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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型一： 分式不等式求解...............................................................................................................3
题型二： 一元二次不等式求解.......................................................................................................4
题型三： 含参一元二次不等式求解..............................................................................................5
题型四： 求一元二次不等式相关系数..........................................................................................7
题型五： 恒成立问题.......................................................................................................................7
知识点总结
知识点一、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
知识点二、三个“二次”间的关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c(a>0)的图象
方程 ax2＋bx＋c＝ 有两个不相等的实 有两个相等的实数根
没有实数根
0(a>0)的根 数根x，x(x0(a>0)
{ x | x < x ，或 x > x} R
的解集 1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0) { x | x 1 < x < x 2 } ∅ ∅的解集
注意
当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
知识点三、分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
⇔
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
⇔
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．记
忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
【常用结论与注意点】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注
意分a>0，a<0进行讨论．
3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视
g(x)≠0.
例题精讲
题型一：分式不等式求解
【要点讲解】
且【例1】求不等式的解集：
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】解下列不等式
．
【变式训练2】求下列不等式的解集：
．
【变式训练3】解下列不等式．
．
题型二：一元二次不等式求解
【要点讲解】求解一元二次不等式的解集问题，需要借助一元 二次方程的根的判别式、韦
达定理求出实数解，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集.
【例2】解关于 的不等式．（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式训练1】求下列不等式的解集
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式训练2】求下列不等式的解集：
（1）
（2）题型三：含参一元二次不等式求解
【要点讲解】步骤一：考虑不等式是否为一元二次不等式
步骤二：考虑二次函数开口
步骤三：考虑对应方程是否有根？
步骤四：比较根的大小关系
【例3】已知 ，解关于 的不等式 ．
【变式训练1】若 ，解关于 的不等式 ．
【变式训练2】解关于 的不等式 ．
【变式训练3】解下列关于 的不等式．
（1） ；
（2） ．【变式训练4】关于 的不等式
（1）已知不等式的解集为 ， ， ，求 的值；
（2）解关于 的不等式 ．
题型四：求一元二次不等式相关系数
【要点讲解】我们首先需结合不等式解集的端点值 和韦达定理，求得不等式的系数，然后
将 的值代入所求的不等式，解该不等式即可得出结果.
【例4】二次不等式 的解集为 ，则 的值为
A． B．5 C． D．6
【变式训练1】关于 的不等式 ，解集为 ，则不等式 的解
集为
A． B． C． D．
【变式训练2】已知一元二次不等式 ， ， 的解集为 ，则 的最大值为
A． B． C．1 D．2
【变式训练3】已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，
则 的最小值为
A．4 B． C．2 D．1
题型五：恒成立问题
【要点讲解】在解答含参一元二次不等式恒成立问题时，结合 一元二次函数的图象来分析
不等式成立的情况，能有效地提升解题的效率.
【例5】若 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【变式训练1】“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
【变式训练2】对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值
范围是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练3】若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．【变式训练4】设 ．
（1）若不等式 对于一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
【变式训练5】设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）对于 ， ， 恒成立，求 的取值范围．
课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋•临渭区期末）不等式 的解集是
A． 或 B．
C． D．
2．（2023•射洪市模拟）“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充
分条件是A． B． C． D．
3．（2022秋•朝阳区校级期中）若函数 在区间 ， 上是减函数，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2022秋•雨花区期末）已知不等式 解集为 ，下列结论
正确的是
A． B． C． D．
5．（2022•杭州模拟）抛物线 的图象如图所示，则一次函数 与反
比例函数 在同一平面直角坐标系内的图象大致为
A． B．
C． D．
6．（2022•杭州模拟）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2023•河南模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
8．（2022秋•阜南县校级月考）不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． D． ，
二．多选题（共4小题）
9．（2022•杭州模拟）已知关于 的不等式 的解集为 ，且
，若 ， 是方程 的两个不等实根，则
A． B．
C． D．
10．（2022 秋•金安区校级期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
， ，则
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为 ，
11．（2022秋•李沧区校级期中）已知关于 的不等式 的解集是 或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式 的解集是
C．不等式 的解集是
D．
12．（2022 秋•台江区校级期末）对于给定实数 ，关于 的一元二次不等式
的解集可能是
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2022秋•崇明区期末）已知函数 在区间 ， 上是严格减函数，
则实数 的取值范围是 ．
14．（2022秋•杨浦区校级期中）设 为常数，关于 的不等式 的解集中有且
仅有两个整数解，则实数 的取值范围为 ．
15．（2022秋•青浦区校级月考）函数 在区间 ， 上的最大值为3，最小
值为2，则实数 的取值范围是 ．
16．（2022春•五华区校级月考）若点 在直线 的左上方，则 的取值范
围是 ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•城关区校级期末）已知 为二次函数，且满足：对称轴为 ，
（2） ， （3） ．
（1）求函数 的解析式，并求 图象的顶点坐标；（2）在给出的平面直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的单调区间．
18．（2022秋•咸阳期末）设函数 ， ．
（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
