第05讲一元二次不等式（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 05 讲 一元二次不等式及简单不等式的解法 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a＞0)的图象 一元二次方程 有两相异实数根x ， 有两相等实数根x ＝ 1 1 ax2＋bx＋c＝0 没有实数根 x (x ＜x ) x ＝－ 2 1 2 2 (a＞0)的根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 （1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 3、．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔ 1、【2020年新课标1卷理科】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 2、【2020年新课标1卷文科】已知集合 则 （ ） A． B． C． D．3、【2019年新课标1卷理科】已知集合 ，则 = A． B． C． D． 1、不等式x2＋2x－3<0的解集为( ) A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3} C．{x|－10的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( ) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 3、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( ) A．m> B．m< C．m<1 D．m>1 4、不等式 的解集是___________． 考向一 一元二次不等式及简单不等式的解法 例1 (1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为( ) A. B. C.(－∞，－1)∪ D.∪(1，＋∞) (2)不等式≥0的解集为( ) A.[－2，1] B.(－2，1] C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) (3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________. 变式1、求不等式的解集： －x2＋8x－3>0； 方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对应的一元二次方程的根. (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 考向二 分式等不等式的解法 例2 求关于x的不等式≤0的解集． 变式1、解下列关于x的不等式． (1) lg2x－2lg x－3<0； (2) 2x2－2x－3>1； (3) 4x－2x－2<0. 变式2、 解下列关于x的不等式． (1) lg 2x－2a lg x－3a2<0； (2) 4x－a·2x－2a2>0. 方法总结：分式不等式的解法： 第一步：对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组). ＜0 (x－a)(x－b)<0； ≥0 ⇔ ≤0 ⇔ 第二步：利用一元二次不等式求解． ⇔ 考向三 含参不等式的讨论 例2、(1)解关于实数 的不等式： ． (2)解关于实数 的不等式： ．变式、 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R). 方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论， 若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论 二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； 考向四 恒成立问题 例4 (1) 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0恒成立，则实数k的取值范围是( ) A. (－3，0] B. [－3，0) C. [－3，0] D. (－3，0) (2) 设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则实数a的取值范围是( ) A. (0，4) B. [0，4) C. (0，＋∞) D. (－∞，4) (3) 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围． 方法总结：1. 一元二次不等式在R上恒成立的条件： 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 2. 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法： (1) 若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含 义求解参数的值(或范围). (2) 转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，若 f(x)≥a恒成立，则 f(x) ≥a，即 min m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x) ≤a，即n≤a. max 3. 一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法： 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的 范围，谁就是参数，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求 解1、(2022·江苏苏州市第十中学10月月考)已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为_________. 2、（2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考） 若不等式 的解集为 ，则二次函数 在区间 上的最大 值、最小值分别为（ ） A. -1，-7 B. 0，-8 C. 1，-1 D. 1，-7 3、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要 不充分条件是 A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜ D．a≥0 x x2 2ax8a2 0 a0 (x ,x ) 4、关于 的不等式 （ ）的解集为 1 2 ， x x 15 且 2 1 ，则a 5 7 15 15 ． 2 B．2 C． 4 D． 2 A 5、已知函数 f(x)x2 mx1, 若对于任意 x[m,m1] ，都有 f(x)0 成立，则实数m的取值范围是 ． 6、函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R. (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．