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第 04 讲 基本不等式及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·三模）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，当且仅当
时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
2．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数 的对称轴为 ，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数 的定义域为 ，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C， ，
定义域为 ，所以函数 是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数 无最小值，故C错误；
对D， ，定义域为 ，
所以函数 是偶函数，因为 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 有最小值 ，故D正确.
故选：D
3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数 ， 满足 ．则 的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以， 的最小值为27．
故选：C
4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数 满足 ，则
的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．18
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，所以 ，
即 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知 ，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 ，即
.对于 A， 成立.
对于 B， ，成立.
对于 C， ，即 .故C错误；
对于 D， 成立.
故选：C.
6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知 ， ，且 ，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，即：
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
即： ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为16.
故选：C.
7．（2023·河南安阳·统考三模）已知 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为4
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ，则 的最大值为
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故A正确；
若 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故B正确；若 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
若 ，则 ，即 ，当且仅当 时等号成立，故D错误.
故选：D.
8．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当 ， 时， 恒成立，则m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．
故选：A.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BC
【解析】A选项： ，由于函数 在R上单调递增，则 ，即 ，
已知 ，即 ，若取 ， ，则 ，故A错误.
B选项：因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确.
C选项：若 ，则 ，且 ，，由于函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故C正确.
D选项：令 ， ，则 ，故D错误.
故选：BC.
10．（多选题）（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ，且 则下列结论一定正确的有
（ ）
A． B．
C．ab有最大值4 D． 有最小值9
【答案】AC
【解析】A选项， ，A正确；
B选项，找反例，当 时， ， ， ，B不正确；
C选项， ， ，当且仅当 时取“=”，C正确；
D选项， ，D不正确.
故选：AC.
11．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 ， 至少有一个大于2
B． ，
C．若 ， ，则
D． 的最小值为2
【答案】AC
【解析】对于A,若 ， 均不大于2，则 ，则 ，故 ，则 ， 至少有一个大
于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ， ，故 B错误，
对于C,由 得 ，由 得 ，所以 ，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在 单调递增，故 ，D错误，
故选:AC
12．（多选题）（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数 满足 ，则（ ）
A． 且 B． 的最大值为
C． 的最小值为7 D．
【答案】ABD
【解析】由 ，可得 ，所以 且 ，故A正确；
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为9，故C错误；
因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
13．（2023·上海浦东新·统考二模）函数 在区间 上的最小值为_____________．
【答案】 ．
【解析】 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
14．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
【答案】
【解析】设矩形植物种植园的宽、长为 ，
所以 ，
则 ，当且仅当“ ”时取等.
故至少需要 米栅栏．
故答案为： ．
15．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，写出满足“ ”恒成立的正实数 的
一个范围是______（用区间表示）．
【答案】 （答案不唯一，是 的子集即可）
【解析】由题意可知 ，当且仅当 时取得等号，
所以 恒成立，故正实数 的一个范围可以为 （答案不唯一，是 的子集即可）．
故答案为：
16．（2023·浙江·二模）若 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由 可得 ，
而 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
由 可知 ，
所以 ，
令 ，则 ，
函数 在 单调递增，在 单调递减故 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个
值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
3．（2010·四川·高考真题）设 ，则 的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
，
当且仅当 取等号，即 ， 取最小值，
可得 的最小值：4，
故选B.4．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知可得 ，则 ，所以
的最小值 ，应选答案C．
5．（2021·天津·统考高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
6．（2020·天津·统考高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
7．（2020·江苏·统考高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【解析】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.∴ 的最小值为 .
故答案为： .
8．（2017·山东·高考真题）若直线 过点 ，则 的最小值为________．
【答案】8
【解析】因为直线 过点 ，所以 ，
因为
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为8
故答案为：8
9．（2019·天津·高考真题）设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当 ，即 时成立，
故所求的最小值为 ．
10．（2019·天津·高考真题） 设 ， ， ，则 的最小值为__________.
【答案】 .
【解析】由 ，得 ，得
，
等号当且仅当 ，即 时成立．
故所求的最小值为 ．
