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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 二次函数与幂函数（精讲）
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质及应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值与值域问题
⑤二次函数根的分布与韦达定理
一、必备知识整合
一、幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函
数.
二、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
三、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调递 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 减，在 上单 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点四、二次函数的图像
二次函数 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对
称轴方程为 ，顶点坐标为 .
1.幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2．实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、考点分类精讲
【题型一 幂函数的定义与图像】
若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝
（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
【详解】设幂函数 ，因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
【典例2】（单选题）（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，又 在 上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C错误；对于D：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，且 在 上函数是上凸递增，故D
正确.
故选：D
一、单选题
1．（23-24高一上·广东广州·期中）下图给出 个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，④ ，④
【答案】A
【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.
【详解】幂函数 的定义域为 ，且为奇函数，在 上单调递增，对应图像①；
幂函数 的定义域为 ，且为偶函数，在 上单调递增，对应图像②；
幂函数 的定义域为 ，为非奇非偶函数，在 上单调递增，对应图像③；
幂函数 的定义域为 ，且为奇函数，在 上单调递减，对应图像④；
故选：A.2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数在第一象限的大致图象
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案.
【详解】设 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
因为函数 在 上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
3．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的
曲线（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线 右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线 的右侧，幂函数 的图象从上到下相应的指数 由大变小，即“指大
图高”，
所以幂函数 在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 ，
在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 .
故选：D
二、填空题
4．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点 ，则此幂函数的表达式为 .
【答案】
【分析】设此幂函数的表达式为 ，从而可得 ，求解即可.
【详解】设此幂函数的表达式为 ，
依题意可得， ，即 ，解得 ，
所以此幂函数的表达式为 .
故答案为： .
5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于
.
【答案】 /【分析】设幂函数 ，代入点计算 ，计算得到答案.
【详解】设幂函数 ，则 ，故 ，即 ， .
故答案为：
6．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知函数 的图象过点 ，则 .
【答案】3
【分析】由题意易得 ，求导可得 ，代入计算可知 .
【详解】将点 代入可得 ，即可知 ；
所以 ，
则 ，即可得 .
故答案为：
7．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 ，且 的图像恒过定点P，且P在幂函数
的图像上，则 ．
【答案】
【分析】通过与变量无关得到定点，设出 解析式，求解变量即可.
【详解】当 时， 的值与 无关，且 ，故 ，设
将 代入 ，解得 ，故
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数 的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则
（写出一个满足条件的函数即可）.
【答案】 （答案不唯一， 也正确）【分析】根据幂函数图象特征得到 ，又图像不经过第三象限，可得到答案.
【详解】设幂函数 .因为其图像与两条坐标轴都没有交点，所以 .
又因为图像不经过第三象限，所以 是偶函数或定义域为 ，
如 等.
故答案为： （答案不唯一， 也正确）
【题型二 幂函数的性质及应用】
(1)紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注
意 为奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 是幂函数，且函数 的图
象关于 轴对称.
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；
（2）根据 的定义域以及单调性分析求解.【详解】（1）因为函数 是幂函数，
则 ，即 ，解得 或1，
又因为函数 关于 轴对称，
当 时，则 为偶函数，满足题意；
当 时，则 为奇函数，不满足题意；
综上所述：实数 的值为 .
（2）函数 ，则函数 在定义域 内单调递减，
由 可得: ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数 在定义域 上单调递增，
所以由 推得出 ，故充分性成立；
由 推得出 ，故必要性成立，所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
2．（2024·广西·二模）下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.
【详解】对于A， ，其定义域为 ，不符合题意；
对于B， ，在 上为减函数，不符合题意；
对于C， ，在 上单调递减，不符合题意；
对于D， ，在 上单调递增，符合题意；
故选：D.
二、多选题
3．（23-24高三上·河北石家庄·期中）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.
【详解】对A，幂函数 在 单调递增，A正确；
对B， 在 部分可化为 ，在 为指数函数，在 单调递增，B正确；
对C，当 时， ，当 时， 不满足题意，C错误；
对D， 在 单调递增，则 在 单调递增，D正确。故选：ABD
三、填空题
4．（23-24高三上·上海静安·期中）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.
【详解】由 ，使得式子有意义，则 ，则定义域为 .
故答案为：
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 .若幂函数 为奇函数，且在
上递减，则 .
【答案】
【分析】由幂函数 在 上递减得 ，又由幂函数 为奇函数，验证即可求解.
【详解】因为幂函数 在 上递减，所以 ，
又幂函数 为奇函数，所以 .
故答案为：
6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）当 时，幂函数 为单调递减函数，
则 ．
【答案】
【分析】利用幂函数的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可知 或 ，
当 时， ，此时 在第一象限是单调递减函数，符合题意；
当 时， ，此时 在第一象限是单调递增函数，不符合题意；
综上： .故答案为：
7．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则a
的取值范围是 ．
【答案】
【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可
【详解】因为 的图象过点
所以 ，解得
所以 在定义域 上递减
故
解得
故答案为：
8．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数 ，条件：① 是偶函
数；② 为 上的减函数．则 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】设 ，根据幂函数为偶函数，则 为偶数，又 为 上单调递减，故 ，故
可取 ，
故答案为： （答案不唯一）
9．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式 的解集
为 .【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 在函数 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以关于 的表达式 的解集为 .
故答案为： .
【题型三 二次函数单调性问题】
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不
确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同
一单调区间上比较．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数 在 上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性判断.
【详解】因为函数 开口向上，对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，
，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：A.
一、单选题
1．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得 ，再由 ，进而求得 的取值范
围.
【详解】由函数 的对称轴是 ，
因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：A．
2．（23-24高三上·山东济宁·期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.
【详解】由题意，令 ，即 或 ，
根据二次函数性质知： 在 上递减，在 上递增
又 在定义域上递增，故 的单调递增区间为 .
故选：C
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数 的图象对称轴为 ，依题意， ，得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
4．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.【详解】令 ，
则 或 或 或
解得 或 ，
即实数m得取值范围为 .
故选：C．
二、多选题
5．（2023高三·全国·专题练习）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据 的取值去绝对值符号，画出 的图象即可求解.
【详解】由 解得 ，
所以 ，
函数图象如图所示，
由图可知函数 的单调减区间为 和 ，故选：AC
6．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围可
以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出二次函数的对称轴，即可得到 或 ，从而求出 的取值范围，即可判断.
【详解】函数 开口向上，对称轴为 ，
因为函数 在 上是单调函数，
所以 或 ，解得 或 .
故选：ABD
三、填空题
7．（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内单调，若
的否定为真命题，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先给出命题p的否定，由函数 的单调性进行求解.
【详解】命题p的否定为：任意 ，使得函数 在区间 内不单调，
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，
得 ，
故答案为：8．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将 可看作由 复合而成，根据复合函数的单调性，列出不
等式，即可求得答案.
【详解】设 ，则 可看作由 复合而成，
由于 在 上单调递增，
故要使得函数 在区间 上单调递减，
需满足 在区间 上恒成立，且 在区间 上单调递减，
故 ，解得 ，
故a的取值范围为 ，
故答案为：
【题型四 二次函数最值与值域问题】
利用动轴定区间和定轴动区间思路分类讨论
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，
“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．【典例1】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值
或最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 开口向上，故需 在区间 上有最小值，且 ，从而得到不
等式，求出答案.
【详解】要使函数 在区间 上有最大值或最小值，
由于 开口向上，
故需函数 在区间 上有最小值，且 ．
该函数图像的对称轴为直线 ，所以 ，
解得 ，
所以 ，且 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：B．一、单选题
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 在区间 上有最大值6，最小值5.则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析出 时 的取值，然后结合单调性判断出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以当 时 ，
令 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以若 在区间 上有最大值6，最小值5，
则有 ，即 ，
故选：C.
2．（23-24高一上·河南·期中）若函数 的值域为 ，则实数 的值可能为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】根据二次函数的定义域和值域，结合二次函数图象分析判断．
【详解】因为 ，
则 在 处取得最小值－1．
令 ，解得 或 ，根据题意结合函数图像可得： ．
故选：CD.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的最小值为0，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】先由 的最小值为0，得到 ，再由 的解集为 ，得
到 的根为 ，从而利用韦达定理即可求解.
【详解】因为 开口向上，最小值为 ，
，
则 ，
的解集为 ，所以 是 的两个不等实根，
即 是 的两个不等实根，
所以 ，则 ，
.
故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且 在区间 上的最大值是 ，则
的值为（ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【分析】利用换元法，令 ，转化为二次函数 ，根据单调性及在区间 上的最大值是
，求出 的值即可.
【详解】令 ，则 ．
当 时，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 （ 舍去）．
当 时，因为 ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，
则 ，
解得 （ 舍去）．
综上知 或 ．
故选：D.
二、填空题
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知当 时，函数 的最大值为 ，则
的值为
【答案】 或【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可.
【详解】函数 的对称轴为 ，
当 ，即 时， ，
解得 或 （舍）；
当 ，即 时， ，
解得 或 （舍），
综上知， 的值为2或-1.
故答案为： 或 .
6．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b
变化时，M最小值为 ．
【答案】2
【分析】 ，则 即为函数 与函数 图象上点
的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察即可得出答案.
【详解】 ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 ， , 与函数 ， , 图
象上点的纵向距离，
则 即为函数 与函数 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
作出函数 图象，如图，
由图象可知，当函数 的图象刚好为 时此时 ， 取得最小值为2.故答案为：2
三、解答题
7．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ， .
(1)若 在区间 上最大值为2，求实数 的值；
(2)当 时，求不等式 的解集.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.
（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.
【详解】（1）函数 图象的对称轴为 ，
当 ，即 时， ，解得 ，则 ；
当 ，即 时， ，解得 ，矛盾，
所以 .
（2）显然 ，而 ，
因此不等式为 ，
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，不等式解集为 ；
当 ，即 时，不等式解集为 ，
所以当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 .8．（23-24高一上·北京·期中）函数 ，其中 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，f（x）的最小值为0，求a的值．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）直接解一元二次不等式；
（2）先求出对称轴，然后分 ， 和 三种情况求其最小值即可.
【详解】（1）当 时， 不等式 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）易知 的对称轴为 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，
则 ，得 ，符合题意；
②当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
解得 或 （舍）；
③当 时，函数 在 上单调递减，
则 ，解得 ，不符合题意，综上所述， 的值为 或 .
【题型五 二次函数根的分布与韦达定理】
【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程 有两个不等正
实根，则实数m的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可.
【详解】因为方程 有两个不等正实根，设两根为 ，
则等价于函数 有两个不相等且大于0的零点，
所以 或 ，
故选：D
一、填空题
1．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程 有一个根小于 ，另一个根
大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数图像特征，满足 ，即得a的取值范围.【详解】设 ，开口向上，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）命题“ 时，方程 有两个不等实数根”是真命题，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用存在量词命题，结合二次函数图象与一元二次方程解的关系，计算得结论．
【详解】因为命题“ 时，方程 有两个不等实数根”是真命题，
所以函数 的图象在 上与 轴有两个不同的交点，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：
3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于 的方程 至少有一个负实根，则实数 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】对 和 分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.
【详解】当 时，方程为 ，有一个负根，
当 时， 为一元二次方程，
关于 的方程 至少有一个负根，设根为 ， ，当 时，即 时，方程为 ，解得 ，满足题意，
当 ，即 时，且 时，
若有一个负根，则 ，解得 ，
若有两个负根，则 ，解得 ，
综上所述，则实数 的取值范围是 , ，
故答案为： , ．
二、解答题
4．（2023高一·上海·专题练习）已知关于 的方程 ， 求：
(1)方程有两个不同正根的充要条件；
(2)方程至少有一正根的充要条件．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）（2）由根的分布，结合对应二次函数的性质列不等式组求充要条件即可.
【详解】（1）方程 有两个不同正实根，
则 ，解得 或 ，
方程有两个不同正根的充要条件为 ；（2）由（1）易知： 或 方程有两个正根（ 或 两根相等），满足题设；
当 时，方程化为 有一个正根 ，满足题设；
若方程有正、负根各一个，则 ，解得 ；
综上：方程至少有一正根的充要条件是 ．
5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式 的解集为M.
(1)若 ，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得 或 ，求实数k的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）分类讨论，结合二次函数性质可得；
（2）由一元二次不等式的解集结合一元二次方程根的分布可得.
【详解】（1）当 时， 或 .
当 时， 恒成立；
当 时， ，解得 ，不恒成立，舍去.
当 时，
解得 或 .
综上可知，k的取值范围为 或 .（2）由 可得 或 .
因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
所以关于x的方程 有两个不相等的负根，
设为 ， ，则 ，
解得 ，
综上可知，k的取值范围为 .
