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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两相异 有两相等实
一元二次方程ax2＋bx＋c 没有
实根x， 根x＝x
＝0(a>0)的根 1 1 2 实数根
x(x0 (a>0)的解集 {x|xx} {x|x≠x} {x|x∈R }
1 2 1
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x 1 0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
∴x<－1或x>.
(2)(多选)已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M＝
B．N＝
C．M∪N＝
D．M∩N＝
答案 ACD
解析 由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；
而M∩N＝{x|－10)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得1时，不等式的解集为.
延伸探究 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，
原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当01时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
拓展
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4<0，即－22或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－20(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)
min
≥a，即
m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)
max
≤a，即n≤a.
命题点3 在R上恒成立问题
例3 (2022·漳州模拟)对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．－20时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.
命题点5 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3] >0(0≤p≤4)，
min
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
拓展
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [－7,2]
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，
解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
