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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 11 导数中的不等式证明问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、不等式的证明
证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函
数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x
（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞
1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为
左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都
不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处
f(x) >g(x) 恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
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【常用结论】
1.破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换
元，如下列形式 等常见形式
2.常见不等式（大题使用需要证明）
① ， ， ，
② ， ； ；③ ； ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ； ； ，
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明
【解析】（1） 的定义域为（0，＋∞），
当 ，则当x∈（0，＋∞）时， ，故 在（0，＋∞）上单调递增.
当 ，则当x∈ 时，f′（x）＞0；当x∈ 时，f′（x）＜0.
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－取得最大值，最大值为 ＝
.
所以 等价于 ，即 .设g（x）＝ln x－x
＋1，则g′（x）＝－1.当x∈（0,1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）＜0.所以g（x）在（0,
1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.故当x＝1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）＝0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时， ，即 .
【典例2】 求证：当 时，
【详解】证明：当 时，欲证 ，只需证
，即证 ，令 ，
，令 ，解得 ，易得 在 上递减，在 上递增，
， ，令 ，解得 ，易得 在 上递增，在
上递减， ，故 ，所以当 时，
【典例3】已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 、 为函数 的两个极值点，证明： ．
【（1）详解】 ， ．
令 ，则 ， 的对称轴为 ，△ ．
① 时， ，函数 在 上单调递增；②当 时，△ ，可得 ， ，函数 在 上单调递增；
③当 时，△ ，由 ，解得 ， ．
所以在 ， ， 上， ， ，函数 是增函数；
在 ， ， ， ，函数 是减函数．
综上可得，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 ， ， 上单调递增，
在 ， 上单调递减．
【（2）详解】证明： 有两个极值点 ， ，由（1）知 ， ，
所以 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
因为 ，所以 ，所以即证 ，即证 ， ，
令 ， ，因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，所以 （1） ，所以 恒成立，得证．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
2．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
3．（2020·浙江·统考高考真题）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·北京密云·统考三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： .
2．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的零点个数；
(2)当 且 时，记 ，探究 与1的大小关系，并说明理由.
3．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时， .
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2) ，若函数 有两个零点 ，且 ，求证： .5．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)判断 的导函数在 上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当 时， .
注： .
6．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
7．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 存在两个零点 ，且曲线 在 和 处的切线交于点 .
①求实数 的取值范围；
②证明： .
8．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当 时，证明： ， ．
9．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 ， 是方程 的两根， ，证明： ．
10．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数 ，
(1)试判断函数 在 上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，
说明理由.
(2)设 ，若 ，证明：不等式 在 上恒成立.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)若 有两个零点，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
12．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)试问曲线 是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)证明： ．（参考数据： ）
