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北师大版（2024）第二章《实数》2.3 根式（1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 二次根式 课时 1
让学生理解二次根式的概念和二次根式乘除法计算法则，掌握二次根式的运算，并能够进行简
课标 单的运用，同时培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
要求
教材 本节内容分为2课时，第一课时：二次根式的概念与乘除法；二次根式的运算，第二课时，最简二
分析 次根式；二次根式的化简。每个部分的内容结合具体的例题和练习，让学生再理解的基础上周五
方法，并通过练习巩固技能。本节课时第一课时。
学情 在认识平方根、立方根的概念和求法以及实数的有关概念和运算的基础上学习二次根式。
分析 通过对二次根式的概念和性质学习后，学生对实数的概念有更深刻的认识。通过对二次根式的
加减乘除的运算学习，学生将对实数的四则运算有更进一步的了解。理解二次根式与整式之间
的关系，明确整式的运算性质、公式、法则与二次根式的一致性。让学生经历观察、思考、讨论等
探究活动归纳出结论的过程，体会数学与日常生活的紧密联系，增强运用意识，提高归纳概括能
力。
核心 1.认识二次根式概念.
素养
2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。
目标
3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力
教学 探索二次根式的乘除法法则，并运用其法则进行计算，
重点
教学 探索二次根式的乘除法法则，并运用其法则进行计算。
难点
教学 预习单和相应课件
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x =a,那 回顾算术平方 复习旧知为新授
根和平方根的 奠基。
么这个正数x就叫a的算术平方根，记着 ，读着根号
概念
a
2.一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x =a,那
么这个正数x就叫a的平方根(也叫二次根式），记着±
，读着正负根号a
二、探究 探究1：二次根式的概念 1、找出一组 从问题引入二次根
根式的共同特 式的概念。让学生
1、问题：
点，归纳出二 掌握二次根式必须
其中b=24,C=25. 次根式的概 具备两个条件，其
上面各式的共同特点是什么？【都是二次根式，被开方 念。 一是二次根式（开
数都是非负数.】 2、理解和掌 平方）其二是北开
2、请指出下列哪些是二次根式？ 握判断二次根 方数大于或等于
式的方法。 0。通过计算、猜想
根据二次根式 二次根式乘除法的
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被开方数大于 计算法则和实数的
或等于0完成 乘除法计算法则的
x取何值时,下 一致性。
【二次根式有：（1）；（4）；（5）；（8）】
列二次根式有
3、x取何值时,下列二次根式有意义?
意义?
3、探究二次
根式乘除法的
计算法则。
【（1）x≥1 （2）x≤0 （3）x为任意实数
（4） x>0 （5）x≥0 （6）x≠0 】
探究2：二次根式乘除法计算法则
用计算器计算下列各式，你能得到什么猜想?
= =
= =
= =
= = = =
= =
小结：二次根式乘除法计算法则
强调:用字表示二次根式乘除法计算法则，注意字母的
取值范围。
三、典例 例题1：计算（课本第42页） 自学例题 通过例题的学生，
精析 是学生进一步理解
和掌握二次根式的
乘除法法则。并用
于二次根式的简单
计算。
例题2：计算下列各题（课本第42页例题2）
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五、课堂 基础达标： 引导学生能够在课
练习 1．（2 ）2＝ 2 0 ． 堂练习的完成过程
中对要点知识加深
2．化简： ＝ π - 3 ．
巩固，有效应用。
3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是
x ＞ 3 ．
4．下列根式中，是二次根式的是（ D ）
A． B． C． D．
Π
5．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ B ）
A．x＞﹣1 B．x≥1 C．x≥2 D．x＜3
6．计算： ．
解：原式＝3 +2 ﹣3 ﹣2
＝ ﹣ ．
7．计算： ．
解：
＝2 ﹣ +3
＝ +3．
能力提升：
8．比较大小：2 ， ， 的大小顺序是（
B ）
A．2 ＜ ＜ B．2 ＜ ＜
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C． ＜2 ＜ D． ＜ ＜2
9．若 ，则代数式 x2﹣6x﹣9 的值为（
B ）
A．2022 B．2004 C．﹣2004 D．﹣2022
拓展迁移：
10.已知a＝ ，求代数式a2+2a﹣5的值．
解：∵a＝ ，
∴a2+2a﹣5
＝a2+2a+1﹣1﹣5
＝（a+1）2﹣6
＝（ ﹣1+1）2﹣6
＝（ ）2﹣6
＝5﹣6
＝﹣1．
11．已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
解：（1）x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（ ）2
＝（2 ）2
＝12；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝（ ）×[ ]
＝2 ×2
＝4 ．
六、提升 1、什么是二次根式，怎样判断一个根式是二次根式？ 引导学生从知识内
总结 2、根据二次根式被开方数是非负数，知道求其取值范 容、研究方法以及
围。 运用过程三个方面
二次根式乘除法的计算法则： 总结自己的收获，
让学生全面把握本
节课的重点和难
点，并启发学生用
类比或迁移的方法
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学习后续课程。
板书设计 二次根式 利用简洁的文字、
一般地，形如 （a 0）的式子叫二次根式。 符号、图表等呈现
满足条件：①开平方，②被开方数是非负数。 本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
二次根式乘除法计算法则：
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．当x＝﹣4时， 的值是 3 ． ．
习）
2．若分式 有意义，则实数x的取值范围为 x ≥﹣ 1 且 x ≠ 0 ．
3．计算： ＝ 5 ．
4．实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 的结果是（ B ）
A．2b﹣a B．a+2b C．﹣a D．a
5．下列二次根式中能与 相乘得到有理数的是（ A ）
A． B． C． D．
6．下列各数中，与 不能合并的二次根式是（ B ）
A． B． C． D．
7．计算： ．
解：
＝ +
＝ +
＝
＝3
＝4 ．
8．计算：（ +3）（ ﹣3）﹣（ ﹣1）2．
解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2 +1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2 ．
能力提升：
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9．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣a|+
解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b
10.观察下列分母有理化的计算： ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝
﹣ ， ＝ ﹣ ，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：（ + + +…+
）（ +1）＝ 202 0 ．
拓展迁移：
11.阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： ＝ ；
（2）若等式 ＝4成立，则a的取值范围是 ；
（3）若 ＝8，求a的取值．
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
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∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
教学反思
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