文档内容
第 02 讲 排列、组合
目录
考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的全国卷的考查情况
来看，本节是高考的热点，也
（1）理解排列、组合的概念． 是高考常考内容，以考查基本
（2）能利用计数原理推导排列 2023年乙卷（理）第7题，5分 概念和基本方法为主，涉及特
数公式、组合数公式． 2023年甲卷（理）第9题，5分 殊元素与特殊位置、两元索相
（3）能利用排列组合解决简单 2023年II卷第3题，5分 邻或不相邻、分组、分配等问
的实际问题． 2023年I卷第13题，5分 题，分值为5分．本节内容与
生活实际联系紧密，考生可适
当留意常见的排列组合现象，
如体育赛事排赛、彩票规则
等，培养数学应用的思维意
识．
知识点1、排列与排列数
（1）定义：从 个不同元素中取出 个元素排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素
的一个排列．从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示．
（2）排列数的公式： ．
特例：当 时， ；规定： ．
（3）排列数的性质：
① ；② ；③ ．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同， 常
用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用 ．
知识点2、组合与组合数
（1）定义：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素
的一个组合．从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个
元素的组合数，用符号 表示．
（2）组合数公式及其推导
求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ；
第二步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ；
根据分步计数原理，得到 ；
因此 ．
这里 ， ，且 ，这个公式叫做组合数公式．因为 ，所以组合数公式还可表
示为： ．特例： ．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式 常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：① ；② ．（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别
在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列
是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后
排列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及
多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个
元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
【解题方法总结】
1、如图，在圆中，将圆分 等份得到 个区域 ， ， ， ， ，现取 种颜色
对这 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有 种．
M M
... 3 2
M
1
...
M
... n
M
n-1
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数
时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，
被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元
素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位
置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻
位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其
他元素一起排列，共有 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排法．
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将 个不同元素排成一排，其中某 个元素互不相
邻（ ），求不同排法种数的方法是：先将（ ）个元素排成一排，共有 种排法；然后
把 个元素插入 个空隙中，共有 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
· 种．
题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算
例1．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1或3 D．
例2．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·甘肃兰州·统考一模） ，则 等于 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）
变式2．（2023·全国·高三专题练习） ．
变式3．（2023·高三课时练习）已知 ，则 .
变式4．（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）若 ，则
变式5．（2023·全国·高三对口高考）计算 的值为 .题型二：直接法
例4．（2023·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到
了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
例5．（2023·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022
到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖
仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组
三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任
选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
变式6．（2023·全国·高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一
节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（ ）
A．24 B．72 C．144 D．288
变式7．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司
机，到 ， ， ， ， 这五个不同地区执行任务，要求 地只能派男司机， 地只能派女司机，则不
同的方案种数是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
变式8．（2023·全国·高三对口高考）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，
C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（ ）
A．24 B．48 C．54 D．96
变式9．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人
和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要
站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144 B．864 C．1728 D．2880
题型三：间接法
例7．（2023·全国·高三专题练习） 个点将半圆分成 段弧，以 个点（包括 个端点）为顶点的三角形
中钝角三角形有（ ）个A． B． C． D．
例8．（2023·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人
只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）
A．65 B．73 C．70 D．60.
例9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边
形的个数为（ ）
A．360 B．630 C．1170 D．840
变式10．（2023·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，
且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
题型四：捆绑法
例10．（2023·四川内江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，
丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
例11．（2023·江西宜春·高三统考开学考试）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是
国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大
学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有 共5位同学从中任选
一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则 同学选择浙江大学的不同方法共有（ ）
A．24种 B．60种 C．96种 D．240种
例12．（2023·全国·高三专题练习）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排
1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7
日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种
变式11．（2023·全国·高三专题练习）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若
五辆车分别为 ，五辆车随机排成一排，则 车与 车相邻， 车与 车不相邻的排法有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
变式12．（2023·全国·高三专题练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名
老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.
A．40 B．24 C．20 D．12
题型五：插空法
例13．（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比
赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺
序的种数为（ ）
A．40 B．36 C．56 D．48
例14．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排
法种数为（ ）
A．12 B．36 C．48 D．72
例15．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音
不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音
阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为（ ）
A．72 B．28 C．24 D．32
变式13．（2023·全国·高三对口高考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位
女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．60
变式14．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等6名
同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．432种
变式15．（2023·四川·校联考模拟预测）北京地处中国北部､华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与
河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心､文化中心､国际交往中心､科技创新中
心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫､八达岭长城､颐
和园､“水立方”､“鸟巢”､798艺术区､首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立
方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．960种
变式16．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐
法共有（ ）
A．120种 B．60种 C．40种 D．20种题型六：定序问题（先选后排）
例16．（2023·全国·高三专题练习）满足 ，且 的有序数组
共有（ ）个.
A． B． C． D．
例17．（2023·高二课时练习）已知 ，则满足 的有序数组
共有（ ）个
A． B． C． D．
例18．（2023·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）五人并排站在一排，如果A，B必须相邻且B
在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A．60种 B．48种 C．36种 D．24种
变式17．（2023·全国·高三专题练习）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱
基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA
中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形
成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱
基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同
学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
变式18．（2023·江苏扬州·高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产
物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总
数为_________
变式19．（2023·全国·高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯
谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜
（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
变式20．（2023·高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.
题型七：列举法
例19．（2023·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证
明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设 ，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的
有序数组 的个数是（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
例20．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母 ， ， 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有
且仅有一组字母相邻（如 ），则不同的排法共有（ ）种
A．36 B．30 C．24 D．16
例21．（2023·全国·高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形
（边长为2个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几
个单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去.则某人抛
掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 处的所有不同走法共有（ ）
A．21种 B．22种 C．25种 D．27种
变式21．（2023·海南海口·统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的
数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为
A．20 B．18 C．16 D．11变式22．（2023·全国·高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的
螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是
________．
题型八：多面手问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3
人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，
有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只
会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种
不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
例24．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动
之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中
有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人
共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
变式23．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人
既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有
（ ）
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
题型九：错位排列
例25．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧
拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一
个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左
至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）A．72 B．108 C．144 D．196
例26．（2023·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5
的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
例27．（2023·全国·高三专题练习）将编号为 、 、 、 、 、 的小球放入编号为 、 、 、 、
、 的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法
种数为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2023·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球
放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球
编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
题型十：涂色问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要
求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
例29．（2023·全国·高三专题练习）对正方体 的6个面进行涂色，有5种不同的颜色可供
选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂色方法个数为 （填写
数字）
例30．（2023·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，
该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区
域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有 种．变式25．（2023·安徽·校联考模拟预测）数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系
中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1），一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其
中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相
邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择 变成绿色，则与之相邻的 ， ， ，
四个点也要变成绿色，那么最少需要 步，才能使得位于直线 上的四个点变成绿色，
而其他点都是红色.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉
可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字
作答）.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧
板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形
板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有 种.变式28．（2023·全国·高三专题练习）用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有
公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使
用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域 ， ， ， 和 ， ， ，
分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有 种；区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分别各涂
4种不同颜色的涂色方法共有 种.
题型十一：分组问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12
人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（ ）
A．21 B．42 C．35 D．70
例32．（2023·高二课时练习）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有
（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
例33．（2023·福建泉州·高二校联考期中）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置
一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参
与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务
的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（ ）
A．25种 B．30种 C．40种 D．50种
变式30．（2023·全国·高二专题练习）将12个不同的物体分成3组，每组4个，则不同的分法种数为（）.
A．34650 B．5940 C．495 D．5775
变式31．（2023·全国·高二专题练习）某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4
套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（ ）
A． B． C． D．
变式32．（2023·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）将6名同学分成两个学习小组，每组至少两
人，则不同的分组方法共有___________种.
题型十二：分配问题
例34．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 种不同的分配方式；
（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 种不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 种不同的分配方式；
（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有 种不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有 种不同的分配方式；
（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有 种不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 种不同的分配方式.
例35．（2023·全国·高三专题练习）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公
益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 种．（用数字作答）
例36．（2023·全国·高三专题练习）现计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每名教师至少
教一门课程，每门课程只配一名教师，且教师A不教“围棋”，教师B只能教一门课程，则满足条件的课
程安排的种数为 ．
变式33．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜
种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．
“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三
组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有 种不同的分配方式．
变式34．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和
全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的
5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A、B、C、D四所学校，要求每所学校至少安排一位
教师，则在甲志愿者被安排到A学校有 种安排方法．变式35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空
盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有 种放法.
变式36．（2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）为了落实立德树人的根本任务，践行五育
并举，某校开设 三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅
报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有 .
题型十三：隔板法
例37．（2023·云南红河·统考三模）某校将 个三好学生名额分配到高三年级的 个班，每班至少 个名额，
则共有多少种不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
例38．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把 个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三
（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少 个名额，三（2）班至
少 个名额，……，则分配方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
例39．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子
中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
变式37．（2023·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、
高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
变式38．（2023·全国·高二期末）方程 的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
题型十四：数字排列
例40．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
例41．（2023·全国·高二专题练习）用数字 、 、 组成五位数，且数字 、 、 至少都出现一次，这样
的五位数共有（ ）个
A． B． C． D．例42．（2023·北京·高二北京八中校考期末）用 三个数字组成一个四位数，要求每个数字至少出现一
次，共可组成个不同的四位数__________（用数字作答）.
变式39．（2023·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､
十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
变式40．（2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有
一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
题型十五：几何问题
例43．（2023·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（
）
A． B． C． D．
例44．（2023·高二课时练习）一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，沿着正四面体 的棱爬
行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点 ，第4秒后又回到 点的不同爬行
路线有（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
例45．（2023·全国·高三专题练习）如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点
沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条
A．40 B．60 C．80 D．120变式41．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（ ）条
A．20 B．28 C．48 D．56
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此
又名足球烯， 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为
正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
变式43．（2023·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)
＝( )
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2
题型十六：分解法模型与最短路径问题
例46．（2023·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方
格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿
过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
例47．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大
道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维
修的路，如图，假设夏老师家在 处，学校在 处， 段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短
路径有（ ）条．A．23 B．24 C．25 D．26
例48．（2023·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），
CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
变式44．（2023·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以
纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用
大小相同的竹棍构造一个大正方体（由 个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从 点出发，沿着竹
棍到达 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
变式45．（2023·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同
的参观路线共有（ ）A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
变式46．（2023·广东惠州·高二校考期中）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节
点⑧的路径共有（ ）
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
变式47．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道
路网，其中 是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人
分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M
处为止，则（ ）
A．甲从M到达N处的走法有70种
B．甲从M必须经过 到达N处的走法有12种
C．若甲、乙两人途中在 处相遇，则共有144种走法
D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在 处相遇，他们在 处相遇的走法有
种，
则 ，故D正确．
故选：AD．
变式48．（2023·高二课时练习） 5400的正约数有______个
变式49．（2023·上海嘉定·高二校考期中）正整数2022有______个不同的正约数．
题型十七：排队问题
例49．（2023·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共 名队员（红队 人，黄队 人）合照，
要求 人站成一排，红队 人中有且只有 名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
例50．（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各
不相邻，则排法有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
例51．（2023·山西朔州·高二校考阶段练习） 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头
尾，则不同的排法种数有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
变式50．（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．题型十八：构造法模型和递推模型
例52．（2023·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连
成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下
关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移
动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下 个圆环需要移动圆环
的最少次数，且 ，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）
A．30 B．90 C．170 D．341
例53．（2023·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过
次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
例54．（多选题）（2023·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入
第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（ ）
A．进入第二个格子走法有2种
B．进入第二个格子走法有1种
C．进入第三个格子走法有2种
D．进入第八个格子走法有21种
变式51．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）马路上有编号为1，2，3，4，5，6，
7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的
关灯方法有______种.
变式52．（2023·浙江·高三竞赛）马路上有编号为1，2， ，2011的2011只路灯.为节约用电，要求关闭
其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）.
题型十九：环排问题
例55．（2023·全国·高三专题练习）21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循
环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节
目的时候，共报数的次数为（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
例56．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心
发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同
的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
例57．（2023·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙
三人不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
变式53．（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光
的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图
案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种
变式54．（2023·全国·高三专题练习）5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，
则不同排法有______种（填数字）．
1．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相
同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
2．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
A．120 B．60 C．40 D．30
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
