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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 22 数列与不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相
联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放
缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1.常见放缩公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
2.数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值 时命题成立；然后假设当 （ ， ）时命题成立，证明当 时命题也
成立这种证明方法就叫做数学归纳法
王新奎新疆屯敞 王新奎新疆屯敞
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数 ，如果当 时，命题成立，再假设当 （ ，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于 的正整数 ， ，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当 取第一个值 结论正确；
（2）假设当 （ ， ）时结论正确，证明当 时结论也正确源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 cc级级ww kktt新新ww @@..xx 11子子疆疆 教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc//
由（1），（2）可知，命题对于从 开始的所有正整数 都正确王新奎新疆屯敞
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始 ． 不一定恒为1，也可能 或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找 与 的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证
明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设 时结论成立，利用此假设证明 时结论也成立”是数学归纳
法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨
性、规范性（即规范问题）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比
大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公
式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即
可得证.
【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳
法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为
首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以
，两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又
，因此 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得 ，所
以 ．所以 ．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以 ．又
，所以 是各项均为0的常数列，故 ，即 ．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所
以 ．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列 的部分项从而归纳得出数列 的通项公式，再根
据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式 ，代换得 ，两式相减得 ，
设 ，从而简化递推式，再根据构造法即可求出 ，从而得出数列 的通项公式；
方法三：由 化简得 ，根据累加法即可求出数列 的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列 的部分项，归纳得出数列 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成 ，求出 ，从而可得构造数列为常数列，即得数列 的通项公
式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由 时， ，构造得到数列 为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成 ，利用分组求和法分别求出数列
的前 项和即可，其中数列 的前 项和借助于函数
的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了
运算．
【题型训练-刷模拟】
1 . 数列不等式
一、单选题
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用裂项相消求出 ，再将恒成立问题转化为最值问题，进而求出结果.
【详解】由 ，得 ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以 ，
解得 或 .
故选： .
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若
对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用裂项相消法求出 ，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
因为 对任意 恒成立，
也即 对任意 恒成立，因为
（当且仅当 ，也即 时等号成立）
所以 ，
故选： .
3．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若
恒成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】根据递推公式构造数列 ，结合 可得数列 的通项公式，然后参变分离，利用对勾
函数性质可解.
【详解】因为 ，所以 ，所以数列 是常数列，
又 ，所以 ，从而 ，
所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 ．
因为 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立．
设 ，则 ，从而 ．
记 ，由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，且 ，
所以 的最小值是 ，所以 ．
故选：B4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和，
， ，若 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
【答案】D
【分析】根据 ，求出 和 的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可
求解得出.
【详解】 ，
数列 是首项为 、公比为2的等比数列，
，解得 或 （舍），
，即 恒成立，
，当且仅当 即 时取等号， .
故选： .
5．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ，
恒成立，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】通过等差数列的定义求出 的通项公式，再利用裂项相消法求出 ，进而
确定m的最小值.【详解】 ， 是等差数列，又∵ ，
∴ ，
故对 ， ，
也符合上式，
，
故 ，即 的最小值为1．
故选：C．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前 项
和，则使不等式 成立的最小正整数 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根据等比数列得 ，利用裂项求和可得 ，结合不
等式的性质代入求解即可得答案.
【详解】因为数列 是首项和公比均为2的等比数列，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
不等式整理得 ，
当 时，左边 ，右边 ，显然不满足不等式；
当 时，左边 ，右边 ，显然满足不等式；且当 时，左边 ，右边 ，则不等式恒成立；
故当不等式成立时 的最小值为9.
故选：B.
7．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，存在正偶数 使得
，且对任意正奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用累加法求出 ，对 分为奇数、偶数两种情况讨论 的单调性，结合能成立与恒成立的处理
方法求出答案.
【详解】因为 ， ，
所以当 时，
，
又 时 也成立，
所以 ，
易得，当 为奇数时， 单调递减；当 为偶数时， 单调递增，又当 为正偶数时，存在 ，即 ，
所以 ，此时有 ，所以 ，
又对于任意的正奇数 ， ，即 ，
所以 或 恒成立，所以 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ，
故选：D．
8．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知等差数列 的前项和为 ，且 ，若 ，
数列 的前 项积为 ，则使 的最大整数 为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【分析】先判断出 ，从而得到 ， ， ，故可判断
与1的大小关系.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
故 为各项为正数的等比数列.
因为 ，故 ，故 ，
故 ， ， ，
故 ， ，
所以 ，
，，
所以 ，
故选：B.
9．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列 满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 不可能为等差数列 B．对任意正数t， 是递增数列
C．若 ，则 D．若 ，数列 的前n项和为 ，则
【答案】D
【分析】若 为常数列1，1，1，…，此时 ，由此可判断A；若存在正数t使得 为递增数列，
则 ，显然当 时就不成立，由此判断B； ，结合基本不等式
可判断C；当 时， ，满足题意；当 时，由 可得 ，则 ，
，结合等比数列求和公式求解可判断D.
【详解】对于A，若 为常数列1，1，1，…，此时 ，故数列可以是等差数列，故A错误；
对于B，由 ，∴ ，
若存在正数t使得 为递增数列，则 ，显然当 时不成立，故B错误；
对于C，已知 ，显然数列各项均为正数，故 ，当且仅当
时，等号成立，
又 ； 时， ，不满足取等条件，则 ，即 ，故C错误；
对于D，当 时， ，满足题意；
当 时，由选项C知 ，累乘可得 ，∴ ，
∴ ，满足题意，故D正确.
故选：D.
10．（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的
“均值数列”．已知数列 是数列 的“均值数列”且 ，设数列 的前 项和为 ，
若 对 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，由 可求出数列 的通项公式，利用裂项相消法可求得，求出数列 的最小值，可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】由题意 ，即 ，
当 时， ，
又 ，则 满足 ，故对任意的 ， ，
则 ，
，
易知 是递增数列，所以，数列 的最小值是 ，
由题意 ，整理可得 ，解得 ．
故选：B．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列 满足
，若存在实数 ，使 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：由 单调递增可得 恒成立，则 ，分析 和 应用
排除法确定正确选项；
解法二：借助函数的知识，将数列单调性转化为函数单调性，结合函数图象即可得解.
【详解】解法一：由 单调递增，得 ，
由 ，得 ，
∴ .时，得 ①，
时，得 ，即 ②，
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
解法二：设 ，函数对称轴为 ，则 ，
联立 ，可得两函数的交点为 ，
若要 ，则 ， ，所以 ，
又只要求存在实数 ，所以 .
故选：A.
12．（2022春·北京·高二清华附中校考期中）对于数列 ，若 ，都有 （t为
常数）成立，则称数列 具有性质 ．数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的新定义推得数列 是递增数列，从而得到 ，整理化简
得 ，构造函数 ，利用导数求得 的最小值，从而得解.
【详解】依题意，得 ，则 ，
所以数列 是递增数列，故 ，因为 ，则 ，整理得 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，所以 在 或 处取得最小值，
又 ， ，所以 ，
故 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解数列新定义，推得 是递增数列，从而将问题转化为
关于 的恒成立问题，从而得解.
13．（2023春·河南开封·高二校考期中）已知数列 的前n项和为 ， ，若对任意正整数n，
， ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 与 的关系结合等比数列的概念可得 ，进而可得 ，然后结合条件
可得 ，然后分类讨论即得.
【详解】因为 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，
即 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ，又 ，
所以 为首项为2，公差为1的等差数列，
则 ，则 ，
所以 ，又 ，
则 ，又 ，
所以 ，
当n为奇数时， ，而 ，则 ，解得 ；
当n为偶数时， ，而 ，则 ；
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推关系构造数列求数列的通项公式，然后通过讨论结合数列不
等式恒成立问题即得.
14．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）在数列 中，若 ，且对任意的 有 ，则
使数列 前n项和 成立的n最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B
【分析】由题知数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，进而得 ，再根据错位相减法得
，进而将不等式转化为 ，令 ，再结合其单调性求解
即可.
【详解】解：因为对任意的 有 ，
所以 ，即数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ， ，
所以，
，
所以
，
所以 ，
所以 即为 ，
所以 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 为单调递减数列，
因为当 时， ，满足 ，
当 时， ，不满足 ，
所以 成立的n最大值为 ，
所以，数列 前n项和 成立的n最大值为 .
故选：B
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
（1）下面先证明 ．由 ， ，则 ， ， ，化为：
，
时， ，， ， ， ，
，
又 ，
，可得 ，
时， ，因此 ，得 ，
（2）下面证明 ．
， ，化为： ，
，
化为： ，
， ， ， ， ，
，
，可得 ．
综上可得： ．
．
故选 ．
二、填空题
16．（2023春·上海·高三统考开学考试）设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的
， 均有 ，则 的取值为 .【答案】2
【分析】由已知递推式，结合 与 的关系及等比数列的定义，可判断 是公比为 的正项等比数列，
写出 、 ，根据题设不等式恒成立可得 恒成立，即可求 值.
【详解】由题设知：当 时， ，即 ，
当 时， ，
综上知： 是公比为 的正项等比数列，即 ，而 ，
∴由题设知：对任意的 ， 有 成立，又 ，
∴ ，整理得： 恒成立，而 时 ，
∴ .
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：由 与 的关系及等比数列的定义求 、 ，根据数列不等式恒成立求 值即可.
17．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则正整
数 的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根据 的关系作差可得 ，进而求解 ，即可求解不等式.
【详解】当 时， ；
当 时， ①， ②， ①-②整理得 ，
．又 ，
是以3为首项，3为公比的等比数列，，
令 ， ,
解得 ，
正整数 的最小值是6．
故答案为：6
18．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且对于任意的
，都有 恒成立，则实数 的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据题意 ，可知 ，即可得出 ，再分类讨论n为奇数和偶数时
实数 的不同取值范围，取交集即可．
【详解】 ， ，
两式相减得： ，
对于任意的 ，都有 恒成立， 对于任意的 ，都有 恒成立，
对于任意的 恒成立，
当 时， ，由 单调递增，则 ；
当 时， ，因为 单调递减，则 ．
综上所述，实数 的取值范围是： ．
故答案为：19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且 ，
若 恒成立，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意得到 ，求得 ，得到 ，把不等式的恒成立转化为
恒成立，设 ，化简得到 ，结合 的值，求得 的
最小值是 ，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以数列 是常数列，则 ，可得 ，故 ，
因为 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立，设 ，则
，从而 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 ，所以 的最小值是 ，即 ，
所以实数 的最大值为 .
故答案为： .
20．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列 的前n项和 ，设 为数列
的前n项和，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．【答案】
【分析】利用 的关系求出数列 的通项公式，再用裂项相消法求得 ，再根据不等式的恒成立问
题以及函数的单调性与最值，求实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以 .
所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，即 ，
因为函数 在 单调递增，
所以当 时， 有最小值为10，
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
21．（2023春·江西赣州·高二江西省全南中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ，
（ ），且 ， .若 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由 得 ，两式相减可证明数列 为等差数列，继而可求出 ，令 ，通过 可知，当 时，数列 单调递减，故可求出
最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由 ，可得 .
两式相减，可得 ，所以数列 为等差数列.
因为 ， ，所以 ，所以 ， ，
则 .令 ，则 .
当 时， ，数列 单调递减，
而 ， ， ，
所以数列 中的最大项为1，故 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为: .
22．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，
则存在正整数n，使得 成立的实数 组成的集合为
【答案】
【分析】先累加求得 ，再分析二次不等式有解可得 或 ，再分析
的最小值即可【详解】由题， ，累加可得
，故 ，显然 ，故要存在正整数n，
使 成立，即 ，即 或 ，故存在正整数n，使 或
，故 或 ，即 或 ，故直接分析 的最小值即可.
又 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，当且仅当
时取得等号，综上有 ，故 或 .
故答案为：
23．（2021·江苏·高二专题练习）已知正数数列 满足 ，且对任意 ，都有
，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知可得出 ，解得 ，结合
，可得 ，令 ，求出数列 的最大项的值，可得出的取值范围，进而可得出 的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意 ，都有 ，则 ，则 ，
整理可得 ， ，
解不等式 可得 ，
当 时， ，所以， ，
令 ，
则数列 为单调递减数列，所以， ， ，
所以， .
下面来说明，当 时，对任意的 ， .
由双勾函数的单调性可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
，则 ，可得 ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在 上为增函数，
则 ，可得 ，
假设当 时， ，
由于函数 在 上为增函数，则 ，
可得 .
由上可知，当 时，对任意的 ， .综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围，解题的关键就是由
得出关于 的不等式，通过解不等式可得出关于数列不等式恒成立，进而转化为数列最值来求解.
三、解答题
24．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，其前 项和
满足 ，数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，再根据 ，作差得到数列 是以 为首项，
为等差的等差数列，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求出 ，即可求出 的取值范围，从而得到，即可得解.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
化简得 ，
∴数列 是以 为首项， 为等差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
∴数列 的前 项和 .
∵ ，
∴ 单调递增，∴ ，
∵ ，
∴ ，
若使得 对一切 恒成立，则 ，解得 ，∴实数 的取值范围是 .
25．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， 是公差为1的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出 的通项公式，得到 与 的关系，得到 与 的
关系，利用累乘法即可求得 的通项公式.
（2）由（1）结论求得 ，对 进行放缩并裂项，即可得结论.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
由题可知， ，故 ，
当 时，
，当 时， 满足 ，
故 的通项公式为 .
（2）证明：由（1）可知： ，
所以 ，
所以
.
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知数列 满足 ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当 时，由已知等式变形可得 ，利用累加法可求得 在 时的表
达式，然后检验 时的情形，综合可得出数列 的通项公式；
（2）当 时，验证所证不等式成立，当 时，由放缩法可得出 ，再结合等比数列求和公
式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【详解】（1）解：当 时，在等式 两边同除 后得 ，
所以， ，
上述等式累加得 ，即 ，所以， .
又 时， 满足 该式，故 .
（2）解：由 ，所以， ，
所以， ，
当 时， ，
当 时， .
综上所述，对任意的 ， .
27．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 成等
比数列， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 ， ，求满足条件的 的最小值.
【答案】(1)(2)4
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 成等比，求得 ，再由 ，求得
或者 ，进而得到 ，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）求得 ，得到 ，
令 ，进而得到 的最小值.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，因为 成等比，所以 ，
可得 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
可得 ，解得 或者 ，
当 时， ，不合题意舍去；
当 时， ，则 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由 ，可得 ，
所以 ，
当 时，
，令 ，可得 ，
即 ，解得 ，所以 的最小值为 .
28．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列 满足 ，数列 的
前n项和为 ，数列 满足 ，数列 的前n项和为 .
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推公式，可得 为等比数列，求出通项后得 ，利用分组求和求数列
的前n项和 ；
（2）利用放缩得 ，裂项相消求和证得 .
【详解】（1）由 ，得 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，得 ．
，
所以数列 的前 项和为 ．
（2）证明： ，所以 ，
， ，故 ．
29．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：由已知等式变形可得 ，计算出 的值，再利用累乘法可求得数列
的通项公式；
解法二：由已知条件计算出 的值，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数
列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法求出 ，进而可证得结论成立.
【详解】（1）解：解法一：由题 ①， ，即 ②，由①②得 ，
由 得 ，
所以当 时， ，也满足 ，
所以数列 的通项公式为 ；
解法二：由题， ①， ，即 ②，由①②得 ，
由 ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
所以数列的通项公式为 ．
（2）证明：由（1）知 ，
所以 ，
两式作差得 ，
所以 .
30．（2023·全国·高三专题练习）设 ， .
(1)若 ，求 ， 及数列 的通项公式；
(2)若 ，问：是否存在实数c，使得 对所有 成立？证明你的结论.
【答案】(1) ， ，
(2)存在，证明见解析
【详解】（1）当 时，由题意得 .又 ，所以数列 是首
项为0，公差为1的等差数列，则 .由题意知 ，所以 .
取 ，3，得 ， .
【反思】也可根据 及题意计算得 ， ，猜想 ，再用数学归纳法给出证明.
（2）（解法1）利用数学归纳法.
设 ，则 .
令 ，即 ，解得 .
下面用数学归纳法证明加强命题： .
当 时， ， ，所以 成立.
假设当 时命题成立，即 .
因为 在 上为减函数，所以 ，故 .
因此 ，所以 .
因此 ，即当 时命题也成立.
综上，存在 ，使得 对一切 成立.
（解法2）当 时，由题意得 ，从而得到
.①
假设存在实数c，使得 对所有 都成立，又 ，则
.
结合式①得 .由 ，解得 .
由式①得.
解得 .
综上，得 .
故存在 ，使得 对一切 成立.
31．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对一切正整数 .不等式 恒成立.求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系得到 ,即 ,再利用等差数列的通项公式求解即可;
（2）根据（1）的结论得到 对一切正整数 恒成立,分离参数转化为求解数列
最小值问题.令 ,设当 时, 最大,列不等式组求解即可.
【详解】（1）当 时, ,得 ,
当 时, ,
整理得 ,
等式两边同除 得 ,
则数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 ,
则 .
（2）不等式 对一切正整数 恒成立,
即 对一切正整数 恒成立.
令 ,设当 时, 最大,
则 ,
解得 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,
则 ,
即 的最小值为 .
32．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两式相减可得结果；（2）将不等式恒成立化为 对 恒成立，再利用数列的单调性求出右边的最小值即可得解.
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，
整理得 ，即 ，
又 时， 也适合上式，
故 .
（2）若不等式 对 恒成立，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，
则
，
则 为递增数列，所以当 时， 取得最小值 ，
所以 .
33．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知数列 的前 项和为 ， ，
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及 的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得 ，在根据题意得 即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
∴ ，即 ，
∴当 时，
，
又 不满足上式，所以 .
（2）由（1）知 ，∴ ，
∴ ，①
，②
①−②得： ，
整理得 ，又因为对任意的正整数 ， 恒成立，所以 ，
∵ ，
∴ 在 上单调递增， ，
由 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
34．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由数列的递推关系式得到 ，再根据等比数列的通项公式，即可求解；
（2）（i）设数列 的公差为 ，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得 ，再利用等
差数列的通项公式，即可求解；
（ii）由（i）得到 ，利用放缩法和裂项求和，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，两式相减可得 ，即 ，
则 ，
又因为 ，可得 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， 不满足上式，
所以数列 的通项公式为
（2）解：（i）设数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，且 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，所以数列 的通项公式为 .
（ii）由（i）知， ，
可得 ，
当 时， ；
当 时，
，
综上可得，对于任意 ，都有 .35．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中
是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由 与 的关系式即可证得数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列
的通项公式；
（2）由等差数列的前n项和公式求出 ，再由裂项相消法可证明 ，即可
求出实数 的取值范围.
【详解】（1）∵ ，∴
当 时， ，解得 .
当 时， ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴ .
（2）因为 ，所以
∴当 时， ，
∴
，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 .
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，若对任意的正整数n都有
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，利用数列通项和前n项和的关系求解；
（2）由（1）得到 ，从而得到 ，再分n为奇数和n为偶数，结合恒成立求解.
【详解】（1）由 ，
得当 时，有 ，
二式相减并化简得 ，
由于 ，则 ，
所以有 ，
又 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以
（2）结合（1）可知 ，
所以 ，
当n为奇数时， ，
又 ，
所以 单调递增，又 时， ，
所以 随着Tn的增大而增大，
则 ， ，当n为偶数时， ，
，
所以 单调递减，又 时， ，
所以 随着Tn的增大而减小，
所以则 ， ，
综上： ，且 ，
又因为 恒成立，
所以 ，所以 的最小值为 .
37．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， .
(1)求数列 前 项和 ；
(2)证明：对任意的 且 时，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据和的形式，求通项.常写出式子取n以及n-1的形式作差，并检验n=1时的情况，求得
为等比数列，求和即可；
（2）证明数列不等式，常用放缩法.放缩后构造函数，用单调性证明不等式成立.
【详解】（1）当 时，当 时，
两式相减得：
所以 ，又 符合此式，
综上所述，
所以数列 为等比数列，首项为1，公比为 ，所以
（2）由（1）可知 ，所以
故只需证明
下面先证明对任意的 且 都有
记 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上是增函数，又 ，故
当 且 时， ，所以 ，即
所以 ， ，…， 累加的 原式得证
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为
，证明：当 时，(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接作差得 ，根据差的符号可得 ．转化为证明 ，利用反
证法可得；再证 ，利用 得 与 同号，即得结论；
（2）放缩构造裂项： ，即得 ，再根据裂项
求和法可得 ；
（3）放缩构造裂项： ，再利用裂项相消法求和得结论.
【详解】（1）由于 ，则 ．
若 ，则 ，与 矛盾，从而 ，
所以 .
又 ，
所以， 与 同号.
又 ，则 ，即 ．（2）由于 ，则 ，
所以， ，
即 ，
所以 .
当 时，
，
从而 .
当 时， ，从而 ．
（3）由（1）知， ， ，
所以， ，
所以， ．
39．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知数列 中， 是其前 项的和， ，
.(1)求 ， 的值，并证明 是等比数列；
(2)证明： .
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题目条件代入即可求出 ， 的值，利用构造法即可证明 是等比数列；
（2）根据（1）求出 ，再结合放缩法即可进行证明.
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， .
证明如下：
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，即数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，
， ，
，
因为 ，所以 ，
于是 ，
其中 ，
于是 ，
所以 .
即 .
40．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）变形 ， 是以 为首项，1为公差的等差数列，即
可求解；
（2）根据题意解得 ， ，由此证明 .
【详解】（1） ，又 ，
是以 为首项，1为公差的等差数列，
.
（2）由（1）， ，
，
，
.
41．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知数列 的前 项和为 ， ， 是 与 的等
差中项.
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求 的取值范围；(3)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，再根据 ，作差得到
，即可得到 ，再由 ，即可得证，从而求出
的通项公式；
（2）由（1）可知 ，即可得到 ，依题意可得 ，即可得到
，再分 为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取值范
围，即可得解；
（3）首先证明 ，即可证明当 时， ，即可得证.
【详解】（1）证明： 是 与 的等差中项，
①，
于是有 ②，
① ② ，即 ，
，
又 ， ， ，
， ，，即有 ，
又 ， ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， .
（2）由（1）可知， ，
， ，
所以 ，
是递增数列， ， ，
当 是奇数时， ，即 恒成立，
数列 单调递增， ，
当 是偶数时， ，即 恒成立
数列 单调递减， ，
综上， 的取值范围是 .
（3） ， ，即 ，
当 时，
.
， ，
当 时， ，综上所述， .
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列 满足 ， ，
， ， ．
(1)求 的通项；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据递推公式找出数列规律，得到 是等比数列，由此求出其通项公式，继而得到
的通项；
（2）将 代入不等式中，可知不等式左边为正数，右边符号不确定，因此分类讨论n为偶数和奇数时
的取值范围，取交集即可.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 ，其中 ， ，由此可得 ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，解得 ，其中 ， ，
检验：根据通项公式计算可得 ， ，所以 .
（2）由（1）可知 ，
当 为奇数时， ，
当 时， 取最小值，即 ，解得 或 ；
当 为偶数时， ，
当 时， 取最小值，即 ，解得 或 ；
综上： 或 ，
故 的取值范围为 .
43．（2023·全国·高三专题练习）设无穷数列 满足 ， ．证明∶
(1)当 时， ．(2)不存在实数c，使得 对所有的n都成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）当 时，结合基本不等式可得 ，对已知递推式两边平方，当 时，利用放缩法
可证得结论；
（2）利用反证法，假设存在常数 使得 对所有的 都成立，然后平方后利用放缩法推理即可.
【详解】（1）由 知 ．
当 时， ，当且仅当 时取等号；
当 时，
……
．
所以 ．
（2）假设存在常数 使得 对所有的 都成立，
则 ，
下面先证明： （ 且 ），令 （ ），则 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以当 时， ，
所以 （ 且 ），
所以 ，
即 ．
当 足够大时，矛盾．
所以假设不成立， 不存在（这里用到不等式 ）．
【点睛】关键点点睛：此题考查数列与不等式的综合问题，考查了导数的应用，考查数列不等式恒成立问
题，解题有关键是对已知递推式两边平方，然后连续利用放缩法可证得结论，考查数学计算能力和逻辑推
理能力，属于难题.
2 . 数学归纳法
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数的数列 满足 ．
(1)证明：若 为奇数，则对 ， 都是奇数；
(2)若对 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【分析】（1）利用数学归纳法进行证明；
（2）利用 ，得到不等式，求出 或 ，作差法得到 与 ，从而对，都有 ，得到 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，则 ，所以 ，
又首项为正数，则
利用数学归纳法证明：
已知 是奇数， 时成立．
假设 是奇数，其中 为正整数，则由递推关系得 是奇数，即
时也成立．
由 ， 可知对任何 ， 都是奇数．
（2）由 ，得 ，于是 或 ．
，
因为所有的 均大于0，因此 与 同号．
因此，对一切 都有 的充要条件是 或 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 满足 .
(1)计算 ，猜想 的通项公式并加以证明；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由 ， ， ， ，
猜想 的通项公式为 .
证明如下：（数学归纳法）
①.当 时，结论显然成立；
②.假设 时结论成立，即 成立；其中 ，
则 ，即 时，结论也成立，
由①和②可知，∴
（2）解法一：
令 ，则前项和 （1）
由（1）两边同乘以2得： （2）
由（1） （2）得 ，
化简得 .
解法二：由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列 中 ， ， ．(1)求 的通项公式；
(2)若数列 中 ， ，证明： ，（ ）．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，即数列 是首项为 ，公比为 的
等比数列，由等比数列的通项公式即可求出 的通项公式；
（2）由用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由题设： ，
，
，
．
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
＝ ，
即 的通项公式为 ， ．
（2）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当 时，因 ， ，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ，
也即 ．当 时，
，
又 ，
所以
．
也就是说，当 时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，给定数列 ，其中 ， ， ．证明：
(1) ．
(2)如果 ，那么当 时，必有 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）用数学归纳法可证 ；作商 可证 ；
（2）用反证法可证 .
【详解】（1）先用数学归纳法可证 ：
①当 时， ，结论成立.②假设当 时结论成立，即 ，
那么当 时， ，
即 .
由①②可知对任意 时都有 ，亦有 .
∵ ，
∴ ．
综上可知 ， ．
（2）假设当 时， ．
由（1）知 单调递减，∴ ．
从而 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
这与题设条件矛盾．∴假设不成立．当 时，必有 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，已知 ．证明：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数学归纳法证明即可；
（2）根据 ，利用裂项相消法，结合放缩法即可求解.
【详解】（1） 时， ，
假设 ， ，
则 时， ，
综上， ，
所以 ，
即
（2）由题可得 ，
即 ，
,
∴ ， ．
6．（2022秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考期中）已知数列 满足： ， ．(1)证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)数列 ，求满足 的最大正整数n．
【答案】(1)证明见解析，
(2)13
【分析】（1）法一：化简已知条件得到 ，从而证得 为等差数列，并求得 .法二：先
猜想 ，然后利用数学归纳法进行证明，再结合等差数列的定义证得 为等差数列.
（2）利用分组求和法求得 ，结合函数的单调性求得正确答案.
【详解】（1）法一： ①，得 ②，
②－①，得 ，即 ，
所以数列 是等差数列，
又 ，∴ ， ，公差 ，所以 ．
法二：令 时， ， ， ，
令 时， ，猜想 ．
下面数学归纳法证明：
①当 时， ， ， ，
②假设当 时， ，
则当 时， ，
解得 ，所以 成立．综上所述， 时， ．
，所以数列 是等差数列.
（2） ，
所以 ，
即
因为 在 上单调递增，
， ，
所以满足条件的最大正整数为13．
7．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)计算 , ，猜想 的通项公式并加以证明；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) , , ,证明见解析;
(2) .
【分析】（1）分别 , ，即可求得 , ,由此可猜想 ，用数学归纳法证明即可；
（2）结合（1）的结论可得 的表达式，分组求和即可求得答案.
【详解】（1）当 时， ；当 时， ；
猜想 .
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立；
那么 时， ,
即 时， ，
则对任意的 ，都有 成立.
（2）由题意得 ，
.
8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)计算： ，猜想数列 的通项公式，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求k的取值范围．
【答案】(1) ， ， ， ， ，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推式写出对应项，并猜测通项公式，应用数学归纳法证明即可；
（2）利用作差法求 的最小项，根据恒成立求参数范围.【详解】（1）由题设 ， ， ， ，
猜测 ，数学归纳法证明如下：
由上及已知有 均满足 ，
假设 ， 成立，则 ，满足上式；
综上， 且 .
（2）取 ，故 ，
当 时 ，当 时 ，且 为最小项，
所以 有 ，则 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 是常数数列，求m的值．
(2)当 时，证明： ．
(3)求最大的正数m，使得 对一切整数n恒成立，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)正数m的最大值是2，证明见解析
【分析】（1）由 可求出m的值；
（2）由 ，得 两式相减化简可证得结论；（3）假设 ，则可得 与 矛盾，所以要使得 对一切整数n恒成立，只可
能是 ，然后利用数学归纳法证明.
【详解】（1）若数列 是常数列，则 ，
解得 ．
显然，当 时，有 ．
（2）由条件得 ，
得 ．
因为 ， ，
以上两式相减得 ．
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 与 同号．
因为 ，所以 ，
所以 ．
（3）首先证明 ．
假设 ，因为 ，
所以 ．
这说明，当 时， 越来越大，显然不可能满足 ．
所以要使得 对一切整数n恒成立，只可能是 ．下面用数学归纳法证明当 时， 恒成立．
当 时， 显然成立．
假设当 时成立，即 ，
则当 时， 成立．
综上可知 对一切正整数n恒成立．
因此，正数m的最大值是2．
【点睛】关键点点睛：此题考查数列与不等式的综合问题，考查反证法和数学归纳法，第（3）问解题的
关键是先利用反证法得到 ，然后再利用反证法证明 时， 恒成立即可，考查数学计算能力，
属于较难题.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ， ， ．
(1)证明： ．
(2)设 是数列 的前n项和，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用数学归纳法及不等式 证明即可；
（2）变形 ，进而可得 ，放
缩可得 ，由此证得结论．
【详解】（1）先用数学归纳法证明 ．当 时结论成立，假设 时结论成立，即 ，则 ，
∴ ．
故当 时结论也成立，由归纳原理知 对 成立．
作出函数 的图象，如图， ， 的方程 ，
根据割线 的位置易知 ，
从而 ．
综上可知 ．
（2）∵ ，且 ，
设 ， ，
则 ，∴ 在 上单调递减，
∴当 时， ，即 .
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ．
从而 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，证明：
(1) ．
(2) ，其中无理数 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）使用数学归纳法证明；
（2）把 进行变形，整体可变形为乘法结构，然后取对数，最后利用函数不等式
进行裂项放缩，结合累加法及数列求和证明．
【详解】（1）以下用数学归纳法证明．
①当 时， ，不等式成立．
②假设当 时不等式成立，即 ．
当 时， ．
∴当 时，不等式也成立．
综上可知， 对所有 成立．
（2）由（1）知 ，由 得 ．
不等号两边取以 为底的对数，可得 ．
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，故 ，即 ，∴ ，
即 ，
则 ， ，…， ，
累加可得
，
∴ ，∴ ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
(3)记 为数列 的前n项和，证明∶ ．
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）解法一可利用数学归纳法证明；解法二构造函数 ，利用单调性证明.
（2）用数学归纳法由（1）知 ，再由数学归纳法可证 .
（3）由 ，得，再求和即可.
【详解】（1）解法一：由题意知 ， ．
①当 时， ， ， ， 成立．
②假设 时，结论成立，即 ．
∵ ，
∴ ．
故 时，结论也成立．
由①②可知，对于 ，都有 成立．
解法二： ， ， ， 成立．
令 ，显然 单调递减．
∵ ，假设 ，
则 ，即 ，
故 ，即 ．
故对于 ，都有 成立．
（2）由（1）知 ，∴ ．
同理，由数学归纳法可证 ， ．猜测 ．下面给出证明．
∵ ，∴ 与 异号．
注意到 ，知 ， ，
即 ．
∴ ，
从而可知 ．
（3）
，
∴
，
∴
．
13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，且数列 的前n项和为 ，求证：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得 ， 后由 可得数列 的
通项公式；
（2）由（1）可得 ， ，后由数学归纳法可证明结
论.
【详解】（1）由题， 时，有 ，则
，
则 .
注意到 ，则 .
（2）由（1）可得 ，则
当 时， .故所证结论相当于， ， .
当 时，结论显然成立；
假设 时，结论成立，则 ，
当 时，因 ， ，则
.
综上，结论成立.
14．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知两式化简，分别求得 和 .
（2）由（1）利用求和公式可得 ，再利用数学归纳法即可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ， ，则 ，
，
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
假设当 时， ，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
故 ，则 ，即 ，
所以 ，则 ，
综上： .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当 时，设数列 前n项的和为 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）由数列单调性和作差法得到 ，再利用数学归纳法得到 ， ，得到
结论；
（2）利用数学归纳法证明出 ，从而得到当 时， ，
由题目条件得到 ，结合等比数列求和公式证明出 ，从而证明出结论.
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
下面由 及数学归纳法证明 ，过程如下：
，假设 ，
则 ，即 ，证毕；
从而可由 及数学归纳法证明
，理由如下：
，故 ，满足 ，
假设 ，则 ，
结合 ，可得 ，证毕；
（2）由已知得 ， ，，
可证 ，理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
，故 ，即 ，
假设 ， ，
则 ， ，
从而 ， ，证毕.
当 时， ．
由 得
．
∴当 时， ．
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，
又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，导数法等，技巧性较强.
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）数列 满足 ，
(1)求 的值；
(2)求数列 前 项和 ；(3)令 ， ，证明：数列 的前 项和 满足 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出 ；
(2)用作差法求出 的通项公式，再求其前n项和；
(3)求 ，猜想 ，用数学归纳法证明 ；用导数证明 ，令 ，得
，用这个不等式对 放缩即可得证.
【详解】（1）依题 ，
；
（2）依题当 时， ，
，又 也适合此式，
，
数列 是首项为1，公比为 的等比数列，故 ；（3） ， ，
，
，
，
猜想： ①
下面用数学归纳法证明：
(i)当n＝1，2时，已证明①成立；
(ii)假设当 时，①成立，即 .
从而
.
故①成立.
先证不等式 ②
令 ，
则 .
，即②成立.
在②中令 ，得到 ③
当 时， ；
当 时，由①及③得：.
证明完毕.
【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想 ，并用数学归纳法证明 ；根据结论构造不等式
，令 ，得 ，然后用这个不等式对 放缩.
