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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 讲 对数与对数函数（精讲）
题型目录一览
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．对数函数的图象
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时，
【常用结论】
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的图象
随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意得到 ，再解不等式组即可.
【详解】由题知： ，解得 且 .
所以函数定义域为 .
故选：B
2．（2022·天津·统考高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
3．（2021·天津·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知表示出 ，再由换底公式可求.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】由 ，当 时， ，
则 .故选：C.
5．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中
K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】将 代入函数 结合 求得 即可得解.
【详解】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】由 得 或所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以 ，故选：D
7．（2021·天津·统考高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错
误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
9．（2021·天津·统考高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.【详解】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
10．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
11．（2020·全国·统考高考真题）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将 , 改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，
故选：B.
[方法二]：
令，即函数 在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数 在（1，3)上单调递增
综上， ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
二、填空题
13．（2020·北京·统考高考真题）函数 的定义域是____________．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．（2020·山东·统考高考真题）若 ，则实数 的值是______.
【答案】
【分析】根据对数运算化简为 ，求解 的值.
【详解】 ，
即 ，解得： .故答案为：三、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
题型 一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用 表示 ；(2)已知 ，且 ，求M的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；
(2)由题意可得 ，再根据换底公式可得 由 ，可得
，代入计算即可.
【详解】（1）解：因为 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
所以
又因为 ，即 ，
所以 ，所以 .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；
（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
2．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
【答案】（1）7；（2）109；（3） ．
【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可；
（2）利用指对互化可得实数x的值；
（3）先求出 ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．
【详解】（1）原式= ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以x=109；
（3）因为 ，所以 ，所以
．二、单选题
3．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，再代入 的解析式即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ，则 （ ）
A． B．9 C． D．16
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对数运算性质、指数式与对数式互化，及指数运算计算作答.
【详解】因为 ，则 ，因此 ，
所以 .
故选：C
5．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 （单位：dB）与声音
强度x（单位： ）满足 .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆
竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍【答案】C
【分析】根据解析式分别求出对于声音强度可得.
【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为 ，
则有 ，
解得 ，则 .
故选：C
三、多选题
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】设 ，得到 ， ， ，再逐项判断.
【详解】解：设 ，
则 ， ，
， ，
， ，
所以 ，
，因为 ，所以 ，则等号不成立，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，故选：BCD
四、填空题
7．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若
，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定 ，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，而 ，
于是 ，解得 ，
所以实数a的值为 .
故答案为：
8．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa，
），已知大气压强 随高度 的变化规律是 ，其中 是海平面大气压强，
.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的 ，则高山上该处的海拔为___________
米.（答案保留整数，参考数据 ）
【答案】
【分析】根据题意解方程 即可得解.
【详解】由题意可知： ，解得 ，
所以 .故答案为： .
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值
域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
【典例1】若对数 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【分析】由对数式有意义列不等式求 的取值范围.
【详解】由对数 有意义可得
，
所以 ，且 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：C.
【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和 处函数值的正负可得到正确图象.
【详解】对于AB，若 图象正确，则 ， 单调递减，
又 时， ，A正确，B错误；
对于CD，若 图象正确，则 ， 单调递增，CD错误.
故选：A.
【典例3】 已知直线 过函数 （ ，且 ）的定点T，
则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据 求出点 ，再代入直线方程得到 ，最后利用基本不等式里“1”的
妙用求最值.
【详解】函数 过定点 ，所以 ，将 代入直线 ，得 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时“=”成立.
故选：C.
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) 与 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；
（2）对数与指数之间的比较，利用中间值法；
（3）对于真数相同的对数，利用函数图象.
【详解】（1）因为 在 上是增函数，所以 ．又
在 上是增函数，所以 ，所以 ．
（2）因为 在R上是增函数，所以 ．因为 在 上是增函数，所以
．因为 在 上是减函数，所以 ．所以．
（3）方法一：函数 和 的图象如图所示．
当 时， 的图象在 的图象的上方，所以 ．
方法二：因为 ， ，又 ，所以 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及对数函数的性质分别求出集合 ， ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】解：由题意可得 ， ，
∴ 且 .
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a，b为常数，其中 且 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由函数在定义域上单调递增，可得 ，排除A，C；代入 ,得 ，从而得答案.
【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以 ，排除A，C；
又因为函数过点 ,
所以 ，解得 ．
故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判断即可.
【详解】因为 ，令 ，解得 或 ，
所以 的定义域为 ，
又 ，所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当 时， ，或当 ，即 时， ，故排除D.
故选：A.
4．（2023·陕西榆林·统考二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】引入中间值， 与1比较大小， 与0比较大小即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ．
故选：B.
5．（2023·北京·高三专题练习）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性即可比较 ，由指数的性质即可求解 .
【详解】 ， ，所以 ，
，故 ，
故选：A6．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】取中间值 ，根据指、对数运算估算范围，进而比较大小.
【详解】因为 ，即 ，
，
，且 ，即 ，
所以 .
故选：A.
7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用单调性得 ，进而根据指对数的运算性质即可比较.
【详解】令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以
在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取极小值也是最小值，故 ，因此 ，
故 ，
，因此 ，
又 ，所以 ，进而 ，故 ，因此 ，
故选：D
【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：
利用指对幂函数的单调性比较大小，
构造函数，利用导数求解单调性比较大小，
利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，因此有 ，所以选项A正确；
因为 ，所以 ，因此 ，所以选项B正确；
因为 ，所以 ，因此 ，所以选项C不正确；
因为 ，所以 ，因此有 ，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：判断底数与1的大小关系，结合指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习） 的定义域为_______________
【答案】
【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为 ，
所以 ， ，
解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：
10．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 且 ，若函数 与
的图象经过同一个定点，则 __________.
【答案】1
【分析】由 可得出函数 所过定点，再由 可得出 的值，得出答案.
【详解】函数 的图象经过定点
所以 的图象也过定点 ， 即
则 ，所以
故答案为：1
11．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
【答案】 /
【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.
【详解】显然 ，∴
，令 ，∵x∈ ，∴t∈[－1，2]，则 ，
当且仅当t＝－ 即x＝ 时，有 .
故答案为：
四、解答题
12．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）定义在 上的函数 和 ，满足 ，且
，其中 .
(1)若 ，求 的解析式;
(2)若不等式 的解集为 ，求 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题意 求 解析式，再由 求参数a，即可得解析式；
（2）由（1）及题设得 ，结合解集列方程组求m、a，即可得结果.
【详解】（1）由题意知， ，又 ，
所以 ，即 ．
所以函数 的解析式 ．（2）由 ，得 ，
由题意知 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ．
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a
a
log x＞log b
a a
＜1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求
a
log x＞b
a
解
【典例1】（1）当 时，求实数x的取值范围；
（2）当 时，求实数x的取值范围；
（3）当 恒取正值时，求实数x的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）由增函数性质去“ ”解不等式即可；
（2）由减函数性质去“ ”解不等式即可；
（3）分类讨论底数，由函数单调性去“ ”解不等式即可.
【详解】（1） ，即 ，因为 为增函数，故 ， ；（2） ，即 ，因为 为减函数，故 ，解得 ；
（3）若 ， 为增函数，当 时， ， ，故 ；
若 ， 时， 为减函数，当 时， ，解得
，故 ，
综上所述，
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）方程 的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】∵ ，∴ ，∴ .
故选：D.
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集 ，集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可解出集合 ， ，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】集合 ，或 ；
；
则 ．
故选：C
3．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合 ，则下列命题错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 ，由集合间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D不正确.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C【分析】先根据对数的运算得 ，再利用基本不等式求解．
【详解】由正数 ， 满足 ，得 ，
所以 ， ，结合 ， ，得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
故选：C
二、填空题
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数 ，则不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）设命题 ，命题 ．若q是p的
必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】化简命题 和 ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由 ，得 ，即 ；
由 ，得 ，
因为q是p的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
所以 且两个等号不同时取，解得 .
故答案为：
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性，以及 即可求解.
【详解】函数 的定义域为 .
因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，
又 ，所以不等式 的解集为 .
故答案为：
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
二判 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原
则判断函数的单调性【典例1】已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得 在区间 上单调递增，由对数函数的
性质，真数恒大于0，可得 ，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令 ．
因为 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴 且 ，所以 且 ，
解得 ，即a的取值范围为 ，
故选：D．
【典例2】若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若 ，此时 ， ，而 ，故 无解；
若 ，此时 ， ，而 ，
令 ， ，画出两函数图象，如下：故要想 在 内恒成立，
则要 ，解得： .
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由 得 ，解得 或
即函数 的定义域为
因为 在 上单调递减，
故 的单调减区间即为 的单调增区间,
故 的单调减区间为 .
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在 上为减函数，则a的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求解.
【详解】设函数 ，
因为 在 上为减函数，
所以 在 上为减函数，则 解得 ，
又因为 在 恒成立，
所以 解得 ，
所以a的取值范围为 ，故选:B.
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递减，在 单调递增B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得 可判断
C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数 的定义域为 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，A，B错误；
由于 ，故 的图像关于直线 对称，C正确；
因为 在 时取得最大值，且 在 上单调递增，故 有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象与性质，分 和 两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不
等式，即可求解.
【详解】当 时，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，此时不等式 不成立，不合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
此时函数 在 上单调递增，
又由 在 上单调递增，
要使得不等式 在 内恒成立，
可得 ，解得 .
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，若不等式
在 上恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】根据题意，先求得 ，把不等式 在 上恒成立，转化为
在 上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，函数 的值域为 ，可得函数 的最大值为 ，
当 时，函数 显然不存在最大值；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，函数
有最大值，即 ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时函数 无最大值，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可得 ；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，可得函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知
0＜a＜1．再由二次函数 的判别式小于0求得a的范围，取交集得答案．
【详解】解：令 ，要使函数 有最大值，
则内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数 要有最小正值，
则 ，解得 ．
综合得a的取值范围为 ．
故选：B.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则使 的 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD【分析】分 、 两种情况讨论，求出 的值，然后结合函数 的解析式可求得 的
值.
【详解】①当 时，由 ，可得 ，
若 时，则 ，此时 无解，
若 时，由 ，解得 ；
②当 时，由 ，可得 或 .
若 时，则 ，由 可得 ，方程 无解，
若 时，由 可得 或 ，由 可得 或 .
综上所述，满足 的 的取值集合为 .
故选：BCD.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a＞0，且 ）的定义域为 ，
值域为 ．若 的最小值为 ，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，分析判断函数 取得最小值0，最大值1的区间 在1及左侧可使区间长度
最小，再求出a的取值范围作答.
【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
因为函数 在 的值域为 ，则 ，即 ，
由 ，得 ，则有 或 ，当 时， ，有 ，
当 时， ，有 ，
令方程 的两个根为 ，如图，
因此在 上函数 取得最小值0，最大值1，且 最小时， ，
于是 ，解得 或 ，而 的最小值为 ，
则有 或 ，解得 或 ，
所以实数a的值可以是 或 ，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的是________．(填序号)
① 为奇函数；
② 为偶函数；
③ 在 上单调递减；
④ 在 上单调递增．
【答案】①③
【分析】根据函数奇偶性的定义及判定方法，可判定①正确，②不正确；结合基本初等函数的性质，以及复合函数单调性的判定方法，可判定③正确，④不正确．
【详解】由题意，函数 ，令 ，解得 或 ，
即函数 的定义域为 ，
又由 ，
所以函数 为定义域上的奇函数，所以①正确，②不正确；
又由 ，
令 ，其中 且 ，可得 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减，所以③正确；
又因为函数 为定义域上的奇函数，所以 在 上单调递减，
所以④不正确．
故答案为：①③.
10．（2023·全国·高三专题练习）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为 ，不等式 恒成立，
所以 对 恒成立.
记 ， ，只需 .因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意 ，
存在 使得 恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需 即可，由题可知a为对数底数且 或
.当 时，此时 在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知 在 上单
调递减， 在 上单调递减，所以 ， ，所以
，即 ，可得 ；当 时，由复合函数单调
性可知 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 ，
，所以 ，即 ，可得 .综上：
.
故答案为： .
四、解答题12．（2023·上海·高三专题练习）已知 .
（1）解不等式： ；
（2）若 在区间 上的最小值为 ，求实数a的值.
【答案】（1） 或 ；（2） 或 .
【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可；
（2）由题意可得 在区间 上的最小值 ，在 上的最大值为4，
然后分 和 讨论即可得答案
【详解】（1） 或 ；
（2）令 ，则
在区间 上的最小值 ，在 上的最大值为4，
当 时， ， ；
当 ， ， .
综上， 或
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义 ，即可求出实数 的值，从而得到 的解析式；令，得 ，构造函数 ，将问题转化为直线 与函数 的图象有
交点，从而求出实数 的取值范围；
（2）依题意等价于关于 的方程 只有一个解，令 ，讨论
的正根即可．
【详解】（1）解： 是偶函数， ，
即 对任意 恒成立，
，
．
即 ，
因为当 ，函数 有零点，即方程 有实数根．
令 ，则函数 与直线 有交点，
，
又 ， ，
所以 的取值范围是 ．
（2）解：因为 ，
又函数 与 的图象只有一个公共点，
则关于 的方程 只有一个解，
所以 ，
令 ，得 ，①当 ，即 时，此方程的解为 ，不满足题意，
②当 ，即 时，此时 ，又 ， ，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当 ，即 时，由方程 只有一正根，则需 ，
解得 ，
综合①②③得，实数 的取值范围为： ．【附录-对数运算与对数函数思维导图】
