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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 二次函数与幂函数（精讲）
题型目录一览
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函
数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调递 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 减，在 上单 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点4．二次函数的图像
二次函数 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对
称轴方程为 ，顶点坐标为 .
【常用结论】
1.幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2．实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、题型分类精讲题型 一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化
为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数 满足 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知 为幂函数， 且 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 的值域是（ ）
A． B．C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示是函数 ( 且互质)的图象，则（ ）
A． 是奇数且 B． 是偶数， 是奇数，且
C． 是偶数， 是奇数，且 D． 是偶数，且
二、填空题8．函数 的定义域为_______．
9．设集合 ，集合 ，则 ________．
10．若函数 的图像经过点 与 ，则m的值为____________．
11．幂函数 满足：任意 有 ，且 ，请写出符合上述条
件的一个函数 ___________．
12．已知函数 若函数 在 上不是增函数，则a的一个取值为___________.
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注
意 为奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数 同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有
；②在 上是减函数，则 的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【题型训练】一、单选题
1．已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
2．幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
3．已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．已知幂函数 的图象经过点 ，且 ，则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
5．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 的定义域为
B．函数 为非奇非偶函数
C．过点 且与 图象相切的直线方程为
D．若 ，则
7．已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足.若 ， ，且 的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
8．已知幂函数 是偶函数，在 上递增的，且满足 .请写出一个满足条件的 的值，
__________.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
10．已知函数 ，则关于 的表达式 的解集为__________.
四、解答题
11．已知幂函数 的图像关于y轴对称．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．
12．已知幂函数 的定义域为R.
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围.
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不
确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同
一单调区间上比较．
【典例1】“函数 在区间 上不单调”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数 ，满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 在 为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数 的两个零点都在区间 内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若函数 在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．若函数 在区间 单调递减，则实数 的取值范围为 __．
6．若函数 满足下列性质：
（1）定义域为 ，值域为 ；
（2）图象关于直线 对称；
（3）对任意的 ，且 ，都有 ．
写出函数 的一个解析式：_______．7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是
_____________.
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，
“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． B．－3 C． 或－3 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 ， ，若 的最小值为 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．0 C． D．2
2．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 在 上的最小值为-1，则 （ ）
A．2或 B．1或 C．2 D．1
4．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5．设二次函数 在 上有最大值，最大值为 ，当 取最小值时， （ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题
6．若函数 在区间 内存在最小值，则 的取值范围是___________．
7．若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为__________.
8．函数 （ ，且 ）在 上的最大值为13，则实数 的值为___________.
9．设 ， ，若函数 在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既
不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．
这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x) ，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x) ．
max min
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则
【典例1】设函数 ，若对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围为
___________.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 在 上是单调减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．“ ”是“对任意的正数 ， 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
___________.
5．已知函数 ，若对任意 ，且 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是________．
6．已知 为正的常数，若不等式 对一切非负实数 恒成立，则 的最大值为________.
7．设 ，若不等式 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是________.【附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
