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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 05 讲 一元二次不等式及其应用（精讲）
①不含参数的一元二次不等式的解法
②含参数的一元二次不等式的解法
③一元二次不等式中的恒成立和有解问题
④一元二次不等式中的参数和方程根的分布问题
⑤分式不等式与绝对值不等式的解法
一、必备知识整合
1.一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的两个
根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上.
（2）①若 ，解集为 .
②若 ，解集为 .
③若 ，解集为 .
(2) 当 时，二次函数图象开口向下.
①若 ，解集为
②若 ，解集为
2.分式不等式（1）
（2）
（3）
（4）
3.绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
1.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．
由 的解集为 ，得: 的解集为 ，即关于 的不等式
的解集为 ．
已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
2.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
3.已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等
式 的解集为 ，以此类推．
4.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
5.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
6.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
7.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ．
二、考点分类精讲
【题型一 不含参数的一元二次不等式的解法】
解一元二次不等式的四个步骤
【典例1】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合 ， ， ，则
=（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 .
5．（2024·河南南阳·模拟预测）已知集合 ，则 中的元素个数
为 .
6．（2024·湖南·二模）已知集合 ，若集合 恰有两个元素，则实数 的取值范围是 .
三、解答题
7．（22-23高一·江苏·假期作业）解下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) .
8．（2023高三·全国·专题练习）解下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【题型二 含参数的一元二次不等式的解法】
解含参不等式的分类讨论依据
【典例1】（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于 的不等式： .一、单选题
1．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）已知集合 ， ，若 ，则
的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023高三·全国·专题练习）已知“ ”是“ ”成立的必要不充分
条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若“ ”是“ ”的充分不
必要条件，则实数 可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知关于 的不等式 恰有四个整数解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于x的一元二次不等式 的解集可能是
（ ）
A． 或 B．C． D．
三、填空题
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间 的真子集，
则 的取值范围是 ．
四、解答题
7．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）解关于 的不等式： ．
8．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 的不等式： ．
（2）解关于实数 的不等式： ．
9．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）解关于x的不等式 ．
【题型三 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】
【典例1】（单选题）（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
一、单选题
1．（22-23高二下·辽宁阜新·期末）若命题“ ， ”为真命题，则实数m的取值范
围是（ ）.
A． 或 B． 或
C． D．
2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知命题p： x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命题，则实数a的取值范
围是（ ） ∃
A．[37，＋∞)
B．[13，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．(－∞，13]
5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式 的解集是空集”，则条件 ： “ ”是条件 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．（2024·辽宁丹东·一模）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是
．
8．（2024·辽宁·三模）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
三、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
10．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【题型四 一元二次不等式中的参数和方程根的分布问题】
一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路
1．牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．【典例1】（单选题）（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于 的不等式 的解集为
，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程 有两个不等正
实根，则实数m的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
一、单选题
1．（2024高三上·广东·学业考试）若不等式 的解集为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于 的一元二次方程 有两个不相
等的正实数根，则 的取值范围是（ ）
A．
B．C．
D． 且
4．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数
解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集是 或
6．（23-24高一上·甘肃·期末）已知不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，不
等式 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题7．（2023高三·全国·专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是
四、解答题
8．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若 ，且 对任意 恒成立，求 的取值范围．
9．（2023高三·全国·专题练习）关于 的方程 满足下列条件，求 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于 ，一个根小于 ；
(3)一个根在 内，另一个根在 内；
(4)一个根小于 ，一个根大于 ；
(5)两个根都在 内．
【题型五 分式不等式与绝对值不等式的解法】
绝对值不等式和分式不等式解法
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理．
【典例1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集
(1) ；
(2)
(3)一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设集合 ，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．32 D．31
2．（23-24高三下·陕西·阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合 ，则 的元素个数为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．C． D．
7．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
二、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ．若 ，则
的最大值为 ．
9．（2024·贵州黔西·一模）集合 ，集合 ， ，则
.
10．（23-24高三下·江西·开学考试）设集合 ， ，若 的真子集的个数
是 ，则正实数 的取值范围为 ．
