第05练一元二次不等式及其应用（精练：基础+重难点）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第 05 讲 一元二次不等式及其应用（精练） 【A组 在基础中考查功底】 一、单选题 1．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测理科数学试题）已知全集 ，集合 ，则集合 为（ ） A．(C A)∩B B．(C B)∩A U U C．C (A∪B) D．C (A∩B) U U 【答案】D 【分析】计算出 ，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案. 【详解】由题意知 ， ， A选项， ，A错误； B选项， ，B错误； C选项， ，故 ，C错误； 所以 . 故选：D. 2．（江西省宜春市2023届高三一模数学（理）试题）设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，应用集合交运算求结果. 【详解】由 ，可得 ，故 ， 由 ， 所以 . 故选：C 3．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合 ， 集合 ，满足 的实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可求得集合 ，根据交集结果可确定集合 ，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由 得： ，解得： ，即 ； 由 得： ， ， ， ，解得： . 故选：D. 4．设一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 和 是方程 的两个根，由韦达定理解得 和 ，可得结果. 【详解】由题意可知方程 的根为 ， 由韦达定理得： ， ，解得 ，所以 . 故选：B. 5．（河北省承德市双滦区实验中学2023届高三上学期10月数学试题）已知集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式可求得集合 ；根据充分不必要条件的定义可知  ；解一元二次不等式，分别 讨论 ， 和 的情况，根据包含关系可求得结果. 【详解】由 得： ， ，解得： ， ； 由 得： ； “ ”是“ ”的充分不必要条件，  ， 当 时， ，不满足  ；当 时， ，不满足  ； 当 时， ，若  ，则需 ； 综上所述：实数 的取值范围为 . 故选：A. 6．若不等式 的解集为 ，则函数 的图象可以为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得 和 是方程 的两个根，求出 ，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得 和 是方程 的两个根，且 ， ，解得 ， 则 ， 则函数图象开口向下，与 轴交于 . 故选：C. 二、多选题 7．已知关于x的不等式 的解集为 ，则（ ） A． B．不等式 的解集是 C．D．不等式 的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式 的解集判断出 ，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断 BCD选项的正确性. 【详解】关于 的不等式 的解集为 选项正确； 且－2和3是关于 的方程 的两根，由韦达定理得 ， 则 ，则 ，C选项错误； 不等式 即为 ，解得 选项正确； 不等式 即为 ，即 ，解得 或 选项正确. 故选： . 8．已知关于 的一元二次不等式 ，其中 ，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集． 【详解】不等式变形为 ，又 ，所以 ， 时，不等式解集为空集； ， ， 时， ， 因此解集可能为ABD． 故选：ABD． 三、填空题9．不等式 的解集为__________________. 【答案】 【分析】分类讨论 和 ，即可求出结果. 【详解】因为 ，所以 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 . 所以原不等式的解集为 . 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，属于基础题型. 10．不等式 的解集为 ，则函数 的单调递增区间是_______ 【答案】 【解析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出 ， 的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间. 【详解】由题知-2和1是 的两根， 由根与系数的关系知-2+1= ，−2×1＝ ， 由不等式的解集为 ，可知 ， ， 则 ， 因为函数 的定义域为 ， 令 则该函数的增区间为 所以 的增区间为 故答案为： .11．若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是________. 【答案】 或 【分析】分别讨论 和 ，利用不等式 的解集不是空集，解出 的取值范围. 【详解】解：若 ，则原不等式等价为 ，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即 . 若 ，要使不等式 的解集不是空集， 则①若 ，有 ，解得 . ②若 ，则满足条件. 综上所述，满足条件的 的取值范围是 或 . 故答案为： 或 . 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题. 12．若 和 分别是一元二次方程 的两根，则 的是_____________. 【答案】 【分析】由韦达定理得 ， ， 进而求解． 【详解】解：由韦达定理： ， ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 四、解答题 13．集合 ， . (1)若 ， ，求实数 的值； (2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 的取值范围.条件：① ；② ；③ . 【答案】(1)1； (2)条件选择见解析， . 【分析】（1）利用元素与集合的关系，可以确定 且 ，求解即可； （2）任选其中一个条件，根据集合间的关系，列式求解即可. （1） 解：因为 ，所以 ，所以 ，解得： 或 . 且 ，所以 得 ； ∴实数 的值为1. （2） 解：集合 . 集合 . 若选择① ，即 若选择② ， 若选择③ ，则 . 14．（1）已知 ，求 的最小值． （2）求关于x的不等式的解集： ． 【答案】（1）8 ；（2） 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 ．【分析】（1）整理可得 ，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问 题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小． 【详解】解：（1）因为 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为8． （2） ， 当 时，不等式为 ，解集为 ， 时，不等式分解因式可得 ， 当 时，故 ，此时解集为 ． 当 时， ，故此时解集为 ， 当 时， 可化为 ，又 ， 解集为 ． 当 时， 可化为 ， 又 ，解集为 ， 综上所述： 时，解集为 ， 时，解集为 ， 时，解集为 ， 时，解集为 ，时，解集为 ． 【B组 在综合中考查能力】 一、单选题 1．（四川省成都市玉林中学2023届高三二诊模拟理科数学试题（三））若不等式 在 上 有解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得 在区间 上有解，求出 在区间 上的最小值，即可得出实 数 的取值范围． 【详解】因为关于 的不等式 在区间 上有解， 所以 在区间 上有解， 设 ， ，其中 在区间 上单调递减， 所以 有最小值为 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故选：C． 2．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））设函数 ，则满足 的整数 的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【分析】首先求解关于 的一元二次不等式，再结合函数 的图象，求解不等式的整数解. 【详解】由 ，得 或 ，易得当 时， ，当 时， ， 作出函数 的大致图象如图所示. 故 或 ，即 或 ， 结合图象，通过估算得整数解为－1，0，1，2， 故选：C. 3．（河南省平许济洛2022-2023学年高三第二次质量检测数学试题）已知命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题， 所以，命题“ ， ”为真命题， 所以， 时， ，因为， ， 所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号. 所以， 时， ，即实数 的取值范围是 故选：C 二、多选题 4．关于x的不等式 对 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求得关于x的不等式 对 恒成时a的取值范围，根据必要不充分条件与集合 包含之间的关系，即可判断答案. 【详解】由题意可知，关于x的不等式 恒成立， 则 ，解得 ， 对于选项A，“ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”的充要条件； 对于选项B， , ⫋ 故“ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件； 对于选项C， , ⫋ “ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件； 对于选项D中， , “ ”是“关于x的不等式 对 恒成立”必 ⫋ 要不充分条件， 故选：BD．5．已知 ，关于 一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则 的值可以是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】ABC 【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得 求a的范围， 即知其可能值. 【详解】由 开口向上且对称轴为 ， ∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则 ，解得 ， ∴ 的可能值A、B、C.符合. 故选：ABC. 三、填空题 6．（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数 （ 且 ），若关于 的 不等式 的解集为 ，其中 ，则实数 的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数性质判断出 ， ，且 的解集为 ，根据 一元二次不等式和相应方程的关系可得 ，结合b的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知若 ，即 ， ∴ ， ∴当 时， ；当 时， ， ∵ 的解集为 ， ∴ ， ，且 的解集为 ， ∴ 与 是 的两根，故 ，∴ ， 又 ，∴ ， 又 ，∴ ， 故答案为： 7．（江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在 中，三边长是公差为2的等差数列， 若 是钝角三角形，则其最短边长可以为______________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】设三角形的三边长为 ，求出最短边的取值范围为 即得解. 【详解】解：设三角形的三边长为 ，所以 . 因为三角形是钝角三角形，所以 ， 所以 . 综合得最短边的取值范围为 . 故答案为：3（答案不唯一） 四、解答题 8．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在 下面的横线上，并回答下列问题.设全集 ，______， (1)若 ，求 ； (2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A； （2）对集合B中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①： ， ， 所以 ， ， ， 故 . 若选②： ， 所以 ， ， ， 故 . 若选③： ， ， 所以 ， ， ，故 . （2）由（1）知 ， ， 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件， （i）若 ，即 ， 此时 ， 所以 等号不同时取得， 解得 . 故 . （ii）若 ，则 ，不合题意舍去； （iii）若 ，即 ， 此时 ， 等号不同时取得， 解得 . 综上所述，a的取值范围是 . 【C组 在创新中考查思维】 一、单选题 1．（天津市南开中学2022届高三下学期高考前热身练习数学试题）已知函数 ，若 恰有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数 ， 均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结 合零点分布处理． 【详解】∵ ，则二次函数 有两个零点 若 恰有两个零点，则 ，得 此时 无零点，则 ，解得 则 若 无零点，则 ，得 此时 有两个零点，则 ，得 则 若 有且仅有一个零点，则 得 ， 或 ，得 或 ，经检验 不合题意 则 此时 有且仅有一个零点，则 ，解得 且 则 且 综上所述： 故选：B．2．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知 是定义在 上的奇函数， 是 的 导函数， ，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造函数 ，根据已知条件以及利用导数判断其单调性，从而求得 的性质，再利用 的性质求解不等式即可. 【详解】设 ，则 的定义域为 且 ，所以 在 上单调递减. 因为 ，所以当 时， ； 当 时， . 又当 时， ，当 时， ， 所以当 时，恒有 . 因为 是 上的奇函数，所以当 时， ， 所以 等价于 或 解得 或 ， 所以不等式 的解集是 .故选：D. 【点睛】创新性考查落实，本题以函数导数为背景，考查函数奇偶性、利用导数研究函数单调性、二次不 等式，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算核心素养. 3．已知函数 有两个不同的极值点 ，且不等式 恒成立， 则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把函数 有两个不同的极值点 转化为根的分布求出a的范围， 利用分离参数法得到 .把 转化为 ，令 ，利用导数求出 的值域， 即可得到答案. 【详解】 ， 因为函数 有两个不同的极值点 ， ， 所以方程 有两个不相等的正实数根， 于是有 ，解得 . 因为不等式 恒成立， 所以 恒成立.， 设 ， ，故 在 上单调递增， 故 ，所以 . 因此实数t的取值范围是 . 故选：A 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 二、多选题 4．（河北省唐山市开滦第一中学2023届高三上学期第一次校际联考数学试题）若 对任 意 恒成立，其中 ， 是整数，则 的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对 分类讨论，当 时，由 可得 ，由一次函数的图象知不存在；当 时，由 ，利用数形结合的思想可得出 的整数解. 【详解】当 时，由 可得 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立，此时 不存在； 当 时，由 对任意 恒成立， 可设 ， ，作出 的图象如下，由题意可知 ，再由 ， 是整数可得 或 或 所以 的可能取值为 或 或 故选：BCD 三、填空题 5．（重庆市南开中学校2023届高三上学期第三次质量检测数学试题）已知 三个内角A，B，C的对 边a，b，c依次成等比数列，且 ， ，点T为线段AB（含端点）上的动点，若满 足 的点T恰好有2个，则实数t的取值范围为______． 【答案】 【分析】由三角恒等变换与等比中项的性质可得 为等边三角形，设BC中点M，则 ， 由题意若满足 的点T恰好有2个，即需要 ，故 ，求解即可. 【详解】由 ， 又由 ， 所以 ， ∴ ，∴ ，或 (舍).，∴ ，从而 ，∴ ， 即 为等边三角形． 设BC中点M，则 ， ， 由题意若满足 的点T恰好有2个，即需要 ， 故 ， ∴实数t的取值范围为 ． 故答案为： . 【点睛】本题的解题关键是将数量积 转化为 ，结合题意从而根据点到线段的距离以及几何知 识可知 的范围，再解不等式即可求出.