文档内容
专题 1.2 不等式及其应用【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 不等式性质的应用】..................................................................................................................................3
【题型2 利用基本不等式求最值】..........................................................................................................................4
【题型3 基本不等式中的恒成立、存在性问题】.................................................................................................4
【题型4 一元二次不等式的解法】..........................................................................................................................5
【题型5 其他不等式的解法】..................................................................................................................................6
【题型6 由一元二次不等式的解确定参数】.........................................................................................................6
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】..................................................................................................................7
【题型8 一元二次不等式有解问题】......................................................................................................................8
1、不等式
不等式与基本不等式的性质、求解、证明以及应用是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选
择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值问题。但不等式的相关知识往往可以
渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇
处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，
难度偏高。
【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
⇔
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
⇒
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【知识点2 基本不等式】
1. 两个不等式
不等式 内容 等号成立条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“ a = b ”
时取“=”
叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存
在取等号的条件．
【知识点3 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分
母不为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右
边为零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针
引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
【题型1 不等式性质的应用】
【例1】（2023·海南海口·海南中学校考二模）设x,y∈R，则“x<3且y<3”是“x+ y<6”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
c c
B．若 > ，则a0，c-b>0，则a>c
a+m a
D．若a>0，b>0，m>0，且a
b+m b
【变式1-2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足x0 y>0 m= m
x2+ y2
有（ ）A．最小值3 B．最大值3
3 3
C．最小值 +√2 D．最大值 +√2
2 2
1 2
【变式2-1】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数x,y满足x+2y=1，则 + 的最小值为
x+1 y+1
（ ）
1 3+√2 9 34
A． +√2 B． C． D．
2 2 4 15
2a b
【变式2-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知a>0,b>0,2a+b=ab，则 + 的最小值为
a-1 b-2
（ ）
A．4 B．6 C．4√2 D．3+2√2
【变式2-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（ ）
1 1
A．若ab≤1，则 + ≥2
a b
1 9
B．若a+b=4，则 + 的最小值为4
a b
C．若a2+b2=4，则ab的最大值为2
√2
D．若2a+b=1，则ab的最大值为
2
【题型3 基本不等式中的恒成立、存在性问题】
【例3】（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时，4x4+17x2y+4 y2 m恒成立，则m的取值
x y∈(0,+∞) <
x4+2x2y+ y2 4
范围是（ ）
(99 )
A．(25,+∞) B．(26,+∞) C． ,+∞ D．(27,+∞)
4
1 4
【变式3-1】（2023上·江西南昌·高一校考期中）若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式
x y
y
x+ 1}
C．{m|-44}
【变式3-2】（2022上·天津和平·高一校考阶段练习）已知x>0，y>0.(1)若x+9 y+xy=7，求3xy的最大值；
1 1 1
(2)若x+ y=1，若 + +m> m2恒成立，求实数m的取值范围.
x y 2
3 1 m
【变式3-3】（2023上·湖北宜昌·高一校考阶段练习）（1）已知a>0，b>0，若不等式 + ≥ 恒成
a b a+3b
立，求m的最大值；
（2）若关于x的不等式3x2+bx+3≥0在[0,2]上恒成立，求实数b的取值范围.
【题型4 一元二次不等式的解法】
【例4】（2023·山东·校联考模拟预测）不等式x2+4x-21≤0的解集为（ ）
A．(-∞,-7]∪[3,+∞) B．[-7,3]
C．(-∞,-3]∪[7,+∞) D．[-3,7]
【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）某同学解关于 的不等式 时，因弄错了
x ax2+bx+c<0(a≠0)
常数c的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪ (-2,+∞)，则不等式bx2+cx+a>0的解集为（ ）
( 1) ( 1 )
A． -1,- B．(-∞,-1)∪ - ,+∞
5 5
(1 ) ( 1)
C． ,1 D． -∞, ∪(1,+∞)
5 5
【变式4-2】（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知a,b,c∈R，且a≠0，关于x的不等式
ax2+bx+c>0的解集为(-3,2)，则关于x的不等式cx2+ax+b>0的解集为（ ）
( 1 1) ( 1 1)
A． - , B． - ,
3 2 2 3
( 1) (1 ) ( 1) (1 )
C． -∞,- ∪ ,+∞ D． -∞,- ∪ ,+∞
3 2 2 3
【变式4-3】（2022下·浙江湖州·高一校联考开学考试）已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>4}，则下列说法正确的是（ ）
A．a>0 B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2-√70的解集为{x|x>3}
【题型5 其他不等式的解法】
x+5
【例5】（2023上·广东深圳·高一校考阶段练习）分式不等式 ≤0的解集为（ ）
1-x
A．¿ B．¿
C．{x|x≤-5或x≥1} D．{x|x≤-5或x>1}
(x+3)(x-2)
【变式5-1】（2023上·辽宁·高一校联考期中）不等式 ≥0的解集为（ ）
x-1
A．[-3,1)∪[2,+∞) B．(-∞,-3]∪(1,2]
C．[-3,1)∪(1,2] D．(-∞,-3]∪[2,+∞)
【变式5-2】（2023上·江苏扬州·高一校考期中）求下列不等式的解集
(1)(3x-1)(x+1)>4；
2x-3
(2) <1
x+1
(3)|x+2|<1
【变式5-3】（2023上·辽宁沈阳·高一校联考期中）求下列不等式（组）的解集：
x+2
(1) >0；
x-3
(2)2x2-5x+2≤0；
(3)|2x-1|≥3；
(4)¿【题型6 由一元二次不等式的解确定参数】
【例6】（2023上·湖北武汉·高一校联考期中）已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(5,6] B．[-4,-3)
C．[-4,-3)∪(5,6] D．(-4,-3]∪[5,6)
【变式6-1】（2023上·甘肃天水·高一校联考期末）设不等式x2-2ax-1≤0的解集为M，若M⊆[-2,2]，
则实数a的取值范围是（ ）
[ 3 3] ( 3 3)
A．[-2,2] B．(-2,2) C． - , D． - ,
4 4 4 4
【变式6-2】（2023上·福建·高一校联考期中）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为¿，则
4
b-c+ 的最小值为（ ）
a
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【变式6-3】（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知关于x的不等式组¿仅有一个整数解，则k的取值
范围为（ ）
A．¿或40成立”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：x2-mx+16>0恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A．(-8,8) B．(-∞,8] C．(-∞,8) D．(8,+∞)
【变式7-2】（2023上·福建莆田·高一莆田八中校考期中）设函数f (x)=x2-2tx+2，其中t∈R.
(1)若t=1，且对任意的x∈[a,a+2]，都有f (x)≤5，求实数a的取值范围；(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
x ,x ∈[0,4] |f (x )-f (x )|≤8 t
1 2 1 2
【变式7-3】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数f (x)=2x2-ax+a2-4，
31
g(x)=x2-x+a2- ，(a∈R)
4
(1)当a=1时，解不等式f (x)>g(x)；
(2)若任意x>0，都有f (x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
∀x ∈[0,1] ∃x ∈[0,1] f (x )>g(x ) a
1 2 1 2
【题型8 一元二次不等式有解问题】
【例8】（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则
∃x ∈[-1,1] -x2+3x +a>0
0 0 0
实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2) B．(-∞,4) C．(-2,+∞) D．(4,+∞)
【变式8-1】（2022·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m
的取值范围为（ ）
(1 3)
A．(-∞,2) B．(-∞,0]∪ ,
3 2
( 2)
C． -∞, D．(-∞,1)
3
【变式8-2】（2023上·福建·高一校联考期中）已知函数f (x)=ax2-(2a+3)x+6(a∈R)
(1)若f (x)>0的解集是¿或x>3}，求实数a的值；
(2)当a=1时，若-2≤x≤2时函数f (x)≤-(m+5)x+3+2m有解，求m的取值范围．【变式8-3】（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知函数 ，
g(x)=ax2+c(a,c∈R) g(1)=1
且不等式 对一切实数 恒成立.
g(x)≤x2-x+1 x
（1）求函数g(x)的解析式；
（2）在（1）的条件下，设函数h(x)=2g(x)-2，关于x的不等式h(x-1)+4h(m)≤h ( x ) -4m2h(x)，
m
[3 )
在x∈ ,+∞ 有解，求实数m的取值范围.
2
1．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的
解集是（ ）
A．(-2,1) B．(-∞,-2)∪(1,+∞) C．[-2,1] D．
(-∞,-2]∪[1,+∞)
2．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+ y2-xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥-2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
3．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）1 1
A．a2+b2≥ B．2a-b>
2 2
C．log a+log b≥-2 D．√a+√b≤√2
2 2
4．（2020·全国·统考高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 x2 y2 的两条渐
O x=a C: - =1(a>0,b>0)
a2 b2
近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
1 a
5．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则 + +b的最小值为 ．
a b2
1 1 8
6．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a+b
7．（2020·江苏·统考高考真题）已知 ，则 的最小值是 ．
5x2y2+ y4=1(x,y∈R) x2+ y2
8．（2020·全国·统考高考真题）设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√3 4．
