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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 05 讲 一元二次不等式及其应用（精讲）
题型目录一览
①不含参数的一元二次不等式的解法
②含参数的一元二次不等式的解法
③一元二次不等式综合应用
④分式不等式与绝对值不等式的解法
一、知识点梳理
1.一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的两个
根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上.
（2）①若 ，解集为 .
②若 ，解集为 .
③若 ，解集为 .
(2) 当 时，二次函数图象开口向下.
①若 ，解集为
②若 ，解集为
2.分式不等式
（1）（2）
（3）
（4）
3.绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【常用结论】
1.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．
由 的解集为 ，得: 的解集为 ，即关于 的不等式
的解集为 ．
已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
2.已知关于 的不等式 的解集为 （其中 ），解关于 的不等式
．
由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等式
的解集为 ．
3.已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式 ．由 的解集为 ，得: 的解集为 即关于 的不等
式 的解集为 ，以此类推．
4.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
5.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
6.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ；
7.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则一定满足 ．
二、题型分类精讲
题型 一 不含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解一元二次不等式的四个步骤
【典例1】函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．【典例2】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知集合 则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆 的焦距大于 ，则m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．不等式 的解集为______．
5．不等式 的解集为______．
6．若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______.题型二 含参数的一元二次不等式的解法
策略方法 解含参不等式的分类讨论依据
【典例1】关于x的不等式 的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数学试题）已知集合 ，
，若 且 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合 ，
集合 ，满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题3．已知关于x的不等式组 的整数解的集合为 ,则实数k的取值范围是______．
4．（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）设
，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围是___________.
三、解答题
5．解下列关于 的不等式： ．
6．解下列关于 的不等式 ．
7．解下列关于 的不等式 ．
题型三 一元二次不等式综合应用
策略方法 一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路
1．牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【典例1】若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． 或
C． D．【典例2】关于x的方程 恰有一根在区间 内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（北京市第一0一中学2023届高三下学期数学统练三试题）已知关于x的不等式 的
解集是 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式 的解集为 ，则
D．若关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
2．（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知关于 的不等式
的解集为 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．已知关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
4．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
6．设a为实数，若方程 在区间 上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
7．已知函数 （b，c为实数）， .若方程 有两个正实数根 ， ，
则 的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
二、填空题
8．已知关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解
集为______．
9．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值是
___________.
10．（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数 （ 且 ），若关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则实数 的取值范围是_________．
11．（福建省大田县第一中学2022届高三上学期期中考试数学试题）若关于 的不等式
恰有1个正整数解，则 的取值范围是___________.
12．方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是_____．
13．方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围是_______
题型四 分式不等式与绝对值不等式的解法
策略方法 绝对值不等式和分式不等式解法
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理．
【典例1】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】不等式 的解集为（ ）
A．R B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合
，则 （ ）A． B． C． D．
2．（新疆维吾尔自治区部分学校2023届高三二模数学（理）试题）集合 ，
，记 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟（二模）数学试题）若集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（内蒙古赤峰市赤峰二中等校2023届高三下学期二轮复习联考（一）理科数学试题）已知集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
6．设a，b是实数，集合 ， ，且 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题7．（上海市徐汇区2023届高三二模数学试题）命题“若 ，则 ”是真命题，实数 的取值范
围是__________.
8．设函数 是定义在R上的以3为周期的奇函数，若 ， ，则a的取值范围是
______．
9．已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为______________．
10．（上海市进才中学2023届高三下学期3月月考数学试题）已知集合 ，集合
.如果 ，则实数 的取值范围是___________.
11．不等式 的解集是_______．
