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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 讲 基本不等式及其应用（精讲）
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤双换元法求最值
⑥二次（一次）商式的最值
⑦利用基本不等式解决实际问题
⑧利用基本不等式证明
一、必备知识整合
一、基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
R a2 +b2 ≥2ab a=b
基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).特例： （ 同号）.
二、均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
三、常见求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号成立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,0<x< ) x=
模型四： m m 2 4m m ，当且仅当 2m时等号
成立.
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④不等式串：二、考点分类精讲
【题型一 直接法求最值】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件
【典例1】（单选题）（2023-2024·甘肃省定西模拟） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意知 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B.
一、单选题
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为 ， ，则由基本不等式可得 ，
所以有 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：B.
2．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可.
【详解】因为 ，解得 ，所以是充分条件；
当 时满足 ，此时 ，所以不是必要条件，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B
3．（23-24高一上·广东潮州·期末）设 ，则函数 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【详解】 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数 的最小值为 ，
故选：D.4．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.
【详解】由题意得， ，即 ，
当且仅当 ，即 或 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
故选：B.
二、填空题
6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知 ，则函数 的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
7．（2023·上海徐汇·一模）若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】
利用基本不等式计算即可.
【详解】由 ，
当且仅当 时取得最小值，即 的最小值为2.
故答案为：2
8．（2023高三·全国·专题练习）若正实数 满足 ，且 恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】1
【分析】由 恒成立，即 ，利用基本不等式可得解.
【详解】 正实数 满足 ，
， ，
又 恒成立， ，即 的最大值为1．
故答案为：1.
9．（23-24高一上·四川·期中）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得 的最大值.
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立．故 的最大值为4．
故答案为：【题型二 常规凑配法求最值】
1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2．注意验证取得条件．
【典例1】（单选题）（2024·陕西省西安模拟）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故选:D
【典例2】（单选题）（2024·福建省厦门模拟）已知 ， ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件，应用基本不等式求 的最大值，注意取值条件.
【详解】 ，当且仅当 时取等号.
即 的最大值为 .故选：A
一、单选题
1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知 ， 为正实数， ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D
2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式，即可乘积的最大值.
【详解】 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
即 ， 时，等号成立，所以 的最大值为 .
故选：C
3．（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ,
当且仅当 ，即 时，取得等号，
故选:C.二、填空题
4．（2023高一·江苏·专题练习）若 ，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】先求 的取值范围，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由 得 ， ， ，
因为 ， ，所以利用基本不等式可得 ，
整理得 ，即 ，即 ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 .故当 时， 的最大值为 .
故答案为 .
5．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数 （ ）的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：
6．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x满足 ，则函数 的最大值为 ．
【答案】0
【分析】根据对数函数的单调性，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由 得 ，
∴ ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
∴函数 的最大值为0．
故答案为：
【题型三 消参法求最值】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行
求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
【典例1】（单选题）（2024·重庆·模拟）已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用 表示 后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 ，
由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故 的最小值为 .故选：D
一、单选题
1．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，利用基本不等式求解.
【详解】由 可得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 符合题意.
所以 的最小值为 .
故选：A.
2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 ，进一步表示出 ，结合基本不等式即可求
解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，从而 ，等号成立当且仅当 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
3．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）设实数a，b满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可,
【详解】令 ，
则有 ，
当且仅当 时取等号，即当 时取等号，
故选：A
二、填空题
4．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题设得 且 ，代入目标式得 ，再应用基本不等式求最
小值，注意取值条件.
【详解】由题设 且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值是 .故答案为：
5．（22-23高二下·天津和平·期末）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】依题意可得 ，代入 利用基本不等式计算可得.
【详解】∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
6．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知x、y为正实数，且满足 ， 则 的最
小值为
【答案】
【分析】将已知条件转化为 ，构造完全平方式消元转化结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知： ，
又 ，
当且仅当 取得等号，即 ．
故答案为： .【题型四 “1”的代换求最值】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，
凑的过程中要特别注意等价变形．
1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2．注意验证取得条件．
【典例1】（单选题）（2024·山西临汾·模拟）已知 ， ，且 ，则 的最小值
是（ ）
A． B．25 C．4 D．8
【答案】A
【分析】由题意可得 ，结合基本不等式中“1”的用法，计算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 即 ， 时等号成立，则 .
故选：A.
一、单选题
1．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以
.
当且仅当 ，即 时取等.
故选：C.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】易知 ，则
，
当且仅当 ，即 时取得等号.
故选：B
3．（2024·山西吕梁·二模）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆
上，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】C【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数 ， ，由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】A
【分析】由 ，得到 ，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为 ，可得 ，且 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：A.
二、填空题
6．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】9
【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可.
【详解】解析一: ，
则 ，等号成立时 .
所以 的最小值是9.
解析二: ，
则 ，
等号成立时 所以 的最小值是9.
故答案为：9.
7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】24
【分析】
变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故答案为：
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】 / ．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
9．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
【答案】【分析】 是 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ．
故答案为： .
【题型五 双换元法求最值】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两
个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1．代换变量，统一变量再处理．
2．注意验证取得条件．
【典例1】（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知 ， ，则 的最小值
.
【答案】20
【分析】设 ，利用 表示 ，利用 得到 ，再变形得到
，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令 ，则 ，
去分母化简得： ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立．
故答案为：20
一、单选题
1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令 ，结合 可得 ，由此即得 ，
展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意 得， ，
令 ，则 ，
由 得 ，
故
，
当且仅当 ，结合 ，即 时取等号，
也即 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9，
故选：B
二、填空题
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 ．【答案】12
【分析】令 ， ，从而可得 ， ，再根据 ，结合
基本不等式求解即可.
【详解】令 ， ，则 ， ，且 ， ，
所以 ， ．
又 ，所以
，
当且仅当 ， ，即 ， 时，等号成立．
故答案为：12
3．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】
通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令 ， ，
则 ， ， ， ， ，所以 ，
所以
，当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立．
故答案为：
4．（22-23高一上·浙江宁波·期中）已知a，b，c均为正实数， ，则 的最小值
是 .
【答案】
【分析】根据题意，将 看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，即 ，
设 ，则 ，且 ，
原式
，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：4
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设 ， ，表示出 ，然后代入目标式，利用基本不等式可得范围.
【详解】设 ， ，得到 ， ，
于是 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
又因为 ，解得 ， ，满足 ．
一题多解 ，
，
（另解：由 ，得 ， ，
）．
令 ，
则 ，
令 ，得 ，此时函数 单调递增；
令 ，得 ，此时函数 单调递减，
，
又当 时， ，当 时， ，
， ．
故答案为： .
6．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 ；的取值范围为 ．
【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于 的代数式，通过三角
换元得 的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得
，从而即可得解.
【详解】由题意 ，等号成立当且仅当 ，即 的最大值为1；
由题意 ，
因为 ，所以设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .故答案为：1； .
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于 的代数式，并求出 的范围，由此即可顺利得解.
【题型六 二次（一次）商式的最值】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数 、 、 满足 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出 ，利用基本不等式可求得 的最大值.
【详解】因为正实数 、 、 满足 ，则 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 .
故选：D.
一、单选题
1．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，【详解】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故 最小值为 ，
故选：A
2．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对 变形后，利用基本不等式求解.
【详解】 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，则 .
故选：D.
二、填空题
3．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】首先化简可得 ，由 则可以利用基本不等式求
最值即可.
【详解】因为 ，则 ，
所以≤ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
4．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知 ，则函数 的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以函数 的最小值是 故答案为: .
5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】分 三种情况讨论，运用基本不等式求值域.
【详解】当 时，
当 ， .
若 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时，即 .
若 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，此
时 ，即 .综上所述，函数的值域为 .故答案为：
6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】16
【分析】将目标式化为 ，结合 及二次函数性质求最大值即可.
【详解】由 ，则 ，
而 ，故当 时，目标式最小值为16.故答案为：16
【题型七 利用基本不等式解决实际问题】
利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)
＝x＋(a＞0)的单调性．
【典例1】（单选题）（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方
米）的计算公式是 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
【分析】设矩形场地的长为 米，则 ，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设矩形场地的长为 米，则宽为 米，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为 元.
故选：C
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别
为m元和n元 ，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 ，则（ ）
A． B． C． D． 的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出 的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【详解】由题意得 ， ，
因为 ，故 ， ，
即 ，
故选：B2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购
买 黄金，售货员现将 的砝码放在天平的左盘中，取出 黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左
右盘清空后，再将 的砝码放在天平右盘中，再取出 黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次
称得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【分析】根据杠杆原理可得 ， ，进而可根据基本不等式求解.
【详解】设天平左臂长为 ，右臂长为 ，且 ，则有 ， ，即 ， ，
所以， ，
又因为 ，所以 .
故选：A
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅
画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远
处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3
米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为 ，观赏时的视角为 ，求出
中的三边，由余弦定理求得 的表达式，依题应使 最大，即使 最小，求出表达式的最小值以及
此时 的值即得.
【详解】如图，设观赏者的眼睛在点 处，油画的上沿在点 处，下沿在点 处，
点 在线段 延长线上，且保持与点 在同一水平线上，
则 即观赏时的视角.
依题意 ，
不妨设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，
，
因 ，则 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
由 可得 ，
则 ，则 ，
因函数 在 上单调递减，故得 ，
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为 .
故选：A.
二、填空题
4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为 ，深3m.若池底
每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为 元.
【答案】8160
【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】设长 ，宽 ，∴ ，
∴ ，
总造价 .
当且仅当 时取得等号.
故答案为：8160
5．（23-24高三上·湖北·开学考试）一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每
月的土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离 （单位： ）成反比，每月库存货物费 （单
位：万元）与 成正比.若在距离车站 处建立仓库，则 与 分别为 万元和 万元.则当两项费用之
和最小时 （单位： ）.
【答案】
【分析】由已知可设： ， ，根据题意求出 、 的值，再利用基本不等式可求出 的
最小值及其对应的 值，即可得出结论.
【详解】由已知可设： ， ，且这两个函数图象分别过点 、 ，
得 ， ，从而 ， ，
故 ，当且仅当 时，即 时等号成立.
因此，当 时，两项费用之和最小.
故答案为： .
三、解答题
6．（23-24高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦
的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研
小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 元．已知这种水果的
市场售价为16元 千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
【分析】（1）根据题意可得 ，则化为分段函数即可，
（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【详解】（1） ；
（2）当 时， ，对称轴为 ,
当 时， ，
当 时，
当且仅当 时等号成立
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
7．（23-24高一上·安徽亳州·期末）拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国
内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉
亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分
面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为
200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区
域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】(1)
(2) 元
【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；
（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.
【详解】（1）由题意得，阴影部分的面积为 ，
，化简得 ，
显然 ，所以 ．
则
，
故W关于x的函数关系式 ．
（2） ，
当且仅当 时，即 时，W有最小值，所以当 米时， 元，
故计划至少要投入 元，才能完成平面染色．
8．（23-24高二上·上海·期末）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱 高为8，灯杆 是半径为 的
圆 的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶 到路面的距离为10，到灯柱 所在直线的距离为2.设 为
灯罩轴线与路面的交点，圆心 在线段 上.以 为原点，以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
(1)当点 恰好为路面中点时，求此时圆 的方程；
(2)记圆心 在路面上的射影为 ，且 在线段 上，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）以O为原点，以 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心 ，根据圆心C到A，P的距
离相等得到 ，再由圆心在直线PQ上联立求解.
（2）由（1）知 ，当 时，灯罩轴线所在直线方程为 ，易得 ；当 时，设灯罩轴线所在方程为： ，令 得到 ，然后由 ，利用基
本不等式求解.
【详解】（1）
则 ，
∴直线 的方程为 ．
设 ，则 ，两式相减得： ，
又 ，解得 ，
∴ ．
所以圆 的方程为 .
（2）
由（1）知 ，
当 时，灯罩轴线所在直线方程为 ，此时
当 时，灯罩轴线所在方程为： ，
令 可得 ，即 ，
∵H在线段OQ上，∴ ，解得 ．
∴ ，
当且仅当 即 时取等号．
∴ 的最大值为 ．
【题型八 利用基本不等式证明】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.【典例1】（单选题）（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设 为正数，且 . 证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接使用条件化为复合二次函数证明；
（2）思路一：利用已知条件，并连续使用两次基本不等式即可.思路二：利用条件等式、分析法以及基本
不等式即可得证.
【详解】（1）由已知有 ，从而 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立.
（2）方法一：由已知条件 ，结合基本不等式即可得到
.
方法二： 等价于 ，根据题设有
，
当且仅当 时等号成立
一、解答题
1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知正实数 ， ， 满足 ．
(1)若 ，证明： ．
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）由基本不等式和乘“ ”法证明即可；
（2）由基本不等式变形求解即可
【详解】（1）证明：由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，证毕．
（2）因为 ， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为3．
2．（2024·全国·模拟预测）已知正实数 满足 ．求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，根据基本不等式可得 ，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可
证明；
（2）由题意可得 ，结合基本不等式计算即可证明.
【详解】（1）由 ，且 可得 ，
故 ，当且仅当 时等号成立．
，
，当且仅当 时等号成立．
（2）
，
当且仅当 时等号成立．故 ．
3．（2024·青海·一模）已知正数 满足 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】
（1）根据 ，结合基本不等式，即可得证；
（2）由 ，结合基本不等式，即可得证.
【详解】（1）证明：因为正数 满足 ，
由 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，
即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）证明：由
，
当且仅当 ，即 ，等号成立.
所以 .
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式
(1)已知 ， ， ，且 ，求证： .
(2)已知 ， ， ，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用“1”的代换，结合加法法则，根据基本不等式即可证明；
（2）利用基本不等式结合乘法法则即可证明.【详解】（1）
，
当且仅当 时，取等号.
（2） ， ， ，
， ， ，
，
当且仅当 时等号成立.
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过 ， ， ，三式相加，可得：
.
再根据 ， ，∴ ， ，且 ，可得结果.
（2）先用公式 和 把原式转化为：
，再用 和 进行消元，转化为 的二次三项式，再用配方法可求最
大值.【详解】（1）因为 ，
所以 ，
以上三式相加得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
因为 ，且 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ．
故 .
（2） ，
，当且仅当 ， 时取等号，
的最大值为 ．
【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的
简单不等式，可分别证明，再相加．
