文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计
4.3公式法（完全平方）
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 用完全平方公式分解因式 课时 1
能识别一个多项式是否符合完全平方公式的特点，理解公式结构，掌握变形技巧，并熟练地运
课标 用完全平方公式进行因式分解。
要求
教材 学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行
分析 因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及
今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
学情 学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就
分析 是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生
已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。
学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式
与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解
彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
1、使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式
（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平
方差公式或完全平方公式进行分解因式．
核心
素养 2、经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生
目标 的逆向思维和推理能力。
3、培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地
位和价值。
教学 掌握完全平方公式的特点，利用公式进行因式分解。
重点
教学 学会观察多项式的特点，合理变形恰当地进行分解因式。
难点
教学
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形 回顾旧知，并 回顾旧知，为新
式。
完成两道因式 授奠基。
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
分解。
①.提公因式法；②.平方差公式
3.把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的
方法：
【利用平方差公式进行因式分解】
【利用平方差公式进行因式分解】
3a(y-2)-2b(2-y)=(y-2)(3a+2b)【提取公因式】
二、引新 除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 用字母表示完 引入完全平方公
全平方公式， 式，为新授奠基
并熟悉记忆诀
窍。
【首平方，尾平方。积的2倍写中央】
三、探究 1、完全平方公式： 1、分析完全 渗透数形结合思
平方公式的结 想、通过小组合作
现在我们把完全平方公式反过来，可得： 构特点， 交流，理解判断一
2、判断多项 个多项式是不是完
式是否是完全 全平方的方法，加
两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这
两数和（或差）的平方． 平方，并交流 深学生对完全平方
2、完全平方公式的几何意义 合作总结判断 式特征的理解，为
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的 方法。 后面的分解因式做
图形的面积吗？
3、补 上 一 能力铺垫．
项，使多项式
成为完全平方
式。
用完全平方分解因式 =
a a a a a a
b
3、下列² 各式是不b是完全平b方式？ b
a b b b²
（1）a －4a+4; 【是】 （2）1+4a²; 【不
是】
（3）4b +4b-1; 【不是】 （4）a +ab+b ; 【不
是】
（5）x +x+0.25.【是】
小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？
请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；
②每一项特点；③符号.）
小结：判断一个多项式是不是完全平方式的方法
①多项式为三项式；
②首末项是平方且符号相同；
③中间项是乘积2倍，符号正负均可；
④a和b可以表示数、单项式或多项式.
4. 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(1) x + 2x y +y . (2)4a +9b + 12a b .
（3）x - 2x y +4y (4)a + a b + b
（5）x +2x y+ y .四、变式 例1 把下列完全平方式因式分解： 1、自学例题 培养学生对平方差
1、2。 公式的应用能力,
2、小结因式 让学生理解在完全
分解的步骤。 平方公式中的a与
b不仅可以表示单
项式，也可以表示
多项式．在运用整
体法时，注意去括
这 里 把 （ m+n ） 看 作 整
号后的符号变化和
体！
系数变化。
例2 把下列各式因式分解：
小结：因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
五、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
1.下列各式是不是完全平方式？ 练习 堂练习的完成过程
（1）a －6a+4; 【不是，6改4或4改9】 中对要点知识加深
（2）1+4a²+2x;【不是，4改1或2改4】 巩固，有效应用。
（3）4b +4b+1; 【是】
（4）a +ab+b ;【不是，ab改2ab】
（5）x +2x+0.25. 【不是.2改1或0.25改1】
2. 如果x -6x+n是一个完全平方式,那么n是( B
)
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
3.如果x -mx+16是一个完全平方式,那么m的值为
± 8 .
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a ＋1 B．a －6a＋9
C．x ＋5y D．x －5y
5.把多项式4x y－4xy －x 分解因式的结果是(B )
A．4xy(x－y)－x B．－x(x－2y)
C．x(4xy－4y －x ) D．－x(－4xy＋4y ＋x
)
6.因式分解：
(1)－3a x ＋24a x－48a ；
(2)(a ＋4) －16a .
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
7.计算：（1）38.9 －2×38.9×48.9＋48.9 .
（2）
解：(1)原式＝(38.9－48.9) =100
解：（2）原式
能力提升：
8.若x -5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1) +1的值.
解：原式=2x -3x+1-(x +2x+1)+1
=x -5x+1
=3+1
=4.
9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x －z 的值.
解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.
又∵x＋z=4，
∴原式=(x＋z)(x－z)=16.
智慧数（课本121页）
3、5、7、8、9、11、12、13、15、16、17……都是智
慧数，发现每4个数字为一组，除1、2、3、4只有一
个智慧数，其他每组数字都有3个智慧数，1000个智
慧数中除第一组一个智慧数外，还需999个即需要333组，加上第一组共需要334组数字，而334×4=1336，
所以第1000个智慧数是1336。
拓展迁移
10.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b 的值；
解：原式＝a －2ab＋b ＝(a－b) .
当a－b＝3时，原式＝3 ＝9.
11.已知ab＝2，a＋b＝5，求a b＋2a b ＋ab 的
值．
解：原式＝ab(a ＋2ab＋b )＝ab(a＋b) .
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×5 ＝50.
六、提升 1、因式分解的步骤： 引导学生进行 引导学生从知识内
一提：有公因式先提公因式 课堂总结 容、研究方法以及
二套：套用公式 运用过程三个方面
三检查：检查因式分解结果是否彻底 总结自己的收获，
2、数学思想： 让学生全面把握本
数形结合；整体思想； 节课的重点和难
3、方法： 点，并启发学生用
类比或迁移的方法
类比、观察、小组交流
学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、
符号、图表等呈现
本节课的新知，可
以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1.判断下列各式正误：
习） （1）x²+y²=（x+y)² ( × ) （2）x²–y²= (x–y)² ( × )
（3）x²–2xy+y²= (x–y)² ( ü ) （4）–x²–2xy–y²=–（x+y)² ( ü )
2、把下列各式因式分解：（1）m²–12mn+36n² （2）16a²+24ab+9b²
=m²-2·mn·6 +(6n)² =(4a)²+2·4ab·3+(3b)²
=(m-6n)² =(4a+3b)²
（3）–2xy–x²–y² （4）(a+b)²+10(a+b)+25
=–(x²+2xy+y²) =(a+b)²+2·(a+b)·5+5²
=–(x+y)² =(a+b+5)²
3.若m＝2n＋1，则m －4mn＋4n 的值是 1 ．
4.若关于x的多项式x －8x＋m 是完全平方式，则m的值为 ± 4 ．
5.因式分解x －9y 的正确结果是( B )
A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)
6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( D )
A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2 C.(x2-3)2-2(3-x2)+1 D.x2-xy+12y2
能力提升：
7.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( C )
A.0 B.1 C.5 D.12
8.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( D )
A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
9. 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a ＋2b ＋c －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC
的形状，并说明理由．
拓展迁移：
10. 已知x －4x＋y －10y＋29＝0，求x y ＋2xy＋1的值．教学反思
