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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 讲 不等式及其性质（精讲）
①不等式性质的简单应用
②比较数（式）的大小
③利用不等式的性质求代数式的取值范围
④不等式的综合问题
一、必备知识整合
1.比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b b
或
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b b
或
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法.
二、考点分类精讲
【题型一 不等式性质的简单应用】
应用不等式性质解决问题的一般思路
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】（单选题）（2023·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当 ， ， 时满足 ，但 ，所以A错误；
对于B，当 ， ， 时，满足 ，但 ，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知 ，当 ， ， 时满足 ， ，但 ，
所以C错误；
对于D， ，所以 ，故D正确．
故选：D．
一、单选题
1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.
【详解】对于选项A：当 时，若 ，由不等式性质可知 ，故选项A 错误；
对于选项B：由不等式性质可知若 ，则 成立，故选项B正确；
对于选项C：当 时，若 ，由不等式性质可知 ，故选项C错误；
对于选项D：当 时， ，故选项D错误.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【详解】 ，即 ，故选项A正确；
当 时，满足 ，但 ，此时 ， ，故选项B，C错误；
当 时，由 可得 ，故选项D错误.故选:A．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若 ，则 ，故错误；
对B：若 ，则 ，故错误；
对C：若 ，则 ， ，左右同除 ，有 ，故错误；
对D：由 且 ， 为非零实数，则 ，即 ，故正确.
故选：D.
4．（2024·陕西西安·一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当 ，满足 ，但 不成立，
当 时，满足 ，但 不成立，故A错误；
对于B，当 时， ，但 ，故B正确；
对于C， 时， ，但 不成立，
时， ，但 不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数 在 上单调递增，故 ，故D错误.
故选：B5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知 且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于选项A,B利用作差法即可判断；对于选项C,D利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.
【详解】对于选项A：因为 ，所以 ，
由 ，故 ，选项A错误；
对于选项B：因为 ，所以 ，
由 ，故 ，选项B错误；
对于选项C：由指数函数可知 ，在定义域上单调性不确定，故无法确定 的大小，
比如当 时，则 ，选项C错误；
对于选项D：由幂函数可知 ，在定义域上单调递增，且 ，所以 ，选项D正确.
故选：D.
【题型二 比较数（式）的大小】
比较两个数或代数式的大小的四种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采
用特殊值法比较．
(4)中间值法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式
比较大小，一般选取 1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取 0和1作为
中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝log x的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
a
【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R， ，
，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
【答案】B
【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答.
【详解】 ，
所以 .
故选：B.
【典例2】（单选题）（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先得 ，进一步 ，从
而我们只需要比较 的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】 ，所以 ，，
又因为 ，
所以 ，即 .
故选：B.
【典例3】（单选题）（23-24高一下·福建·期中）三个数 ， ， 的大小顺序是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的性质，即可比较大小.
【详解】 ， ， ，
所以 最大，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
即 .
故选：B
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）设互不相等的三个实数 满足
，则 的大小关系是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.
【详解】由 ，得 ，
于是 ，即 ，
而 ，且三个实数 互不相等，因此 ，
所以 的大小关系是 .
故选：D
2．（2023高三·全国·专题练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质分析判断即可.
【详解】因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，则 .
故选：C．
3．（2023·四川资阳·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四次方后可比较 ，用 即可比较
【详解】
故
，而 ，
所以 ，综上， .
故选：B
4．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为 ，所以 .
，
因为 ，
且 ，所以 ，所以 ，所以 .故 .
故选： A
5．（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；
利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B结论正确；
对于C，因为 ，所以 ，而函数 为减函数，所以 ，故C结论正确；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.
6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）设 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据换底公式将 变形利用不等式性质比较 的大小，再根据中间量比较的解.
【详解】 ， ，
又 ， ， ，
，即 ，
又 ， ， ，
所以 .
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断 范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.
【详解】因为函数 在R上单调递增，所以 ．
又 ，所以 ．
因为 ，故 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以实数 的大小关系为 ，
故选：B．
8．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用作商法，根据指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】解： 是正实数，且 ， ，
由 ，得 ，
， ，
， ， ，
，即 ，
综上可知， ，
故选：C.
【题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围】
利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条
件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂
函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利
用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】（单选题）（22-23高一上·四川眉山·期末）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质得到 的范围，再和 的范围相加即可.
【详解】 ,
，又 ，
故选：C
【典例2】（单选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）已知 ， ，则 的范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先用 和 表示 ，再根据条件的范围，求解 的范围.
【详解】设 ，得 ，解得： ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所有 的范围是 .
故选：C
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为 ,所以 ,
由 ,得 ,
故选：A
2．（2023·陕西·模拟预测）已知 ，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为 ，所以 ，
对于A， ， , ,
综上可得 ，故A正确；对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，当 时， ，故D错误；
故选：D.
3．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用不等式性质求目标式范围.
【详解】由题设 ，则 ，又 ，所以 .
故选：C
4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知 ， ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，结合不等式的性质求解即可.
【详解】由题意 ， ，故 ，
即 .
故选：D
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】运用不等式的性质即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 .即 的取值范围为 .
故答案为： .
6．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
因为 所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是
答案： ,
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知 ，则 的取值范围是 .【答案】
【分析】 ，根据 求出 的取值范围.
【详解】因 ，而 ，
则 ，即 ，
即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
9．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】先得到 ，并根据 得到 ，从而求出 .
【详解】因为 ，故 ，
由 得 ，解得 ，
故 .故答案为：
【题型四 不等式的综合问题】
【典例1】（单选题）（2023·四川南充·一模）已知： ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由 ， ，得到 ，再由 ，得到
，然后逐项判断.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
则 ，故A正确；
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，故B正确：
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，故D错误；
故选：D
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为 ，所以由 得 ，故由 能推出 ；
反之，当 时，满足 ，但是 ；
所以 是 的充分不必要条件.故选：A.
2．（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；
利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B结论正确；
对于C，因为 ，所以 ，
而函数 为减函数，所以 ，故C结论正确；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 ， ， 满足， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意进行转化 ，利用完全平方式的性质即可得
解.【详解】由 可得：
，
当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
4．（2024高三下·全国·专题练习）记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是
正实数， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，所以 ，即 ，解不等式即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
故选：A
5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性和对数的换底公式逐项判断即可.
【详解】对于A， ， ，且
，A错误；对于B， ，
， ，
即 ，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D， ，
，
即 ，故D错误.
故选：B
二、多选题
6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知 ，则以下不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断A，由 即可判断B，利用特殊值判断C，由
，再利用基本不等式判断D.
【详解】当 ，所以 ，则 ，
当 时可得 ，所以 ，则 ，
当 时 ， ，所以 ，
综上可得 ，故A正确；
因为 ，即 ，故B正确；
取 、 满足 ，但是 ，故C错误；因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确.
故选：ABD
7．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】 且 ，则 ， ，
则 ，A正确；
因为 ， ，所以 ，B错误；
因为 ， ， ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，当 时，
，则 ，故C错误；
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，此时由 可得 ，不符合 ，
所以 不成立，故 ，即 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
8．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，求 的取值范围为 .【答案】
【分析】先利用待定系数法得到 ，再利用不等式的性质即可得解.
【详解】设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
则 的取值范围为 ．
故答案为： .
9．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数 、 、 满足 ， ，
， 所以
同理：有 得到 ，所以
两式相加：
即又 ,即
即 ．
故答案为：
10．（2024高三·全国·专题练习） 表示三个数中的最大值，对任意的正实数 ， ，则
的最小值是 ．
【答案】2
【分析】设 ，因 ，可得 ，借助于基本不等式可得
，验证等号成立的条件 ，即得 .
【详解】设 ，则 ， ， ，
因 ，则得 ．又因 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故 的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据 的含义，设出 ，
即得 ，将问题转化为求 的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需
验证等号成立的条件.
