在
中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影
中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
要点：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们
的具体特点进一步解决问题.
三、视图
1.三视图
（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.
（2）三视图
在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分
别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图
叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系
（1）位置关系
一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的
高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
要点：
三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体
的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物
体的三视图打下坚实的基础.
3.画几何体的三视图
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.
要点：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画
出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；
其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与
同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
4.由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视
图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
要点：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进
行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧
面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见
和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的
想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，
反复练习，不断总结方法.第6章 反比例函数 知识梳理
一、反比例函数的概念
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量，
是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
要点：在 中，自变量 的取值范围是 ， ( )可以写成 (
)的形式，也可以写成 的形式.
二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定
系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，
从而确定其解析式.
三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第
一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 轴、 轴都没有
交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点：
观察反比例函数 的图象可得： 和 的值都不能为0，并且图象既是轴
对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
k
y= (k≠0)
x y=x和y=−x
① 的图象是轴对称图形，对称轴为 两条直线；
k
y= (k≠0)
x
② 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
k k
y= 和y=−
x x
③ (k≠0)在同一坐标系中的图象关于 轴对称，也关于 轴对称.
k
y= 2
注：正比例函数
y=k
1
x
与反比例函数 x ，k ⋅k <0 k ⋅k >0
当 1 2 时，两图象没有交点；当 1 2 时，两图象必有两个交点，且这
两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当 时， 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而
减小；当 时， 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内， 随 的增大而
增大.
（2）若点( )在反比例函数 的图象上，则点（ ）也在此图象上，故反比
例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
正比例函数 反比例函数
解析式
图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）
，一、三象限； ，一、三象限
位 置
，二、四象限 ，二、四象限
，在每个象限， 随 的增大而减
， 随 的增大而增大 小
增减性
， 随 的增大而减小 ，在每个象限， 随 的增大而增
大
（4）反比例函数y＝ 中 的意义
①过双曲线 ( ≠0) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
②过双曲线 ( ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的
面积为 .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要
注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
