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专题02 首届新高考-数列大题综合（首届新高考江西、广西、
贵州、甘肃专用）
一、解答题
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列 中，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，已知 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求m的值．
3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)议 ，当 取得最小值时，求n的取值．
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 为等差数列， 是公比为正数的等比
数列，
(1)求 和 的通项公式;(2)设 满足 ，记 的前 项和为 ，求 .
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设 是公比不为 的等比数列， ， 为 ，
的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列 前 项和为
，数列 前 项积为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列 和等差数
列 中， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ， ，记数列 的前 项积为 ，证明： ．
9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，等差数列 中， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ， ，求数列 的前n项和 ．
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）数列 中， ，
，记 ．
(1)求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和 ；
(3)记 ，求 的最大值与最小值．
11．（2023·云南保山·统考二模）已知 是数列 的前n项和， ，______.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前3项和为6.从以上
两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前6项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，且
，当 时， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式．13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.
14．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列 的前 项和 满足 ，
且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 的通项公式与前 项和
.
15．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列 ， 满足：
， ， ， ．
(1)若 是等比数列，求 的前n项和 ．
(2)若 是等比数列，则 是否为等比数列？请阐述你的观点，并说明理由．
16．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为
是 与 的等差中项；数列 中 .
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)若 ，证明： ；(3)设 ，求 .
17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列 满足 ，且
.
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数n.
18．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列 的前 项和为 ，
.
(1)求证：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
从① 和② 这两个条件中任意选择
一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，
．
(1)计算： ，猜想数列 的通项公式，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求k的取值范围．
20．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左
到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数．
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，是否存在实数 ，使 恒成立，若存在，求出
的所有值，若不存在，请说明理由．
21．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知正项数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前2023项的和.
22．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列 的首项为 ，
公比为 （ 为正整数），且满足 是 与 的等差中项；数列 满足
（ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数
列 .设 是数列 的前 项和，试求 .
23．（2023·广东深圳·校考二模）已知 是等差数列， ， ，且 ， ，
成等比数列.(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 ，求 .
24．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）记 为数列 的前 项和，
已知 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
25．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列 的
前 项和分别为： ，且满足： ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项的和 .
26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
且满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .
27．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知各项均不为零的数列 满足 ，其前
n项和记为 ，且 ， ， ，数列 满足 ， ．
(1)求 ， ， ；(2)求数列 的前n项和 ．
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量 ，
，记 ，
(1)对于 ，不等式 （其中m， ）恒成立，求 的最大值．
(2)若 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，a，b，c成等比数
列，求 的值．
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期
内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细
胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新 细胞的概率为 ；
新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，
在第一个周期 中开始分裂，其中 .
(1)设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；
（ii）证明： .
30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知Q： , ,…, 为
有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的 ,在Q中存在 , , ,…,
,使得 ,则称Q为m 连续可表数列.(1)判断 是否为7 连续可表数列？是否为8 连续可表数列？说明理由；
(2)若Q： , ,…, 为8 连续可表数列,求证：k的最小值为4.
