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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 讲 基本不等式及其应用（精讲）
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤双换元法求最值
⑥二次（一次）商式的最值
⑦利用基本不等式解决实际问题
⑧利用基本不等式证明
一、必备知识整合
一、基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
R a2 +b2 ≥2ab a=b
基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).特例： （ 同号）.
二、均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
三、常见求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号成立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,0
