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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 22 数列与不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相
联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放
缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1.常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
2.数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值 时命题成立；然后假设当 （ ， ）时命题成立，证明当 时命题也
成立这种证明方法就叫做数学归纳法
王新奎新疆屯敞 王新奎新疆屯敞
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数 ，如果当 时，命题成立，再假设当 （ ，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于 的正整数 ， ，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当 取第一个值 结论正确；
（2）假设当 （ ， ）时结论正确，证明当 时结论也正确
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由（1），（2）可知，命题对于从 开始的所有正整数 都正确
王新奎新疆屯敞
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始 ． 不一定恒为1，也可能 或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找 与 的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证
明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设 时结论成立，利用此假设证明 时结论也成立”是数学归纳
法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨
性、规范性（即规范问题）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比
大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；（ii）证明
【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【题型训练-刷模拟】
1 . 数列不等式
一、单选题
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若
对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．3．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若
恒成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和，
， ，若 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
5．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ，
恒成立，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前 项
和，则使不等式 成立的最小正整数 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，存在正偶数 使得
，且对任意正奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知等差数列 的前项和为 ，且 ，若 ，
数列 的前 项积为 ，则使 的最大整数 为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
9．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 不可能为等差数列 B．对任意正数t， 是递增数列
C．若 ，则 D．若 ，数列 的前n项和为 ，则
10．（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的
“均值数列”．已知数列 是数列 的“均值数列”且 ，设数列 的前 项和为 ，
若 对 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列 满足
，若存在实数 ，使 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．12．（2022春·北京·高二清华附中校考期中）对于数列 ，若 ，都有 （t为
常数）成立，则称数列 具有性质 ．数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023春·河南开封·高二校考期中）已知数列 的前n项和为 ， ，若对任意正整数n，
， ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则
使数列 前n项和 成立的n最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（2023春·上海·高三统考开学考试）设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的
， 均有 ，则 的取值为 .17．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则正整
数 的最小值是 ．
18．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且对于任意的
，都有 恒成立，则实数 的取值范围 ．
19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 ，
若 恒成立，则 的最大值是 .
20．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列 的前n项和 ，设 为数列
的前n项和，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
21．（2023春·江西赣州·高二江西省全南中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ，
（ ），且 ， .若 恒成立，则实数 的取值范围为 .
22．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，
则存在正整数n，使得 成立的实数 组成的集合为
23．（2021·江苏·高二专题练习）已知正数数列 满足 ，且对任意 ，都有
，则 的取值范围为 ．
三、解答题
24．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，其前 项和满足 ，数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
25．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知数列 满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ，证明： .
27．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 成等
比数列， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 ， ，求满足条件的 的最小值.
28．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，数列 满足 ，数列 的前n项和为 .
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)求证：
29．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
30．（2023·全国·高三专题练习）设 ， .
(1)若 ，求 ， 及数列 的通项公式；
(2)若 ，问：是否存在实数c，使得 对所有 成立？证明你的结论.
31．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对一切正整数 .不等式 恒成立.求 的最小值.
32．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列 满足 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
33．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ， ，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
34．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）设 ，证明： .
35．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中
是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，若对任意的正整数n都有
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求 的最小值.
37．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， .
(1)求数列 前 项和 ；
(2)证明：对任意的 且 时，
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为
，证明：当 时，
(1) ；
(2) ；
(3) ．
39．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知数列 中， 是其前 项的和， ，.
(1)求 ， 的值，并证明 是等比数列；
(2)证明： .
40．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
41．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知数列 的前 项和为 ， ， 是 与 的等
差中项.
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求 的取值范围；
(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列 满足 ， ，
， ， ．
(1)求 的通项；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．43．（2023·全国·高三专题练习）设无穷数列 满足 ， ．证明∶
(1)当 时， ．
(2)不存在实数c，使得 对所有的n都成立．
2 . 数学归纳法
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数的数列 满足 ．
(1)证明：若 为奇数，则对 ， 都是奇数；
(2)若对 ，都有 ，求 的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 满足 .
(1)计算 ，猜想 的通项公式并加以证明；
(2)求数列 的前 项和 .
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列 中 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 中 ， ，证明： ，（ ）．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，给定数列 ，其中 ， ， ．证明：(1) ．
(2)如果 ，那么当 时，必有 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，已知 ．证明：
(1) ；
(2) ．
6．（2022秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考期中）已知数列 满足： ， ．
(1)证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)数列 ，求满足 的最大正整数n．
7．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)计算 , ，猜想 的通项公式并加以证明；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)计算： ，猜想数列 的通项公式，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求k的取值范围．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 是常数数列，求m的值．
(2)当 时，证明： ．
(3)求最大的正数m，使得 对一切整数n恒成立，并证明你的结论．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ， ， ．
(1)证明： ．
(2)设 是数列 的前n项和，证明： ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，证明：
(1) ．
(2) ，其中无理数 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
(3)记 为数列 的前n项和，证明∶ ．13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前n项和为 ，求证：当 时， ．
14．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当 时，设数列 前n项的和为 ，证明：当 时， ．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）数列 满足 ，
(1)求 的值；
(2)求数列 前 项和 ；
(3)令 ， ，证明：数列 的前 项和 满足 ．
