文档内容
第2讲 一元二次不等式及其解法
最新考纲 考向预测
不等式解法是不等式中的重要
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不
命题
内容，“三个二次”之间的联系
等式模型的过程.
的综合应用等问题是高考的热
趋势
2.通过函数图象了解一元二次不等式与 点.
相应函数、方程的联系.
核心
数学运算、逻辑推理
3.会解一元二次不等式.
素养
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
有两个相异实 有两个相等实
程ax2＋bx 没有实
根x ，x (x 根x ＝x
1 2 1 1 2
＋c＝0(a>0) 数根
x
2
R
>0(a>0) 或 x < x }
1
的解集
ax2＋bx＋c
<0(a>0) { x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
的解集常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
常见误区
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2．解不等式时忽视变形必须等价．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x ，x )，则必有a>0.( )
1 2
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为
R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(
)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解
集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于(
)
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|
x>1}，所以A∩B＝{x|10的解集为________．
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－40)．
【解】 (1)原不等式等价于
即
即
解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或20，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得11时，解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式
转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关
系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个
相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集．
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或
x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
2．不等式＋2≥0的解集为________．
解析：不等式变为≥0，即解得x>1或x≤.
答案：
3．解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
解：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x ＝－，x ＝.
1 2
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为
{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
一元二次不等式的恒成立问题
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参
数的范围
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取
值范围是________．
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－20 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
【解析】 因为不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x) ，x∈[0，1]，
min
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，1]，
所以f(x) ＝f(1)＝－3，
min
所以m≤－3.
【答案】 D
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题
的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参
数的范围．
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取
值范围．
角度三 给定参数范围的恒成立问题
已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范
围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
【解析】 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x
＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝
x2－3x＋2>0即可，解不等式组得x<1或x>3.故选C项．
【答案】 C
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函
数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解．
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－
a) ≥0(x∈[－2，2])．
min
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x) ＝g(－2)＝7－3a≥0，
min
解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x) ＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，
min
所以－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x) ＝g(2)＝7＋a≥0，
min
解得a≥－7，
所以－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思想方法系列1 转化与化归思想在一元二次不等式中的应用
若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区
间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．
【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间
(1，2)，
如图，
所以
所以即
则－40的解集为(－∞，－1)∪(3，＋
∞)，则关于x的不等式x2＋bx－2a<0的解集为( )
A．(－2，5) B．
C．(－2，1) D．
解析：选A.由题意知关于x的方程(x＋b)[(a－1)x＋(1－b)]＝0的实数根为－1
和3，则解得a＝5，b＝－3(a＝b＝1舍去)．则不等式x2＋bx－2a<0即为x2－3x－
10<0，解得－20的解集为( )
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
解析：选A.由x2－3x－10<0，解得－20，所以
x<－1或x>1.
3．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，
则＝1－＝1－＝.
4．若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为不等式 x2＋x＋m2<0 的解集不是空集，所以 Δ>0，即1－
4m2>0，所以－0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－70得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，所以不等式的解集为.故A错误；
对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，
所以(2x－1)(3x＋2)≥0，
所以x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－
7×(－1)＝，所以a＝3.故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
解析：原不等式可化为(x－a)<0，由00的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a
＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
所以，得，
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
因为F(x)＝，
所以F(2)＋F(－2)＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为
0，－－x的最大值为－2，
所以－2≤b≤0.
[B级 综合练]
11．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(
)
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
解析：选ABD.对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1
＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝
ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a
＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x ，
1
x ，所以x ＋x ＝－＝－1，x x ＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2
2 1 2 1 2
＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．
12．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此
时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符
合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10对任意实数x都成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
解得－0且k≠2时，A＝{x|x<4或x>k＋}；
当k＝2时，A＝{x|x≠4}；
当k<0时，A＝{x|k＋
