第27讲数列的概念（精讲）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第 27 讲 数列的概念（精讲） 题型目录一览 ①数列的概念与通项公式 ②数列的性质 ③a 与S 的关系 n n 一、知识点梳理 一、数列的概念 1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几 {a } 项，则在数列中是第几项，一般记为数列 n . 2.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数” 的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么 它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． N N （3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集 和正整数集 的有限子集.所以数列的函数的图像 不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 二、数列的分类 分类原则 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 按项数分类 无穷数列 项数无限 递增数列 a a n1 n 按项与项间的大小 递减数列 a n1 a n 其中n∈N ＋ 关系分类 常数列 a a n1 n有界数列 存在正数M ，使 a n M 按其他标准分类 a 摆动数列 n的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 三、数列的通项公式   a n n 如果数列 n 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公 a  f n 式．即 n ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 四、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a 与它的前一项a (或前几项)间 n n－1 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 五、a 与S 的关系 n n S (n1) a  1 a  n S a n  S S (n2) 数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n1 二、题型分类精讲 题型 一 数列的概念与通项公式 策略方法 数列的概念与通项公式 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的 关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于 1n 1n1 正负符号变化，可用 或 来调整． 2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数 列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与 其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪 些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项 公式. 【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列 ，则该数列的第6项 （ ） A．49 B．50 C．51 D．52 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了 如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个 球，······，则第十层有（ ）个球． A．12 B．20 C．55 D．110 2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创 立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形 规律可得知图2的一个树形图，记图2中第 行黑圈的个数为 ，白圈的个数为 ，若 ，则 （ ） A．34 B．35 C．88 D．89 3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲， 后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是 指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数 ，按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则 （ ） A．5或16 B．5或32 C．5或16或4 D．5或32或4 4．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起 了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ，此数列在现代物理、准晶体结构 及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则 的值为（ ）． A． B． C． D． 5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列 前 项的和 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·全国·高三专题练习）如图，第 个图形由第 边形“扩展”而来的.记第 个图形的顶点数为 ，则 . 7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过 的最简分数及0（视为 ）和1（视为： ）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是 ．则F－7的项数为 ． 8．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，且 （ 为正整数）， 则 . 9．（2023·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列： 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组 成的数列称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数列中的第 项． 题型二 数列的性质 策略方法 1．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(或商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调 性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性判断． (2)在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 【典例1】若数列 中， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D．【典例2】已知数列 的通项公式为 ，且 为递增数列，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ，当 时， 是 的个位数， 则 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列 满足 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 3．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列 的前n项和为 ，则使得 最小时的n是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，前n项和为 ，则 取最 小值时n的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2023·北京·统考模拟预测）设 是等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也 不是必要条件7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，对所有的正整数 都有 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则当 最小时， （ ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高三专题练习）数列 的通项公式是 ，则该数列中的最大项和最小项依次 为（ ） A． B． C． D． 11．（2023·北京通州·统考三模）数列 中， ，则 （ ） A． B． C．2 D．4 12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ， 则 （ ） A．－1 B． C．0 D． 13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，记数列的前 项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）斐波那契数列 可以用如下方法定义： ，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的第100 项为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若存在实数 ，使 单调递增，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知无穷实数列 的前n项和为 ．若数 列 既有最大项，也有最小项，则在：①“ 且数列 严格减”和②“ 且数列 严格 增”中， 可能满足的条件是（ ） A．不存在 B．只有①C．只有② D．①和② 二、多选题 18．（2023·全国·高三专题练习）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为 同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积数列，且 ，前 项的和为 ，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．公积为 D． 19．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ．则下列结论中正确的 是（ ） A． 是等比数列 B． C． D． 20．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足： ， ，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果 某同学据此改编，研究如下问题：在数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ，前 项和为 （参考数据： ， ，则下列选项正确的是（ ） A． 是单调递增数列， 是单调递减数列B． C． D． 三、填空题 22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，则 . 23．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，则 . 24．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 若 ，则 . 25．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列 中， ， ，且 （ ），记数列 的前n项积为 ，则 的值为 ． 26．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 .若存在常数 ，对于任意 ， 恒有 ，则 的取值范围是 . 27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且对任意 ，有 ，则 的 取值范围是 . 28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知数列 满足： ，若 ，且数列 为递增数列，则实数 的取值范围为 ．29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ， 则 ． 30．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的无穷数列，其前n 项和为 ， ．给出下列四个结论： ① ； ②数列 有最大值，无最小值； ③ ； ④存在 ，使得 . 其中所有正确结论的序号是 ． 题型三 a 与S 的关系 n n 策略方法 已知S 求a 的三个步骤 n n (1)利用a ＝S 求出a ． 1 1 1 (2)当n≥2时，利用a ＝S －S (n≥2)求出a 的表达式． n n n－1 n (3)看a 是否符合n≥2时a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成 1 n 分段的形式，即a ＝ n 【典例1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A．16 B．18 C．20 D．25 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）A． B．5 C．7 D．8 2．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 的前n项和是 ，则 （ ） A．9 B．16 C．31 D．33 3．（2023秋·海南·高三统考期末）若数列 的前n项和 ，则 （ ） A．7 B．8 C．15 D．16 4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）“斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学 家列昂纳多 •斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐 波那契数列 满足: ，记其前 项和为 ，设 ( 为常 数)，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 （ ） A． B．2 C．1011 D．2022 6．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 7．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知首项为3的数列 的前 项和为 ，若，则 （ ） A．1435 B．1436 C． D． 8．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和 满足 ， 数列 满足 ，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 9．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，则 的通项公 式为（ ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， 若数列 为单调递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·湖南岳阳·统考三模）设数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，则下列结论正确的有（ ） A． B．数列 单调递减C．当 时， 取得最小值 D． 时，n的最小值为7 三、填空题 12．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 ． 13．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知数列 的前 项和 ，则 ． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n和 ，则数列 的通项公式为 ． 15．（2023·高三课时练习）数列 的前n项积为 ，那么当 时， ＝ ． 16．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列 满足 ，则数列 的通 项公式为 . 17．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列 满足 且 ，其中 为数列 的 前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项 ． 18．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ” 是“ ”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必 要”中的一种） 19．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需 求量 （万件）近似地满足关系式 ，按此预测，在本年度内，需求量超 过1.5万件的月份是 . 20．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则 的通 项公式是 ．