文档内容
专题 38 导数的隐零点问题必刷 100 题
1．已知函数 （其中 ， 为自然对数的底数）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
2．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若不等式 恒成立，求整数a的最小值．
3．已知函数 ， ．
（1）当 时，求过点（0，0）且与曲线 相切的直线方程；
（2）当 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值．
4．已知函数 ．（1）求 的单调区间和极值；
（2）若存在实数 ，使得 成立，求整数 的最小值．
5．已知函数
（1）证明： 在区间 上存在唯一的零点
（2）证明：对任意 ，都有
6．已知函数 ， ( 为自然对数的底数).
（1）记 ，求函数 在区间 上的最大值与最小值；
（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值.
7．已知函数 ．
（Ⅰ）若函数 的图象在 处的切线与 轴平行，求 的值；
（Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围.8．已知函数
（Ⅰ）求函数 的极值；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围.
9．函数 ， （ ）．
（Ⅰ）若 ，设 ，试证明 存在唯一零点 ，并求 的最大值；
（Ⅱ）若关于 的不等式 的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围．
10．已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）若 对任意的 成立，求实数 的取值范围．
11．已知函数 ， ， .
（1）讨论 的单调区间；（2）若 ， ，且 恒成立，求 的最大值.
12．设函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若对 ，都有 （ ）成立，求 的最大值.
13．已知函数 .
（1）若 是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若 恒成立，求实数a的取值范围.
14．已知函数 ，其中 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）设当 时，若对任意 ，不等式 恒成立，求整数 的最小值.
15．已知函数 ，其中 为常数.
（1）若曲线 在 处的切线在 轴上的截距为 ，求 值；（2）若 存在极大值点 ，求 的取值范围，并比较 与 的大小.
16．已知函数 ， ，直线 分别与函数 ， 的图象交于 ， 两
点， 为坐标原点．
（1）求 长度的最小值；
（2）求最大整数 ，使得 对 恒成立．
17．已知函数 ， .
（1）证明： ；
（2）若 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求 的最小值.
18．已知函数 在点 处的切线为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，且存在 ，使得 成立，求 的最小值.19．已知函数 .
（1）求证：函数 存在极小值点 且 ；
（2）令 ，求 的最小值.
20．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 的最小值为 ，求参数a的值．
21．已知函数 ， （其中 为常数， 是自然对数的底数）．
（1）若 ，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
22．已知函数 .
（1）讨论 的极值情况；
（2）若 时， ，求证： .23．设函数 ， （e为自然对数的底数）
（1）若函数 有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数 ，其中 为 的导函数，求证： 的极小值不大于1.
24．已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，函数 的最小值为 ，求 的值域.
25．设函数 ， ，
（1）当 时，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围：
（2）若函数 在定义城内不单调，求 的取值范围：
（3）是否存在实数 ，使得 对任意正实数 恒成立?若存在，求出满足条件的
实数 ；若不存在，请说明理由.26．已知函数 ．
（1） ，求函数 的单调区间：
（2）对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
27．已知函数 ， ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 ，求 的单调区间；并证明：当 时， ；
（3）证明：当 时，函数 有最小值，设 最小值为 ，求函数
的值域．
28．已知函数 .
（1）若 是函数 的极值点，求 的单调区间；
（2）当 时，证明：29．已知函数
（1）若 ， ，若 的单调区间；
（2）当 时，若 存在唯一的零点 ，且 ，其中 ，求 .
（参考数据： ， ）
30．已知函数 .
（1）若 在 上存在极小值，求 的取值范围；
（2）设 （ 为 的导函数）， 的最小值为 ，且 ，求 的
取值范围.
31．已知函数 ，其图象的一条切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求证:若 ，则 .
32．已知函数 ， .
（1）若不等式 对 恒成立，求 的最小值；
（2）证明： .（3）设方程 的实根为 .令 若存在 ， ， ，使
得 ，证明： .
33．已知函数 ， .
（1）讨论 在区间 上的单调性；
（2）若 时， ，求整数 的最小值.
34．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若当 时，总有 ，求 的最大值．
35．设 ，（1）求 的单调区间；
（2）设 恒成立，求实数 的取值范围.
36．已知函数 ， .
（1）若 在 处的切线也是 的切线，求 的值；
（2）若 ， 恒成立，求 的最小整数值.
37．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）设 ，若对 都有 成立，求a的最大值．
38．已知函数 ．
（1）求函数在 处的切线方程
（2）证明： 在区间 内存在唯一的零点；（3）若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值．
39．已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围.
40．已知函数 ．
（1）若对任意实数 ，都有 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当 时，若 ，求 的最小值．
41．已知函数 ， .
（1）讨论 在 内的零点个数.
（2）若存在 ，使得 成立，证明： .42．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若 ，当 时， 恒成立，且 有且只有一个实数解，证明： .
43．已知 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
44．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，求实数a的取值范围.
45．已知函数f（x）＝﹣αx2+（α﹣2）x+lnx.
（1）当α＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若 在当x∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.46．设函数 ．
（Ⅰ）若 ，求函数在 处的切线方程；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的 ，恒有 成立．
47．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
48．已知函数 ．
（1）证明： 在区间 内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值．
49．已知函数 .（1）若 求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求整数a的最大值.
50．已知函数 .
（1）讨论 在区间 上的最小值;
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.（ 为自然对数的底）
51．已知函数 ．
（1）若函数 在定义域上的最大值为 ，求实数 的值；
（2）设函数 ，当 时， 对任意的 恒成立，求满足条件的实数
的最小整数值．
52．已知函数 .
（1）当 时，讨论 在 上的单调性；
（2）设 ，若当 ，且 时， ，求整数 的最小值.53． ．
（1）求 的零点个数；
（2）使不等式 对任意 恒成立时最大的k记为c，求当 时，
的取值范围．
54．已知函数 (其中 是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线方程是
.
（1）求 ， ；
（2）设函数 ，若 在 上恒成立，求 的取值范围.
55．已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
56．已知函数 （ ）， .
（1）求函数 的极值点；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.57．已知函数 .
（1）若函数 在定义域上的最大值为 ，求实数 的值；
（2）设函数 ，当 时， 对任意的 恒成立，求满足条件的实数
的最小整数值.
58．已知函数 .
（1）求 在 处的切线方程；
（2）若 时，不等式 恒成立，证明： .
59．设函数 ．
（1）若函数 ，求 在 上的最值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
60．设函数 ．（1）若函数 有两个不同的极值点，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ，当 时，不等式 恒成立，试求 的最大
值．
61．已知函数 ， 为自然对数的底数， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，且 ，求整数 的最大值．
62．已知函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若对于任意的 ， 恒成立，求 的最小值.
63．已知函数 ．
（1）判断函数 的单调性，并证明 有且仅有一个零点：
（2）若 ，求 的取值范围．64．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若任意 ，总有 成立，求a的取值范围．
65．函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 在 恒成立，求实数m的取值范围.
66．已知函数 在 处取得极值．
（1）若对 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）设 ，记函数 在 上的最大值为 ，证明： ．
67．已知函数 的图象在 （ 为自然对数的底数）处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求 的最大值．68．已知函数f(x)=aex-2(a+1).
（1）讨论函数g(x)=f(x)-2.x的单调性；
（2）若不等式 (a>0)在x∈(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.
69．已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ，求 的最大值．
70．已知函数 ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）若存在实数 ，使得 成立，求整数 的最小值．
71．已知函数 ， ．（1）当 时，求过点（0，0）且与曲线 相切的直线方程；
（2）当 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值．
72．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若不等式 恒成立，求整数a的最小值．
73．已知函数 （ ， 为自然对数的底数）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 在 恒成立，求实数 的取值范围．
74．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.75．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）若函数 在 处的切线与直线 垂直，求函数 在 处的切线方程.
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
76．已知函数 （ ），其中 ， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的最小整数值．
77．已知函数
（1）若函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）当 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值.78．已知函数 ．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若 恒成立，求a的取值范围．
79．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若对任意的 ，均有 ，求实数m的最小值．
80．设函数 ， .
（1）当 时，求方程 的根（其中 为自然对数的底数）；
（2）求函数 的单调增区间；
（3）当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有解？若存在，请
求出 的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ， ）
81．已知函数 ， ， .
（1）若函数 的图象与直 ： 相切，求实数 的值；（2）若不等式 恒成立，求整数 的最大值.
82．已知函数 在 处的切线与 在 处的切线平行.
（1）求 ；
（2）设 ，问是否存在 ，使 在 上恒成立，若存在，求 的个数；
若不存在，说明理由.
83．已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 上有唯一的极值点 ，求 的取值范围，并证明： ．
84．已知 ， .
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
（2）当 时，判断 的零点的个数，并证明你的结论.85．已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数a的取值范围.
86．已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的零点存在情况；
（2）当 时，证明：当 时， .
87．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求整数k的最大值.
88．已知函数 ，曲线 在点 处的切线平行于直线 .
（1）求函数 的单调区间.
（2）设直线l为函数 的图象在点 处的切线，问：在区间 上是否存在 ，使得直线l与函数 的图象也相切？若存在，求出满足条件 的个数；若不存在，请说明理由.
89．己知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）设 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
90．已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若 是函数 的极值点，且 ，求证： .
91．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 都有 ，求实数a的取值范围.
92．已知函数 .（1）求 的单调区间；
（2）当 时，证明： .
93．已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： .
94．已知函数 ， ，其中 .
（1）若 ，在平面直角坐标系 中，过坐标原点 分别作函数 与函数 图象的切线
和 ，求 ， 的斜率之积；
（2）若对 上，总有 成立，试求实数 的最小值.
95．已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求证：当 时， .96．已知函数 ．
（1）当 时，判断 在区间 上的单调性；
（2）当 时，记 的最大值为 ，求证： ．
97．已知函数 ．
（1）若对任意 ， ，都有 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求证：当 时， ．
98．已知函数 ，求：
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，总有 ，求整数 的最小值.
99．设函数 ，其中 .（1）若 是函数 的极值点，求a的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）当 时，设函数 ，证明： .
100．已知函数 在点 处的切线平行于x轴．
（1）求实数a，b的值；
（2）讨论函数 的零点个数．
