文档内容
思想 03 运用函数与方程的思想方法解题
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：运用函数的思想研究问题 7
题型二： 运用方程的思想研究问题 8
题型三：运用函数与方程的思想研究不等式问题 10
题型四：运用函数与方程的思想研究其他问题 12高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分
布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方
程问题．例如，方程 解的个数可以转化为函数 的图象与 轴交点的个数，也可以参变分离，
转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构
造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），
进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切
线问题时，设出切点横坐标 ，得到切线斜率 ，切线方程为 ， 从而
将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标 的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有
解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等
式问题．例如，不等式 或 恒成立，可以转化为 或 ．也可以考虑参变
分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都
有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函
数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持
不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问
题获得解决．1．（2024年北京高考数学真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
2．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．题型一：运用函数的思想研究问题
【典例1-1】已知函数 .
(1)判断 的零点个数；
(2)求曲线 与曲线 公切线的条数.
【典例1-2】若 的定义域为 ，数列 满足 ，则称 为 的“
倍点列”.
(1)若 为 的“2倍点列”，求 的前 项和 ；
(2)若 为 的“1倍点列”且 ，求证： 为定值；
(3)若 ，判断是否存在 ，使得 为 的“ 倍点列”，并证明你的
结论.
【变式1-1】已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；（2）记 ，若函数 与 的图象有三个不同交点，求实数 的取值范围.
【变式1-2】已知函数 .
（1）若函数 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值.
（2）若函数 存在两个极值点，求实数 的取值范围.
1．已知函数 .
（1）若 ，试判断 的符号；
（2）讨论 的零点的个数.
2．已知函数 其中 .
（1）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；
（2）若函数 在 上存在最大值和最小值，求a的取值范围.题型二： 运用方程的思想研究问题
【典例2-1】已知函数 ， ，其中
求函数 的单调区间；
若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明
；
证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线．
【典例2-2】已知函数 在点 处的切线方程为
求函数 的解析式；
若 ，且过点 可作曲线 的三条切线，求实数m的取值范围．
【变式2-1】已知函数 和 有相同的最大值．
求实数a；设 直 线 与 两 条 曲 线 和 共 有 四 个 不 同 的 交 点 ， 其 横 坐 标 分 别 为
，证明：
【变式2-2】已知函数
Ⅰ 若 在 ， 处导数相等，证明： ；
Ⅱ 若 ，证明：对于任意 ，直线 与曲线 有唯一公共点．
1．已知函数
当 时，若直线 与曲线 相切，求b；
若直线 与曲线 恰有两个公共点，求
题型三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【典例3-1】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ 数列”．已知等比数列 满足： ， ，求证：数列 为“ 数列”；
已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项和．
①求数列 的通项公式；
②设m为正整数，若存在“ 数列” ，对任意正整数k，当 时，都有 成立，
求m的最大值．
【典例3-2】设函数
求 的单调区间；
已知a， ，曲线 上不同的三点 ， ， 处的切线都经过点
证明：
若 ，则
若 ， ，则
注： 是自然对数的底数
【变式3-1】已知 ，函数
若 ，证明：当 时，若函数 存在极小值点 证明：
【变式3-2】已知函数
若 ，求 极值；
求函数 的单调区间；
若函数 有两个极值点 ， ，求证：
1．已知函数
讨论函数 零点个数；
若 恒成立，求a的取值范围．
2．已知函数
当 时，求函数 的单调区间；若 有3个零点 ， ， ，其中
求实数a的取值范围；
求证：
题型四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【典例4-1】设双曲线 的左、右焦点分别为 是 上一点，且
．若 的面积为16，则 的离心率为 ．
【典例4-2】等差数列 中， 为 的前n项和， ，若不等式 ，对任意的
恒成立，则实数k的取值范围为 .
【变式4-1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且所在的平面互相
垂直.可以滚动的弹珠M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹珠N的速度是弹珠M的
速度的3倍，且当弹珠N移动到B处时试验终止，则弹珠M，N间的最短距离是 .
【变式4-2】如图，在正方体 中，过 的平面分别交棱 于点 .给出下列四个
结论：①四边形 一定是平行四边形；
②四边形 可能是正方形；
③四边形 为菱形时，其面积最小；
④四边形 为矩形时，其面积最大.
其中所有正确结论的序号是 .
1．已知双曲线 ： 和椭圆 ： .过点 的动直线 交 于A，B两点，过点Р的
动直线 交 于M，N两点，若四条直线 的斜率之和为定值，则定点Q为
.
2．设椭圆 的上顶点为 ，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ， 两点，则直线
过定点 ．
