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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型一： 分式不等式求解.......................................................3
题型二： 一元二次不等式求解...................................................4
题型三： 含参一元二次不等式求解...............................................5
题型四： 求一元二次不等式相关系数.............................................9
题型五： 恒成立问题..........................................................11
知识点总结
知识点一、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
知识点二、三个“二次”间的关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c(a>0)的图象
方程 ax2＋bx＋c＝ 有两个不相等的实 有两个相等的实数根
没有实数根
0(a>0)的根 数根x，x(x0(a>0)
{ x | x < x ，或 x > x} R
的解集 1 2
ax2＋bx＋c<0(a>0) { x | x 1 < x < x 2 } ∅ ∅的解集
注意
当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
知识点三、分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．记
忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
【常用结论与注意点】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注
意分a>0，a<0进行讨论．
3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视
g(x)≠0.
例题精讲
题型一：分式不等式求解
【要点讲解】
且【例1】求不等式的解集：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）由 ，可得 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ；
（2）由 ，可得 ，
等价于 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
【变式训练1】解下列不等式
．
【解答】解： ，解得 或 ，
，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 ．
【变式训练2】求下列不等式的解集：
．
【解答】解：不等式 化为 ，即 ，解得 ，所以不
等式的解集为 ．
【变式训练3】解下列不等式．．
【解答】解： ．即 ，
且 ，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 ．
题型二：一元二次不等式求解
【要点讲解】求解一元二次不等式的解集问题，需要借助一元 二次方程的根的判别式、韦
达定理求出实数解，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集.
【例2】解关于 的不等式．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）由 可得， ，
或 ，
故不等式的解集为 或 ；
（2）由 可得， ，
，
故不等式的解集为 ；
（3）令 得， 或 ，
，故不等式的解集为 ．
【变式训练1】求下列不等式的解集
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）原不等式可变为： ．
方程 的两个实根分别是 ， ．
故原不等式的解集为 ；
（2）方程 两个实根分别是 ．
故原不等式的解集为 ；
（3）对于方程 ，因为△ ，
所以方程没有实数根．
故原不等式的解集为 ．
【变式训练2】求下列不等式的解集：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原不等式化为 ，即 ，所以 ，
原不等式解集为 ．
（2）原不等式化为 ，又△ ，
所以原不等式无解，解集为 ．题型三：含参一元二次不等式求解
【要点讲解】步骤一：考虑不等式是否为一元二次不等式
步骤二：考虑二次函数开口
步骤三：考虑对应方程是否有根？
步骤四：比较根的大小关系
【例3】已知 ，解关于 的不等式 ．
【解答】解：当 时，不等式的解为 ；
当 时，分解因式
当 时，原不等式整理得： ，即 ，
不等式的解为 或 ；
当 时， ，不等式的解为 ；
当 时， ，不等式的解为 ；
当 时，不等式的解为 ．
【变式训练1】若 ，解关于 的不等式 ．
【解答】解：当 时， ．（2分）
当 时， ．
当 时， ，解得 ．（4分）
当 时， ．
当 时， ．（6分）当 时， ，或 ．
当 时， ，或 ．（8分）
当 时，解集是 ；当 时，解集是 ；当 时，解
集是 ；当 时，解集是 ．（10分）
【变式训练2】解关于 的不等式 ．
【解答】解：关于 的不等式 等价于 ；
当 时，不等式化为 ，解得解集为 ；
当 时，不等式等价于 ，
解得不等式的解集为 ， ， ；
当 时，不等式等价于 ，
若 ，则 ，解得不等式的解集为 ， ；
若 ，则 ，不等式化为 ，此时不等式的解集为 ；
若 ，则 ，解得不等式的解集为 ．
综上， 时，不等式的解集为 ；
时，不等式的解集为 ， ， ；
时，不等式的解集为 ， ；
时，不等式的解集为 ；时，不等式的解集为 ．
【变式训练3】解下列关于 的不等式．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）当 时，不等式 可化为： ．
所以方程 的两个根为 和2．
当 时， ，所以不等式的解集为 ．
当 时， ，不等式的解集为 ．
当 时，不等式 ，不等式的解集为 ．
综上知，当 时，不等式的解集为 ．
当 时，不等式的解集为 ．
当 时，不等式的解集为 ．
（2）不等式 中，计算△ ，
令△ ，解得 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 或 时，△ ，不等式 对应的方程有两个不等的实数根
， ，且 ，解不等式得 ，或 ；
当 时，△ ，不等式 对应的方程没有实数根，不等式的解集
为 ．
综上知， 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ，或 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【变式训练4】关于 的不等式
（1）已知不等式的解集为 ， ， ，求 的值；
（2）解关于 的不等式 ．
【解答】解：（1） 关于 的不等式 可变形为
，
且该不等式的解集为 ， ， ，
；
又不等式对应方程的两个实数根为 和2；
，解得 ；
（2）① 时，不等式可化为 ，它的解集为 ；
② 时，不等式可化为 ，
当 时，原不等式化为 ，它对应的方程的两个实数根为 和 ，且 ，
不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式化为 ，
不等式对应方程的两个实数根为 和 ，
在 时， ，
不等式的解集为 ；
在 时， ，不等式的解集为 ；
在 时， ，不等式的解集为 ．
综上， 时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 或 ，
时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 ，
时，不等式的解集为 ．
题型四：求一元二次不等式相关系数
【要点讲解】我们首先需结合不等式解集的端点值 和韦达定理，求得不等式的系数，然后
将 的值代入所求的不等式，解该不等式即可得出结果.
【例4】二次不等式 的解集为 ，则 的值为
A． B．5 C． D．6
【解答】解： 不等式 的解集为 ，
，原不等式等价于 ，
由韦达定理知 ， ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练1】关于 的不等式 ，解集为 ，则不等式 的解
集为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知， ， 是方程 的两根，可得 ，解
得 ；
所以不等式为 ，即 ，
解得 ，
所以不等式的解集为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】已知一元二次不等式 ， ， 的解集为 ，
则 的最大值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解：一元二次不等式 ， ， 的解集为 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，
所以 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练3】已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，
则 的最小值为
A．4 B． C．2 D．1
【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
则 ， 是方程 的两根，且 ，
则 ，解得 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时取得最小值为2，
故选： ．
题型五：恒成立问题
【要点讲解】在解答含参一元二次不等式恒成立问题时，结合 一元二次函数的图象来分析
不等式成立的情况，能有效地提升解题的效率.
【例5】若 恒成立，则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：当 时， 恒成立，符合题意；当 时， 恒成立，则 ，解得： ．
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练1】“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ，
则△ ，
解得 ，
所以“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是“ ”．
故选： ．
【变式训练2】对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值
范围是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解： ，即 时， ，恒成立；
时， ，解得 ，
故选： ．
【变式训练3】若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．【解答】解： 对一切实数 恒成立，
△ ，
解得： ，
故答案为： ．
设 ．
（1）若不等式 对于一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
【解答】解：（1） 对于一切实数 恒成立等价于 对于一切实
数 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时， 即 ，
解得： ；
（2）不等式 等价于
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；②当 时， ，不等式的解集为 或 ；
③当 时， ，不等式的解集为 或 ．
【变式训练4】设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）对于 ， ， 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则有 ．
．
（2）当 时， 显然恒成立；当 时，该函数的对称轴是 ，
在 ， 上是单调函数．
当 时，由于 （1） ，要使 在 ， 上恒成立，只要 （3）
即可．
即 得 ，即 ；
当 时，若△ ，由（1）知显然成立，此时 ；若△ ，则 ，
由于函数 在 ， 上恒成立，只要 （1） 即可，此时 （1） 显
然成立，综上可知： ．课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋•临渭区期末）不等式 的解集是
A． 或 B．
C． D．
【解答】解： ， 或 ，
则不等式 的解集是 或 ．
故选： ．
2．（2023•射洪市模拟）“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充
分条件是
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ，
则△ ，
解得 ，
所以“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是“ ”．
故选： ．
3．（2022秋•朝阳区校级期中）若函数 在区间 ， 上是减函数，
则实数 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：由二次函数性质知： 对称轴为 ，
，解得： ．
故选： ．
4．（2022秋•雨花区期末）已知不等式 解集为 ，下列结论
正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由于不等式 解集为 ，
所以 ；
故 和2为 的两根；
所以 ，整理得： ，故 ；
由于 ，所以 ；
故 ，整理得 ，所以 ；故 、 、 错误．
所以当 时， ，故 正确；
故选： ．
5．（2022•杭州模拟）抛物线 的图象如图所示，则一次函数 与反
比例函数 在同一平面直角坐标系内的图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数图象可得： ， ， ，
当 ， 时，则一次函数 图象上升，且经过第一、三、四象限，
当 时，则反比例函数 经过第二、四象限，
符合条件只有 选项．
故选： ．
6．（2022•杭州模拟）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数 的
取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ，此时 只有一个零点，零点为 ，不符合要
求；
当 时，函数 为二次函数， ，利用零点存在性定理和二次函数的图象
性质得 （1） ，解得 ．
故选： ．
7．（2023•河南模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．【解答】解：集合 ， 或 ，
，
所以 ，所以 正确； 不正确；
或 ，所以 、 不正确；
故选： ．
8．（2022秋•阜南县校级月考）不等式 的解集为
A． ， ， B． ， ，
C． D． ，
【解答】解：不等式 化为 ， ，
故选： ．
二．多选题（共4小题）
9．（2022•杭州模拟）已知关于 的不等式 的解集为 ，且
，若 ， 是方程 的两个不等实根，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 ，所以 ，
故 错误；
因为将二次函数 的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函
数 的图像，所以 ，即 ， 正确；
如图，
又 ，所以 ， 正确；
当 ， 时， ， ，
所以 ， 错误．
故选： ．
10．（2022 秋•金安区校级期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
， ，则
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为 ，
【解答】解： 关于 的不等式 的解集为 ， ， ，
，
即 ， ；故选项 错误；
不等式 可化为 ，
故不等式 的解集为 ，
故选项 正确；
，
故选项 正确；
，
，
即 ，
的解集为 ，
故选项 错误；
故选： ．
11．（2022秋•李沧区校级期中）已知关于 的不等式 的解集是 或
，则下列说法正确的是
A．
B．不等式 的解集是
C．不等式 的解集是
D．
【解答】解：因为不等式 的解集是 或 ，
所以 和 是方程 的根且 ， 错误；
所以 ， ，
所以 ， ，不等式 可化为 ，解得 ， 正确；
不等式 可化为 ，即 ，
解得 ， 正确；
根据二次函数的性质可知，当 时， ， 正确．
故选： ．
12．（2022 秋•台江区校级期末）对于给定实数 ，关于 的一元二次不等式
的解集可能是
A． B． C． D．
【解答】解：关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，
当 时， ，故不等式的解集为 ，
当 时，
②若 ，则 ， 不等式解集为 ，
②若 ，则 ， 不等式的解集为 ， ， ，
③若 ，则 ， 不等式的解集为 ， ， ，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
13．（2022秋•崇明区期末）已知函数 在区间 ， 上是严格减函数，
则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解： ，对称轴为 ，
函数 在 ， 上是严格减函数，，
故实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
14．（2022秋•杨浦区校级期中）设 为常数，关于 的不等式 的解集中有且
仅有两个整数解，则实数 的取值范围为 ．
【解答】解： ，
，则 ，解得 ，
又 ，
解集中有且仅有两个整数解为1，2，
，解得 ，
故实数 的取值范围为 ，
故答案为： ．
15．（2022秋•青浦区校级月考）函数 在区间 ， 上的最大值为3，最小
值为2，则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为 的开口向上，对称轴 ，
又因为 ， ，
若函数在区间 ， 上的最大值为3，最小值为2，则 ．
故答案为： ， ．
16．（2022春•五华区校级月考）若点 在直线 的左上方，则 的取值范
围是 ．
【解答】解：由点 在直线 的左上方得： ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•城关区校级期末）已知 为二次函数，且满足：对称轴为 ，
（2） ， （3） ．
（1）求函数 的解析式，并求 图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出 的图象，并写出函数 的单调区间．【解答】解：（1）设函数为 ，
所以 解得 ，
所以 ，
所以 （1） ，所以顶点坐标为 ．
（2）图象如图所示，
函数的增区间为： ， ， ， ，函数的减区间为： ， ， ， ．
18．（2022秋•咸阳期末）设函数 ， ．
（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，即 ，
即 ，解得 或 ，所以当 时，不等式 的解集为 或 ．
（2）当 时， 的解集为 ，满足题意；
当 时，由 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ， ．
