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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 讲 不等式与不等关系（精讲）
题型目录一览
不等式性质的应用
比较数（式）的大小
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
不等式的综合问题
一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b b
或
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b b
或
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
题型 一 不等式性质的应用
策略方法
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则 ；②若 ，则 ；③若a＞b，
则 ；④若 ，则 .其中，正确的命题是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知log x＞log y（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
a a
A．y2＜x2 B．tanx＜tany C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知a，b为实数，且 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足 ，则（ ）A． B．
C． D．
题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采
用特殊值法比较．
【典例1】若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若 ， ，且 ，则下列不等式中一定成
立的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
4．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设 、 为实数，比较两式的值的大小： _______
（用符号 或=填入划线部分）．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是_____．
四、解答题
6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ；
（2）设x， ，比较 与 的大小.
7．（2023·全国·高三专题练习）比较 与 )的大小.
题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
策略方法
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条
件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂
函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利
用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知－3
