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第 19 讲 直角三角形
目 录
题型01 利用直角三角形的性质求解
题型02 根据已知条件判定直角三角形
题型03 与直角三角形有关的面积计算
题型04 利用勾股定理求线段长
题型05 利用勾股定理求面积
题型06 已知两点坐标求两点距离
题型07 判断勾股数问题
题型08 勾股定理与网格问题
题型09 勾股定理与无理数
题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系
题型12 勾股定理的证明方法
题型13 以弦图为背景的计算题
题型14 利用勾股定理构造图形解决问题
题型15 利用勾股定理解决实际问题
题型16 勾股定理与规律探究问题
题型17 在网格中判定直角三角形
题型18 利用勾股定理逆定理求解
题型19 利用勾股定理解决实际生活问题
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题型 01 利用直角三角形的性质求解
1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，
BD=2，则BC的长为（ ）
A．√3 B．2√3 C．2 D．4
3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点，
AC=6,BD=8．则线段OH的长为：（ ）
12 5
A． B． C．3 D．5
5 2
4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的正半
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轴和x轴的正半轴上，当B在x轴的正半轴上运动时，A随之在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保
持不变．若∠OAB＝30°时，点A的纵坐标为2√3，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距离是
（ ）
A．2√5 B．2√2+2 C．2√2+4 D．2√3+4
题型 02 根据已知条件判定直角三角形
5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中
不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠B
C．∠A:∠B:∠C=1:5:6 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z满足(x−5) 2+√y−12+|z−13|=0，则以x，y，z的
值为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知 ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，
能判断 ABC是直角三角形的是（ ） △
①∠A＝△∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型 03 与直角三角形有关的面积计算
8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆心，
AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A．8√3−4π B．8√3−2π C．16√3−8π D．16√3−4π
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时
针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为
（ ）
1 9 2 3
A． B． C． D．
3 16 3 4
10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在 Rt△ABC 中， ∠B=90∘ ， ∠C=30∘ ，以点 A 为圆心，
任意长为半径作弧，分别交边 AB ， AC 于点 P ， Q ；再分别以点 P ， Q 为圆心，以大于
1
PQ 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 AE 交 BC 于点 F .设 △ABF ， △ABC 的面积分
2
S
别为 S ， S ，则 1 的值为（ ）
1 2 S
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 √3 4
11．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是2√6，则△ACD的面
积是（ ）
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A．4√2 B．6 C．4√3 D．6√2
题型 04 利用勾股定理求线段长
12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，
若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
3
13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA= ，则AB的
5
长是（ ）
500 503
A． B． C．60 D．80
3 5
14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选
择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC=1，
∠AOB=30°，则OA的值为（ ）
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3
A．√3 B． C．√2 D．1
2
题型 05 利用勾股定理求面积
15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程x2−7x+12=0
的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
3√7 3√7
A．6 B．12 C．12或 D．6或
2 2
16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，
∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度沿
直线向右运动，经过 s，此三角形和正方形重叠部分的面积是4cm2．
17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B作
BA⊥AC，过点D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面积．
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题型 06 已知两点坐标求两点距离
18．（2022·广东中山·校联考一模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 ．
19．（2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平
面内两点P（x，y）、P（x，y），其两点间的距离 ，同时，当两点所在
1 1 1 2 2 2 P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2 1 2
的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
2 1 2 1
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
题型 07 判断勾股数问题
20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股
修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜
边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，这类勾股数的特点是：
勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：
6，8，10；8，15，17； …，若此类勾股数的勾为10 ，则其弦是 ．
21．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n2−1，整式C>0．
(1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式A2−B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
22．（2019·安徽马鞍山·校联考二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一
组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股
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数”．
题型 08 勾股定理与网格问题
23．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
3√5 √17 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
24．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
√10 3√10
A． B．√10 C． D．3√10
2 2
题型 09 勾股定理与无理数
25．（2020·河南·模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，
原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的
长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
26．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自
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乘，并而开方除之，即弦” 即 （a为勾， 为股， 为弦），若“勾”为 ，“股”为 ，则
． c=√a2+b2 b c 2 3
“弦”最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形
AOBC，以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P 、P 两点，则点P 表示的数是 ，点P 表示的数是
1 2 1 2
（结果精确到0.1，参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73）．
题型 10 以直角三角形三边为边长的图形面积
28．（2020·浙江·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三
个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部分面积记为S ，黑色部分面积
1
记为S ，白色部分面积记为S ，则（ ）
2 3
A．S =S B．S =S C．S =S D．S =S − S
1 2 2 3 1 3 1 2 ❑ 3
29．（2019·内蒙古鄂尔多斯·校联考一模）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半
圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S＋S＝S 的图形有( )
1 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（2021·江苏无锡·校考二模）如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分别以AB、AC、BC为
边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、B△CIH，四块阴影部分的面积分别为S、S、S、S．则
1 2 3 4
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S+S+S+S 等于 ．
1 2 3 4
31．（2020·新疆·统考二模）图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都
是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3,则正方形A、B、C、D的面积之和为
．
题型 11 利用勾股定理证明线段的平方关系
32．（2021·广东深圳·明德学校校考一模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
33．（2022·山东济南·统考二模）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
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请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与
AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
34．（2022·河北廊坊·统考模拟预测）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∠AOB=∠MON=90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM≌△BON：
(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=M N2．
35．（2022·北京石景山·统考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上
一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作
FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
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(1)如图1，当AEEC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．
题型 12 勾股定理的证明方法
36．（2023·北京大兴·统考一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，
完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c．
求证：a2+b2=c2．
方法一
方法二
如图，大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为
c． 如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为
(b−a)．
证明
证明
37．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，
直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
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（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
a+b−c
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
2
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S ABC＝S AIB+S AIC+S BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
△ △ △ △
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
38．（2019·安徽滁州·校考二模）【思考题】
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形；
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提
出的命题是否正确，并填空：命题 （填“正确”或“不正确”），不要说嘛理由．
②若某三角形的三边长分别是2、4、√10，则 ABC是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”），不要
说嘛理由． △
（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=5√2、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt ABC是奇异三角形，求a：b：c
的值． △ △
题型 13 以弦图为背景的计算题
39．（2020·浙江杭州·模拟预测）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角
三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形
内，三块阴影区域面积分别记为S ,S ,S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG）的面积
1 2 3
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记为S ，则S ,S ,S ,S 的关系为（ ）
4 1 2 3 4
A．S +S =S +S B．S +S =S +S C．S +S +S =S D．S +S +S ∠DAC B．∠BAC<∠DAC C．∠BAC=∠DAC D．无法确定
54．（2022·安徽黄山·统考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方
形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正弦值为（ ）
√5 √2 1 2√5
A． B． C． D．
5 2 2 5
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55．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格
∠ADC
点上，D是AB与网格线的交点，则sin 的值是 ．
2
题型 18 利用勾股定理逆定理求解
56．（2019·湖南益阳·统考一模）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，
AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(
)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
57．（2020·河北·校联考二模）如图，已知点E是△ABC的外心，点P、Q分别是AB、AC的中点，连接
EP、EQ分别交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则ΔABC的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
58．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考二模）如图， ABC中，AC=√2，BC=4，AB=3√2，点D是AB
的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 △ ．
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59．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=10，BD=6，CD=8，将
△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，则图中阴影部分的面积为 ．
题型 19 利用勾股定理解决实际生活问题
60．（2022·江西赣州·统考一模）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：
“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲
的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”
是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为 平方丈．
61．（2021·湖南岳阳·校联考二模）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这
样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这
道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的
“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺．）则该沙田的面积为 平方丈．
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过
点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
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√3
A．2√3+2 B．5− C．3−√3 D．√3+1
3
2．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为
CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为（ ）
A．2√2 B．3 C．2√3 D．4
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B'恰好落
在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．（2023·河北·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB=4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正
方形AMEF，若S ❑ =16，则S =（ ）
正方形 AMEF △ABC
A．4√3 B．8√3 C．12 D．16
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5．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动
化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长
为12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
6．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线
AC同侧，AB√a2+b2 √2(a+b)>c
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代
数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间
一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE．设∠BAF=α,∠BEF=β，
若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β，则n=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1
