文档内容
第四章 《因式分解》导学案
4.3公式法（完全平方公式）
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学习目标与重难点
学习目标：
1、使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数
是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或
完全平方公式进行分解因式．
2、经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向
思维和推理能力。
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
学习重点：
掌握完全平方公式的特点，利用公式进行因式分解。
学习难点：
学会观察多项式的特点，合理变形恰当地进行分解因式。
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预习自测
一、知识链接
1. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式。
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
①.提公因式法；②.平方差公式
【提取公因式】
二、自学自测
把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法：
3a(y-2)-2b(2-y)
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教学过程
一、问题引入
除了平方差公式外，还学过了哪些公式？你是如何记住这个公式的：【首平方，尾平方。积的2倍写中央】
二、合作交流、新知探究
1、完全平方公式
(a±b) 2 =a2 ±2ab+b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 ±2ab+b2 =（a±b) 2
即两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这两数和（或差）的平方．
2、完全平方公式的几何意义
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
用完全平方分解因式 =
3、下列各式是不是完全平方式？
（1）a －4a+4; （ ） （2）1+4a²; （ ） （3）4b +4b-1;
（ ） （4）a +ab+b ; （ ） （5）x +x+0.25.（ ）
小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①
项数；②每一项特点；③符号.）
【强调】：判断一个多项式是不是完全平方式的方法
①多项式为三项式；
②首末项是平方且符号相同；
③中间项是乘积2倍，符号正负均可；
④a和b可以表示数、单项式或多项式.
4. 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(1) x + +y . (2)4a +9b + . （3）x - +4y
(4)a + + b （5）x +2x y+ .
5、典例精析例1 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2 +14x+49
(2)(m+n) 2 −6(m+n)+9
解：(1)原式=x2 +2⋅x⋅7+72
解：(2)原式=(m+n) 2 −2⋅(m+n)⋅3+32
这里把（m+n）看作整体！
例2 把下列各式因式分解： (2)−x2 −4 y2 +4xy
(1)3ax2 +6axy+3ay2
=3a(x+y) 2 解：(1)原式=3a(x2 +2xy解+y2 :（) 2）原式=−(x2 −4xy+4 y2 )
=−[x2 −2⋅x⋅(2y)+(2y) 2 ]
=−(x−2y) 2
先提取公因式再用完全平方式
注意符号
【强调】：因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a －6a+4; （2）1+4a²+2x; （3）4b +4b+1;
（4）a +ab+b ; （5）x +2x+0.25.
2. 如果x -6x+n是一个完全平方式,那么n是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
3.如果x -mx+16是一个完全平方式,那么m的值为 。4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a ＋1 B．a －6a＋9 C．x ＋5y D．x －5y
5.把多项式4x y－4xy －x 分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x B．－x(x－2y)
C．x(4xy－4y －x ) D．－x(－4xy＋4y ＋x )
6.因式分解：
(1)－3a x ＋24a x－48a ； (2)(a ＋4) －16a .
7.计算：（1）38.9 －2×38.9×48.9＋48.9 . （2）
能力提升：
8.若x -5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1) +1的值.
9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x －z 的值.
智慧数（课本121页）
拓展迁移
10. 已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b 的值；11.已知ab＝2，a＋b＝5，求a b＋2a b ＋ab 的值．
四、总结反思、拓展升华
1、因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
2、数学思想：
数形结合；整体思想；
3、方法：
类比、观察、小组交流
五、【作业布置】
基础达标：
1.判断下列各式正误：
（1）x²+y²=（x+y)² ( ) （2）x²–y²= (x–y)² ( )
（3）x²–2xy+y²= (x–y)² ( ) （4）–x²–2xy–y²=–（x+y)² ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）m²–12mn+36n² （2）16a²+24ab+9b²
（3）–2xy–x²–y² （4）(a+b)²+10(a+b)+25
3.若m＝2n＋1，则m －4mn＋4n 的值是 ．
4.若关于x的多项式x －8x＋m 是完全平方式，则m的值为 ．
5.因式分解x －9y 的正确结果是( )A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)
6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2 C.(x2-3)2-2(3-x2)+1 D.x2-xy+12y2
能力提升：
7.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( )
A.0 B.1 C.5 D.12
8.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( )
A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
9. 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a ＋2b ＋c －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，
并说明理由．
拓展迁移：
10. 已知x －4x＋y －10y＋29＝0，求x y ＋2xy＋1的值．课堂作业参考答案
1、（1）不是，6改4或4改9；（2）不是，4改1或2改4
（3）是 （4）不是，ab改2ab
（5）不是.2改1或0.25改1。
2、B
3、±8
4、B
5、B
6、
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝－3a2(x－4)2；
＝(a＋2)2(a－2)2.
7、解：(1)原式＝(38.9－48.9) =100 解：（2）原式
8、解：原式=2x -3x+1-(x +2x+1)+1
=x -5x+1
=3+1
=4.
9、解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.
又∵x＋z=4，
∴原式=(x＋z)(x－z)=16.
智慧数（课本121）
3、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17……都是智慧数，发现每4个数字为一组，除1、2、3、4
只有一个智慧数，其他每组数字都有 3个智慧数，1000个智慧数中除第一组一个智慧数外，还需999个即需要 333组，加上第一组共需要 334组数字，而334×4=1336，所以第 1000个智慧数是
1336。
10、解：原式＝a －2ab＋b ＝(a－b) .
当a－b＝3时，原式＝3 ＝9.
11、解：原式＝ab(a ＋2ab＋b )＝ab(a＋b) .
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×5 ＝50.
课外作业参考答案
1、
（1）×、（2）×、（3）√、（4）√
2、（1）m²–12mn+36n² （2）16a²+24ab+9b²
=m²-2·mn·6 +(6n)² =(4a)²+2·4ab·3+(3b)²
=(m-6n)² =(4a+3b)²
（3）–2xy–x²–y² （4）(a+b)²+10(a+b)+25
=–(x²+2xy+y²) =(a+b)²+2·(a+b)·5+5²
=–(x+y)² =(a+b+5)²
3、1
4、±4
5、B
6、D7、C
8、
D
9、
10、
