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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 讲 不等式及其性质（精讲）
①不等式性质的简单应用
②比较数（式）的大小
③利用不等式的性质求代数式的取值范围
④不等式的综合问题
一、必备知识整合
1.比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b b
或
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b b
或
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法.
二、考点分类精讲
【题型一 不等式性质的简单应用】
应用不等式性质解决问题的一般思路
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】（单选题）（2023·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，且 ，则
一、单选题
1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知 且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型二 比较数（式）的大小】
比较两个数或代数式的大小的四种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采
用特殊值法比较．
(4)中间值法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式
比较大小，一般选取 1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取 0和1作为
中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝log x的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
a【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R， ，
，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
【典例2】（单选题）（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（单选题）（23-24高一下·福建·期中）三个数 ， ， 的大小顺序是
（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）设互不相等的三个实数 满足
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川资阳·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．4．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）设 ， ， ，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围】
利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条
件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂
函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利
用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】（单选题）（22-23高一上·四川眉山·期末）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）已知 ， ，则 的范围
是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·模拟预测）已知 ，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知 ， ，则 的取值范围（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知 ， ，则 的取值范围是 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知 ，则 的取值范围是 .
9．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
【题型四 不等式的综合问题】
【典例1】（单选题）（2023·四川南充·一模）已知： ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 ， ， 满足， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是
正实数， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知 ，则以下不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，求 的取值范围为 .9．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
10．（2024高三·全国·专题练习） 表示三个数中的最大值，对任意的正实数 ， ，则
的最小值是 ．
