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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 05 讲 一元二次不等式及其应用（精讲）
题型目录一览
①不含参数的一元二次不等式的解法
②含参数的一元二次不等式的解法
③一元二次不等式综合应用
④分式不等式与绝对值不等式的解法
一、知识点梳理
1.一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的两个
根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上.
（2）①若 ，解集为 .
②若 ，解集为 .
③若 ，解集为 .
(2) 当 时，二次函数图象开口向下.
①若 ，解集为
②若 ，解集为
2.分式不等式
（1）（2）
（3）
（4）
3.绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【常用结论】
1.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．
由 的解集为 ，得: 的解集为 ，即关于 的不等式
的解集为 ．
已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
2.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
3.已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等
式 的解集为 ，以此类推．
4.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
5.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
6.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
7.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ．
二、题型分类精讲
题型 一 不含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解一元二次不等式的四个步骤
【典例1】函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】结合已知条件，求解不等式 即可得到答案.
【详解】由 可知， ，
即 ，解得 ，
故 的定义域为 .
故选：A.
【典例2】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】直接解不含参一元二次不等式即可.
【详解】因为 或 ，则 图象如图所示，
所以 解集为 .
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知集合 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.【详解】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交
运算，属于基础题目.
2．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式，得到 ，结合集合 的元素特征，得到交集.
【详解】 ，解得 ；集合A元素满足 ，
当 时， 满足要求，当 时， 满足要求，当 时， 满足要求，
其他均不合要求，故 .
故选：C．
3．（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆 的焦距大于 ，则m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆方程表示出焦距，解不等式即可.【详解】椭圆 化为标准方程为 ，则 ，
若椭圆 的焦距大于 ，则有 ，
整理得 ，解得 ，故 ．
故选：D
二、填空题
4．不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【详解】不等式 即 ，
的根为 ，
故 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：
5．不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】根据不等式，解出即可.
【详解】解:由题知不等式为 ,即 ,即 ,解得 ,所以解集为 .故答案为:
6．若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意建立不等式，即可求得实数a的取值范围．
【详解】∵方程 表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，解得 或 ，
∴实数a的取值范围是 ．故答案为： ．
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解含参不等式的分类讨论依据
【典例1】关于x的不等式 的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简不等式，然后根据 的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.
【详解】因为 ，所以 ，当 时， ，不等式解集为 ；
当 时， ，不等式解集为 ；
当 时， ，
若 ， ，解集为 ；
若 ， ，解集为 ；
若 ， ，解集为 ；
所以解集不可能是 ，
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数学试题）已知集合 ，
，若 且 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】根据含参一元二次不等式的对 分类讨论得解集，确定集合 的取值情况，再结合集合 的关
系，确定 的取值.
【详解】当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，又 ， 且 ，
则 ，故 得取值范围为 ，故符合条件的 .
故选：D.2．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合 ，
集合 ，满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式可求得集合 ，根据交集结果可确定集合 ，由此可构造不等式求得结果.
【详解】由 得： ，解得： ，即 ；
由 得： ，
， ， ，解得： .
故选：D.
二、填空题
3．（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第一单元1.6一元二次不等式）已知关于x的不等式组
的整数解的集合为 ,则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为
，根据数轴即可得出结果.
【详解】由 ，解得 或 ，
由 ，即 ，
当 时， 的解为 ，
故不等式组的解集为 ，因为 ，不符合不等式组的解集中有整数 ，故舍去；
当 时，不等式 为
，即 ，
所以不等式无解，不符合题意，故舍去；
当 时， 的解为 ，
若需不等式组的整数解的集合为 ，
由数轴可知只需 ，解得 ，
综上，实数k的取值范围是 .
故答案为： .
4．（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）设
，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先利用分式不等式求解 ，再利用一元二次不等式化简集合 ，再由充分条件的定义可知 ，
即可求得数 的取值范围.
【详解】 ，
， ，
若 是 的充分条件,则 ，
当 时， ，此时不满足 ，故舍去；当 时， ，若满足 ，则 .
综上： .
故答案为：
三、解答题
5．解下列关于 的不等式： ．
【答案】答案见解析.
【分析】对 分三种情况讨论得解.
【详解】由 得 或 .
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ．
综上： 时，不等式解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为
．
6．解下列关于 的不等式 ．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程： 且
解得方程两根： ；
当 时，原不等式的解集为：当 时，原不等式的解集为：
综上所述, 当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
7．解下列关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析
【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论 符号求解集即可.
【详解】由对应函数 开口向上，且 ，
当 ，即 时， 恒成立，原不等式解集为 ；
当 ，即 或 时，由 ，可得 ，
所以原不等式解集为 ；
综上， 解集为 ；
或 解集为 .
题型三 一元二次不等式综合应用
策略方法 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路
1．牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．【典例1】若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】由题知 ， ，进而将不等式转化为 ，再解不等式即可.
【详解】解：由 ，整理得 ①．
又不等式 的解集为 ，
所以 ，且 ，即 ②．
将①两边同除以 得： ③．
将②代入③得： ，解得 ．
故选：A
【典例2】关于x的方程 恰有一根在区间 内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于 ，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 对应的二次函数设为：
因为方程 恰有一根属于 ，则需要满足：① ， ，解得： ；
②函数 刚好经过点 或者 ，另一个零点属于 ，
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，不合题意，舍去
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点， ，解得 ，
经检验，当 时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（北京市第一0一中学2023届高三下学期数学统练三试题）已知关于x的不等式 的
解集是 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式 的解集为 ，则
D．若关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意 ，所以 正确;
对于 : ，当且仅当 ，即 时成立,
所以 正确;
对于 ,由韦达定理，可知 ，所以 错误;
对于 ,由韦达定理，可知 ，
则 ，解得 ，
所以 正确,
故选： .
2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知关于 的不等式
的解集为 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由题意，得 ，且 ， 是方程 的两根，由韦达定理 ，解得 ；
，由基本不等式得 ，从而可得 ，利用对勾函数性质可求解.
【详解】因为 的解集为 ，
所以 ，且 ， 是方程 的两根，
，得 ； ，即 ，当 时，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
令 ，由对勾函数的性质可知函数
在 上单调递增，所以 ，
的最小值为3.
故选：D．
3．已知关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，解一元二次不等式可得答案.
【详解】由题意关于x的不等式 的解集为 ，
则 ，解得 ，
即实数a的取值范围是 ，
故选：A
4．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设 ，由题意可得 ，从而可求出实数a的取值范围
【详解】设 ，开口向上，对称轴为直线 ，
所以要使不等式 在区间(2，5)内有解，只要 即可，
即 ，得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：D
5．已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，根据二次方程根的分布可得式子 ，计算即可.
【详解】令
由题可知：
则 ，即
故选：C
6．设a为实数，若方程 在区间 上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据方程根的分布结合二次函数的图象列出不等式组求解即可.
【详解】令 ，
由方程 在区间 上有两个不相等的实数解可得
，即 或 ，
解得 ，
故选：C
7．已知函数 （b，c为实数）， .若方程 有两个正实数根 ， ，
则 的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】由 求得 ，再由方程 有两个正实数根 ， ，利用根的分布得到
，然后利用韦达定理求解.
【详解】因为函数 （b，c为实数）， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
因为方程 有两个正实数根 ， ，所以 ，
解得 ，
所以 ，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
二、填空题
8．已知关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解
集为______．
【答案】
【分析】根据不等式的解集，利用韦达定理可求出 的关系，再代入新的不等式可求得答案.
【详解】因为不等式 的解集是 ，
所以 和2为方程 的两个根，且 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 转化为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
9．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 是方程 的两个不相等的实根，
因此有 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即 时取等号，
，设 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 单调递增，所以 ，
故答案为：
10．（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数 （ 且 ），若关于 的
不等式 的解集为 ，其中 ，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出 ， ，且 的解集为 ，根据
一元二次不等式和相应方程的关系可得 ，结合b的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知若 ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∵ 的解集为 ，∴ ， ，且 的解集为 ，
∴ 与 是 的两根，
故 ，∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
故答案为：
11．（福建省大田县第一中学2022届高三上学期期中考试数学试题）若关于 的不等式
恰有1个正整数解，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出 的
取值范围
【详解】不等式 等价于 .令 ，解得 或
.
当 时，不等式 的解集为 ，要想恰有1个正整数解，则 ；
当 时，不等式 无解，所以 不符合题意；
当 时，不等式 的解集为 ，则 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
12．方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】解：由题意，方程 的两根都大于 ，令 ，
可得 ，即 ，解得 ．
故答案为： .
13．方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围是_______
【答案】
【分析】根据 的图像可得两个根都大于 时关于 的不等式组，解出 的范围即可.
【详解】解： 的两个根都大于
，解得
可求得实数 的取值范围为
故答案为：
题型四 分式不等式与绝对值不等式的解法
策略方法 绝对值不等式和分式不等式解法
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理．
【典例1】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式移项通分得到 ，再转化为二次不等式即可得答案.【详解】 ，即 ，解得： ，
不等式的解集为 ，
故选：C.
【典例2】不等式 的解集为（ ）
A．R B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解绝对值不等式的公式，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，解得： ，
所以不等式的解集为： .
故答案为：
【题型训练】
一、单选题
1．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 ，再用集合的交集运算性质进行计算即可.
【详解】由题意得， ，所以 ．
故选：A
2．（新疆维吾尔自治区部分学校2023届高三二模数学（理）试题）集合 ，
，记 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式得 ，再按照交集的定义运算即可.
【详解】由 ，解得 ，又 ，所以 ，
而 ，则 ，即 ，
对比选项可知，D正确，而A、B、C错误．
故选：D．
3．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 、 ，利用并集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
由 可得 ，解得 ，则 ，
因此， .
故选：D.4．（浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟（二模）数学试题）若集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合 、再解指数不等式求出集合 ，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由 可得 ，解得 ，所以 ，
由 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：B
5．（内蒙古赤峰市赤峰二中等校2023届高三下学期二轮复习联考（一）理科数学试题）已知集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再求集合交集即可.
【详解】解：解 得 或 ，故 或 ，
解不等式 得 ，故 ，
所以 或 .
故选：C
6．设a，b是实数，集合 ， ，且 ，则 的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解绝对值不等式得到集合 ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】集合 ，
或
又 ，所以 或
即 或 ，即
所以 的取值范围为
故选：D
二、填空题
7．（上海市徐汇区2023届高三二模数学试题）命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范
围是__________.
【答案】
【分析】由 解得 或 ，则 能推出 或 成立，即可得出实数 的取值范围.
【详解】由 可得： ，解得： 或 ，
“若 ，则 ”是真命题，则 能推出 或 成立，
则 .故实数 的取值范围是 .
故答案为：
8．设函数 是定义在R上的以3为周期的奇函数，若 ， ，则a的取值范围是
______．【答案】
【分析】利用函数的周期性和奇偶性将 转化为 ，再利用不等关系 即可求解.
【详解】∵ 是以3为周期的函数，∴ ，
又∵ 是定义在 上的奇函数，∴ ，∴ ，
由 可知 ，解得 ，即a的取值范围是 ，
故答案为： .
9．已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为______________．
【答案】
【分析】根据题意结合韦达定理即可得出 之间的关系，然后将分式不等式转化为整式不等式，即可
求得结果.
【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以1和2是方程 的两根，且 ，
由韦达定理可得
则不等式 可化为 ，即
即 ，解得
所以不等式解集为故答案为:
10．（上海市进才中学2023届高三下学期3月月考数学试题）已知集合 ，集合
.如果 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】解绝对值不等式求得集合 ，根据 求得 的取值范围.
【详解】由 解得 ，所以 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故答案为： .
11．不等式 的解集是_______．
【答案】 或
【分析】由含绝对值不等式的解法以及不含参数的一元二次不等式的解法即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 或 ，
即 或 ，
由 解得 或 ，
由 可得 ，所以 ，
故不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
