【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 讲 不等式与不等关系（精讲）
题型目录一览
不等式性质的应用
比较数（式）的大小
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
不等式的综合问题
一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b b
或
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a<b a−b=0 a a
<1(a，b>0) >1(a，b<0)
b b
或
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a
传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c
可加性 a>b⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc
同向可加性 a>c，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性 a>b>0，n∈N¿ ⇒an >bn
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘
积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
题型 一 不等式性质的应用
策略方法
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，然后对选项一一分析即可得出答案.
【详解】由 可知 ，所以 ，所以 错误；
因为 ，但无法判定 与1的大小，所以B错误；
当 时， ，故D错误；
因为 ，所以 ，故C正确.
故选：C.【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；
【详解】解：因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，且 在定义域上单调递减，所以 ，故C错误；
因为 ，且 在定义域 上单调递增，所以 ，故D正确；
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.
【详解】当 时， ，而 ， ，而 无意义，故ABC错误；
因为 ，所以 ，D正确.
故选：D
3．（2023·高三课时练习）给出下列命题：①若a＞b，则 ；②若 ，则 ；③若a＞b，则 ；④若 ，则 .其中，正确的命题是（ ）.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】①④可举出反例，②可通过不等式的基本性质得到；③可利用幂函数的单调性得到.
【详解】若 ，此时 ，①错误；
若 ，则 ，故 ，两边平方可得： ，②正确；
因为 在R上单调递增，故若 ，则 ，③正确；
若 ，不妨设 ，不满足 ，④错误.
故选：B
4．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出 ；C选项，作差
法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项， ，故 ，所以 ，
两边同乘以 得， ，A成立；
B选项，因为 ，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B成立；
C选项，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，C成立；D选项，不妨取 ，满足 ，此时 ，故D不一定成立.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2 B．tanx＜tany C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式
性质判断C.
【详解】∵logax＞logay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2， ，故A和D错误；
选项B，当 ,取x ，y 时， ,但 ；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得 ，故C正确；
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 ，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为 ，而 的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C，依题意 ，所以 ，所以 ，故C正
确；
对于选项D，因为 与 正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断A；利用特值法可判断B，C；利用作差法可判断D.
【详解】对于A：由题意可得 ，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B：当 ， 时，满足已知条件，但 ，故B错误；
对于C：当 ， ， 时，满足已知条件，但 ，故C错误；
对于D： ，因为 ，可得 ，
所以 ，故D正确．
故选：AD.
8．（2023·全国·模拟预测）已知a，b为实数，且 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C
正确；根据基本不等式计算可得当 时， 成立，但显然 ，即D错误.【详解】对于A，由 ，可知 ， ，
且 ，由不等式性质可得 ，所以 ，即A错误．
对于B， ，
当且仅当 ，即 时取等号，B正确．
对于C，作差可得 ，
所以 ，C正确．
对于D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采
用特殊值法比较．
【典例1】若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.【详解】对于A， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，于是有 故A错误；
对于B，因为 ，
因为 ，所以 ，但 与 的大小不确定，故不一定成立，故B错误；
对于C，因为 ，因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，于是有 ，
故C正确；
对于D，因为 ，因为 ，所以
，所以 ，即 ，于是有 ，故D错误.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】做差可判断充分性，取 可判断必要性可得答案.【详解】 ，
当 时， ，所以 ，
可得 ，所以充分性成立；
但当 时， 即 也成立，
所以必要性不成立．
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B.
二、多选题
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若 ， ，且 ，则下列不等式中一定成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用比差法比较 的大小判断A，利用比差法比较 的大小判断B，利用基本不等
式比较 的大小，判断C，举反例判断D.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ， ，
对于A： ，
当且仅当 时等号成立，所以 ， A正确；
对于B： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，B错误；
对于C： ，
当且仅当 时等号成立，又 ，所以等号不成立，C正确；
对于D：令 ， ，满足条件 ， ，且 ，
但是 ，D错误.
故选：AC.
3．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由 ，则 ，故A正确；
对于B， ，
由 ，所以 ，故B错误；
对于C，由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D， ，由 ，则 ，即 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
4．（2023春·吉林长春·高一校考阶段练习）设 、 为实数，比较两式的值的大小： _______
（用符号 或=填入划线部分）．
【答案】
【分析】利用作差比较法求得正确答案.
【详解】因为 ， 时等号成立，
所以 ．
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是_____．
【答案】
【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．
【详解】因为 ， ， 与 ，
所以 ， 时取等号，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．
四、解答题
6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ；
（2）设x， ，比较 与 的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较 与 的大小，将两式做差展开化简，得到 即可判断
正负并比较出结果.【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得 .
又a＞b＞0，所以 .
（2）因为
，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时， ；
当 时， .
7．（2023·全国·高三专题练习）比较 与 )的大小.
【答案】
【分析】做差化简，分情况讨论比较大小.
【详解】
当 时， ， ，
即 ；
当 时， ， ，
即 ；综上所得 .
题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围策略方法
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条
件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂
函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利
用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ，故A，C，D错误.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质求解
【详解】 ，
故 ， ，得
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知－3<a<－2，3<b<4，则 的取值范围为（ ）
A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出 的范围.
【详解】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故 的取值范围为(1，3)，故选：A．
3．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得 ，即可得 的取值
范围.
【详解】解：设 ，所以 ，
则 ，又 ，所以 ， ，由不等式的性质得： ，
则 的取值范围为 .
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，求出 结合条件可得结果.
【详解】设 ，可得 ，
解得 ， ，
因为 可得 ，
所以 .
故选：C.
5．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知实数x，y分别是方程 的解，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实数x，y分别是方程 的解可得 ，进而可得 .
【详解】因 表示实数t的范围是 ，
所以 ．
所以 ，且当 时， 有最大值是3；
当 时， 有最小值是0．
故 的取值范围是 ．
故选:C．
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，
故A正确；
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，则 ，故D
正确.
故选：ABD.
7．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 ， ，且满足 ， ．
则 的取值可以为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得 ，进而即得.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
故 ，
当 ， 且 ，而 时 ，即等号不能同时成立，
所以 ，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围是__________
【答案】
【分析】先根据 求出 的范围，利用 的范围可得 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 或 ，即 或 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 的取值范围是
_______________
【答案】【分析】设 ，解出 ，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设 ，即 ，
∴ ，解得 .
∴ ，
∵ ，∴ ①，
∵ ，∴ ②，
① ②，得 ，即 的取值范围 .
故答案为： .
题型四 不等式的综合问题
【典例1】4．若正实数 满足 ,且 ,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及 得到 或 ,分别讨论两种情况下四个选项是否正
确,A选项可以用对数函数单调性得到,B选项可以用作差法,C选项用作差法及指数函数单调性进行求解,D
选项,需要构造函数进行求解.
【详解】因为 , 为单调递增函数,故 ,由于 ,故 ,或
，
当 时, ,则 ，此时 ；
,故 ;,即 ,所以 ;
当 时, ,则 ,此时 ,
,故 ;
,即 ,所以 ;
故ABC均错误;
对于D选项, ,两边取自然对数, ,
因为不管 ,还是 ,均有 ,
所以 ,
故只需证 即可.
设 ( 且 ),则 ,
令 ( 且 ),
则 ,
当 时, ,当 时, ,所以 ,
所以 在 且 上恒成立,
故 ( 且 )单调递减,
因为 ,所以 ,结论得证,所以D正确.
故选:D.【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.
【详解】取 ，则 不成立，故A错误；
由 ，当 时， ，所以 ，
即 ，故B错误；
取 时， ，而 ，
所以 ，故C错误；
由ABC错误，排除法知，故D正确.故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个
选项，即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，对于A： ， ，所以 ，故A错误；
对于B： ，所以 在 上为增函数，
又 ，所以 ，故B错误；
对于C： ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D： ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B，
举例 ， 即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D.
【详解】根据幂函数 在 上为单调增函数，
故 时， ，故A错误，
根据三角函数 在 上为单调增函数，故 时，故 ，故B错误，
，即 ， ，但 与 的大小关系不明，如 ， ，
显然此时 ，故C错误，
根据对勾函数的图像与性质当 时，
可知 ，而 ，根据二次函数 图像与性质可知其值域，
当 时， ，当 时， ，
故当 时，则 ，故 ，故D正确.
故选：D.
4．（2023·河南郑州·统考二模）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设 ， ，结合重要不等式、基本不等式判断各项的正误即
可.
【详解】由题设 ， ，所以 ，故A错；
且 ，而 ，故B对；
，故C错；
，
设 ，则 ，则 在 上递增，
所以 ，故D错.
故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数
的单调性去求 的取值范围即可解决
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，
则 ，即
故选：C
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用 常见的不等式，估计出 的范围，精确估计出 ，然后利用作商法比较
大小.
【详解】先证明两个不等式：
（1） ，设 ，则，即 在 上单调递减，故
，即 成立
（2） ，设 ，则
，即 在 上单调递增，故
，即 成立
再说明一个基本事实，显然 ，于是 .
由（1）可得，取 ，可得 ；
由（2）可得，取 ，可得 ，再取 ，可得 ，即 .
，显然 ，于是 ；
，显然 ，于是 .故 .
故选：B
二、多选题
7．（2023·全国·校联考模拟预测）设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为0 D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质及基本不等式求最值的方法，对选项逐个检验即可得到答案．【详解】对于A，由 解得 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
则 在 上单调递增，
且 ，故B错误；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
8．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据 判断A；根据 ， 等式成立判断B；根据基本不
等式放缩判断C；根据 ，结合不等式的性质判断D.
【详解】解：对于A：由题意得 ，所以 ，即 ，故A正确；
对于B：取 ， ，满足 ，但 ，故B错误；对于C：易知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故C正确；
对于D：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
9．（2023·辽宁·校联考二模）已知正数x，y满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由条件可得 ，利用比较法判断 的大小，判断A，B，化简 ， 利用导数求函数
的最值，由此判断C，D.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以
所以 ，A正确，B错误；
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，C正确；
令 ，则 ，
可知当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，D正确，
故选：ACD.
三、填空题
10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是
___________.
【答案】
【分析】构造函数 ，利用函数的单调性比较出 与 的大小，再用作差比较出 与 的大小，
即可得出结果.
【详解】根据题意，设 ，则其导数 .
令 ，
故在区间 上， 恒成立，则有 ，即 恒成立
在 上恒成立， 函数 在 上单调递减，
则有 ，即又 ，而 ，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当 时， 且 ，则 的取
值范围是____________．
【答案】
【分析】当 时满足： 且 ，可得 ，进而得 ，解得 或
．于是 ，令 ，可得 ，利用二次函数的单调性即可求
解最值.
【详解】当 时满足： 且 ，
，即 ，进而 ，解得 ．
所以 或 ，
，
令 ，
，
由于
所以 在 单调递增，在 单调递减，
当 时， ，当 时， ，所以
故答案为： ．
