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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 二次函数与幂函数（精讲）
题型目录一览
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函
数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调递 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 减，在 上单 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点4．二次函数的图像
二次函数 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对
称轴方程为 ，顶点坐标为 .
【常用结论】
1.幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2．实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为二、题型分类精讲
题型 一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化
为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数 满足 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设 ，则 ，
所以 .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足 形式，故 ， 满足条件，共2个
故选：B2．已知 为幂函数， 且 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数及 求其解析式，进而求 .
【详解】因为 为幂函数，
设 ，则 ，
所以 ，可得 ，则 .
故选：B
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.
【详解】A ，则需要满足 ，即 ，所以函数 的定义域为 ，故A不符合题
意；
B ，则需要满足 ，所以函数 的定义域为 ，故B不符合题意；
C ，则需要满足 ，所以函数 的定义域为 ，故C不符合题意；
D ，故函数 的定义域为 ，故D正确；
故选：D.
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 的值域是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】 幂函数 的图像过点 ，
，解得 ，
，
的值域是 .
故选：D.
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，排除A,B选项；
易知当 时， 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为 ，且在 单调递减，
对于A， ，定义域为 ， ，
所以函数为奇函数，在 单调递减，故A正确；
对于B， ，定义域为 ，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，故C错误；
对于D， ，定义域为 ， ，函数为偶函数，故D
错误.
故选：A．
7．如图所示是函数 ( 且互质)的图象，则（ ）
A． 是奇数且 B． 是偶数， 是奇数，且C． 是偶数， 是奇数，且 D． 是偶数，且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解： 函数 的图象关于 轴对称，故 为奇数， 为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故 ，
故选：C.
二、填空题
8．函数 的定义域为_______．
【答案】
【解析】将函数解析式变形为 ，即可求得原函数的定义域.
【详解】 ，所以， .
因此，函数 的定义域为 .故答案为： .
9．设集合 ，集合 ，则 ________．
【答案】 /
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合 ， ，
所以 ，
故答案为： .
10．若函数 的图像经过点 与 ，则m的值为____________．【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数 ，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数 的图像经过点 与 ，
则 ，则
故 ，
故答案为：81
11．幂函数 满足：任意 有 ，且 ，请写出符合上述条
件的一个函数 ___________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取 ，则定义域为R，且 ，
， ，满足 .
故答案为： .
12．已知函数 若函数 在 上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 或 即可)
【分析】作出y=x和y= 的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y= 的图象如图所示：∴当 或 时，y= 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 或 时，函数 在 上不是增函数．
故答案为：-2．
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注
意 为奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数 同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有
；②在 上是减函数，则 的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由 的值依次求出 的值，然后根据函数的性质确定 ，得函数解析式，计算函数值．
【详解】 ， ， ，代入 分别是 ，在定义域内 ，即 是偶函数，因此 取值 或0，
时， 在 上不是减函数，
只有 满足，此时 ， ，
．
故选：B．
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】 幂函数 为偶函数，
，且 为偶数，
则实数 ，
故选：C
2．幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【分析】分别代入 的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】因为 ， ，
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是减函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是常函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；故选：D.
3．已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用函数 在 上单调递增即可判断出结论.
【详解】 是奇函数且为递增函数，所以 ，则 ，即 ，同理， ，
则 ，函数单调递增，得 ；
“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
4．已知幂函数 的图象经过点 ，且 ，则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出 的解析式，再根据 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知， ，解得， ，
故 ，易知， 为偶函数且在 上单调递减，
又因为 ，
所以 ，解得， 或 .
故 的取值范围为 .
故选：C.
5．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用中间值 比较a,b的大小，再让b，c与中间值 比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】 ，又因为通过计算知 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B
二、多选题
6．已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 的定义域为
B．函数 为非奇非偶函数
C．过点 且与 图象相切的直线方程为
D．若 ，则
【答案】BC
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、
选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点 求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作
差比较大小，进而判定选项D错误.
【详解】设 ，将点 代入 ，
得 ，则 ，即 ，
对于A： 的定义域为 ，即选项A错误；
对于B：因为 的定义域为 ，
所以 不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为 ，所以 ，设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，
切线方程为 ，又因为切线过点 ，
所以 ，解得 ，
即切线方程为 ，即 ，
即选项C正确；
对于D：当 时，
，
即 成立，即选项D错误．
故选：BC．
7．已知函数 是幂函数，对任意 ， ，且 ，满足
.若 ， ，且 的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【解析】首先根据函数是幂函数，求得 的两个值，然后根据题意判断函数在 上是增函数，确定
的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数 为幂函数，故 ，即 ，解得 .当 时，，当 时， .由于“对任意 ，且 ，满足 ”知，
函数在 上为增函数，故 .
易见 ，故函数 是单调递增的奇函数.
由于 ，即 ，得 ，所以 ，此时，若当 时， ，
故 ；当 时， ，故 ，故 ；当 时，由 知， ，故 或
或 ，即 或 或 .
综上可知， ，且 或 或 .
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定
和 的符号情况.
三、填空题
8．已知幂函数 是偶函数，在 上递增的，且满足 .请写出一个满足条件的 的值，
__________.
【答案】
【分析】结合偶函数和单调性及 可得，答案不是唯一的.
【详解】因为 ，所以 ；
因为 在 上递增的，所以 ；
因为幂函数 是偶函数，所以 的值可以为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于 ，侧重考查数学抽象的核心素养.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】【分析】先求 ，再根据奇函数求
【详解】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知函数 ，则关于 的表达式 的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 在函数 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以关于 的表达式 的解集为 .
故答案为： .
四、解答题
11．已知幂函数 的图像关于y轴对称．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
(2)由(1)求出函数 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ．
又 的图像关于y轴对称，所以 ，
故 ．
（2）由（1）可知， ．
因为 ，所以 ，
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
故 在 上的值域为 ．
12．已知幂函数 的定义域为R.
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数 值；（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间 上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意 且 ，解得 ；
（2）由（1） ， 的对称轴 ，
因为 在 上不单调，所以 ，
解得 ．
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不
确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同
一单调区间上比较．
【典例1】“函数 在区间 上不单调”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数 在区间 上不单调，可得 ，即 ；
由 ，得 ，得函数 在区间 上不单调，
所以“函数 在区间 上不单调”是“ ”的充分且必要条件.
故选：C
【题型训练】
一、单选题1．若二次函数 ，满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据 ，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为 ，所以二次函数 的对称轴为 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B.
2．已知 在 为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 的单调性，从而得到 .
【详解】 在 上单调递减，在 上单调递增，故要想在 为单调函数，
需满足 ，
故选：D
3．已知二次函数 的两个零点都在区间 内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】二次函数 ，对称轴为 ，开口向上，在 上单调递减，在 上单调递增，
要使二次函数 的两个零点都在区间 内，
需 ，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
4．已知函数 ，若函数 在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组
即可得答案.
【详解】解：因为函数 在R上为减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
二、填空题
5．若函数 在区间 单调递减，则实数 的取值范围为 __．
【答案】【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知 ，然后求出 的取值范围即可.
【详解】易知二次函数 的单调递减区间为 ，
又因为函数 在区间 单调递减，
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
6．若函数 满足下列性质：
（1）定义域为 ，值域为 ；
（2）图象关于直线 对称；
（3）对任意的 ，且 ，都有 ．
写出函数 的一个解析式：_______．
【答案】 （不唯一）
【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.
【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式 ，
此时 对称轴为 ，开口向上，满足（ ），
因为对任意 ， ，且 ，都有 ，
等价于 在 上单调减，
∴ ，满足（ ），
又 ，满足（ ），故答案为： （不唯一）．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是
_____________.
【答案】[0,4]
【分析】可先求出二次函数的对称轴 ，再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围．
【详解】二次函数的对称轴 ， 时函数单调递增， ，二次函数开口向下，
函数单调递减，根据二次函数的对称性， ，f(m)≥f(0)，
【点睛】二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对称性来解题，防止漏解错解．
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，
“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． B．－3 C． 或－3 D．4
【答案】C
【分析】按 分类讨论求 的最大值，然后由最大值为4得参数值．
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合
题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得 ；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为 或－3．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 ， ，若 的最小值为 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根据二次函数性质求得最小值，由最小值得 值，从而再求得最大值．
【详解】∵ 在 上单调递增，∴其最小值为 ，
∴其最大值为 .
故选：A．
2．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，由单调性得到 在 上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，
求出m的取值范围.
【详解】 ，
因为 在 上为单调递增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，
要满足 ①，或 ②，由①得： ，由②得： ，
综上：实数m的取值范围是 .
故选：D
3．若函数 在 上的最小值为-1，则 （ ）
A．2或 B．1或 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间 的关系，求出其最小值，列方程可求出
的值
【详解】函数 图象的对称轴为 ，图象开口向上，
（1）当 时，函数 在 上单调递增．则 ，由 ，得 ，不符合
；
（2）当 时．则 ，由 ，得 或 ，又
， 符合；
（3）当 时，函数 在 上单调递减，
，由 ，得 ，
又 ， 不符合，
综上可得 ．
故选：D
4．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的值域可得出 ，可得出 ，则有 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
5．设二次函数 在 上有最大值，最大值为 ，当 取最小值时， （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】 在 上有最大值 ，
且当 时， 的最大值为 ，
即 且 ，
当且仅当 时，即 时， 有最小值2，
故选：A．
二、填空题
6．若函数 在区间 内存在最小值，则 的取值范围是___________．
【答案】【分析】根据二次函数的性质确定在开区间 内存在最小值的情况列不等式，即可得 的取值范围是.
【详解】解：二次函数 的对称轴为 ，且二次函数开口向上
若函数在开区间 内存在最小值，则 ，即 ，此时函数在 处能取到最小
值，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
7．若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为__________.
【答案】
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于 成轴对称，即可得到 ，从而得到方程组，
解得即可.
【详解】解：因为 ，对称轴为 ，开口向上，
所以函数在 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故答案为：
8．函数 （ ，且 ）在 上的最大值为13，则实数 的值为___________.
【答案】 或
【分析】令 ，讨论 或 ，求出 的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】∵
令 ，则 ，
则 ，其对称轴为 .
该二次函数在 上是增函数.
①若 ，由 ，得 ，
故当 ，即 时，
，解得 ( 舍去).
②若 ，由 ，可得 ，
故当 ，即 时，
.
∴ 或 (舍去).
综上可得 或 .
故答案为： 或 .
9．设 ， ，若函数 在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既
不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得 ；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为
，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.【详解】对①：∵ ，即
，
故 不是奇函数；
若 是偶函数，则 ，
可得 ，即 ；
故若 是非奇非偶函数，则 ；
对③：若 在 上有最大值，则有：
当 时，则 在 上单调递减，无最值，不合题意；
当 时，则 为二次函数且对称轴为 ，
由题意可得 ，解得 ，
故若 在 上有最大值，则 ；
对②：若 ，则 开口向下，且对称轴为 ，
故 在 上既不是增函数也不是减函数；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故答案为： .
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．
这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x) ，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x) ．
max min
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则
【典例1】设函数 ，若对于 ， 恒成立，则实数 的取值范围为
___________.
【答案】
【分析】整理可得 在 上恒成立，根据x的范围，可求得 的范围，分析即可得
答案.
【详解】由题意， 可得 ，即 ，
当 时， ，所以 在 上恒成立，
只需 ，
当 时 有最小值为1，则 有最大值为3，
则 ，实数 的取值范围是 ，
故答案为：
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 在 上是单调减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由求导公式和法则求出 ，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造
函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【详解】由题意得， ，
因为 在[1，+∞）上是单调减函数，
所以 ≤0在[1，+∞）上恒成立，
当 ≤0时，则 在[1，+∞）上恒成立，
即a ，设g（x） ，
因为x∈[1，+∞），所以 ∈（0，1]，
当 时，g（x）取到最大值是： ，
所以a ，
所以数a的取值范围是（﹣∞， ]
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用
分离常数法，求函数值域，属于中档题．
2．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设得 在 上恒成立，参变分离后求得 的最小值即可求解.
【详解】由题意知： 在 上恒成立，则 在 上恒成立，又 ，故 .
故选：A.
3．“ ”是“对任意的正数 ， 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题通过分离参数转化为 ，最后利用二次函数配方得到其最大值，即得到 的范
围.
【详解】 ， 对任意正数 恒成立， ，
令 ， ， ，所以 ，
是其充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
4．已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】对任意 ， 恒成立，等价于 在 上恒成立，令 ，
求其在 上的最小值即可.
【详解】对任意 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ，
则其在 上的最小值为 ，所以 ，得 .故答案为：
5．已知函数 ，若对任意 ，且 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】先利用单调性的定义，结合条件推得 在 上是增函数，从而分类讨论 与 两种
情况，利用一次函数与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为对任意 ，且 ，不等式 恒成立，
不妨设 ，则 ，故 ，即 ，
所以 在 上是增函数，
因为 ，
当 时， ，显然 在 上是减函数，不满足题意；
当 时， 的对称轴为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
6．已知 为正的常数，若不等式 对一切非负实数 恒成立，则 的最大值为________.
【答案】
【分析】令 ，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 ① ，令 ， ，则 ，将 代入①式，则有 ，
对一切 恒成立， 对 恒成立，
即 ，根据二次函数的性质， 在 时单调递增，故 ，
所以 ，又 为正的常数，则 的最大值为 .
故答案为：
7．设 ，若不等式 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为不等式 对于任意的 恒成立，所以不等式
对于任意的 恒成立，令 ，即 对于任意的
恒成立，因为 ，所以 ，则 ，即 ，解得 或
（舍）；故答案为 .
【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见
方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；② 数形结
合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨论参数.本
题是利用方法 ③ 求得 的最大值.
