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专题03 首届新高考-立体几何大题综合（首届新高考江西、
广西、贵州、甘肃专用）
一、解答题
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知四棱锥 中，
侧面 为等边三角形，底面 为直角梯形， ， ，
， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台 中，
， ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 是 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值．
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面
ABC， 平面ABC， 和 均为正三角形， ，点M为线
段CD上一点．(1)求证： ；
(2)若EM与平面ACD所成角为 ，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥 中，底面 为矩形，
， ，平面 与平面 的交线为 .
(1)求证：直线 平行于平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图1，在平行四边形 中，
， ， 为 的中点， ， ，沿
将 翻折到 的位置，如图2， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 的夹角.
6．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，
EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成(1)若BC=1，求证:BC∥平面ADE.
(2)半圆AB上是否存在点M，使得二面角 是直二面角?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边
形．如图，四边形 为筝形，其对角线交点为 ，将
沿 折到 的位置，形成三棱锥 ．
(1)求 到平面 的距离；
(2)当 时，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值
为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示的几何体是圆柱的一部
分，它是由矩形 （及其内部）以边 所在直线为旋转轴旋转 得到的， 是
的中点．(1)设 是 上的一点，且 ，求 的大小；
(2)当 ， 时，求二面角 的余弦值．
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中 ，
， ， ．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形 沿 翻折，形成几何体 ．若
无论二面角 多大，都能够使得几何体 为棱台，请指出点F的
具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角 为直二面角，求棱台 的体积，
并求出此时二面角 的余弦值．
10．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，斜四棱柱 的底面 为
等腰梯形，且 ，点 在底面的射影点 在四边形 内部，且
.
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.11．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱 中，等腰梯形 为底面圆 的内接
四边形，且 ，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆柱的一条母线，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ， ，试确定 的值，使得直线 与平面 所成角的正弦值
为 .
12．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中， ，
，四边形 为平行四边形，对角线 和 相交于点H，平面 ⊥
平面 ， ， ，G是线段 上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明： 平面 ；
(2)若 ，且直线 与平面 成 角，求二面角 的
正弦值．
13．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）如图，在四棱锥
中， ， ， ， 为 中点.(1)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由；
(2)若 平面 ， ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
14．（2023·广东广州·广州六中校考三模）四棱锥 中， ，
， ， ， ，点 是棱 上靠近点
的三等分点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积．
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图， 且 ，
， 且 ， 且 . 平面 ，
.
(1)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(2)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长.
16．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形 中， 、 、 分别是 、
、 边上的点，满足 ： ： ： ： 如图 将 沿折起到 的位置，使二面角 成直二面角，连结 如图
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的大小．
17．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，已知在平面四边形 中， ，
， ，现将 沿 翻折到 的位置，使得 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)点 在线段 上，当二面角 的大小为 时，确定 点的位置.
18．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台ABC—
中， ，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的大小是 ，求侧面 与底面 所成二面角的正弦值.19．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知 为圆锥的顶点， 为底
面的圆心，其母线长为6，边长为 的等边 内接于圆锥底面， 且
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 中点，射线 与底面圆周交于点 ，当二面角 的余弦值为
时，求点 到平面 的距离.
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体
中，P为线段 上动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当直线BP与平面 所成的角正弦值为 时，求点D到平面 的距离．
21．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个
圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点
到直线 的距离.
22．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱
中各条棱长均为2，点 分别为棱 的中点．
(1)求异面直线 和 所成角的正切值；
(2)求点 到平面 的距离．
23．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，正 是圆柱底面圆 的内接三角形，其
边长为 . 是圆 的直径， 是圆柱的母线， 是 与 的交点，圆柱的轴截
面是正方形.(1)记圆柱的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，求 ；
(2)设 是线段 上一点，且 ，求二面角 的余弦值.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在长方体 中，
，点P为棱 上任意一点.
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若点E为棱 上靠近点C的三等分点，求点P在棱 上什么位置时，平面
与平面 夹角的余弦值为 .
25．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是圆 的直径，点
是圆 上异于 的点，直线 平面 分别是 的中点．
(1)记平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)设（1）中的直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足 ．记直线
与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小
为 ，求证： ．26．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）如图，圆锥 中， 为底面圆 的直径，
， 为底面圆 的内接正三角形，圆锥的高 ，点 为线段 上
一个动点.
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)当 点在什么位置时，直线PE和平面 所成角的正弦值最大.
27．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边 的边长为 ， 是 边
上的高， ， 分别是 ， 边的中点．现将 沿 折叠，如图2所示.
(1)证明： ；
(2)折叠后若 ，求二面角 的余弦值.
28．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，在 中， ，
为 边上一动点， 交 于点 ，现将 沿 翻折至 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且 ，线段 上是否存在一点 （不包括端点），使得锐二面角 的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理
由.
29．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图， 是等腰直角三角形， ，
四边形 是直角梯形， ， ，且 ，平面
平面 ．
(1)求证： ；
(2)若点E是线段 上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥 的体积为 ?
30．（2023·浙江温州·统考二模）已知三棱锥 中， 是边长为3的正三
△
角形， 与平面 所成角的余弦值为 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
