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§10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随
机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有
实数值，就称X为一个随机变量．其所有可能的取值都是可以一一列举的随机
变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x ，x ，…，x}时，如果对任意k∈{1,2，…，
1 2 n
n}，概率 都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分
布也可以用如下形式的表格表示，
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
此表称为X的 或 ．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①p 0(k＝1,2，…，n)；
k
②＝p＋p＋…＋p＝ .
k 1 2 n
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值
则称E(X)＝ ＝p 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
i i
它反映了离散型随机变量取值的 ．
(2)方差
称D(X)＝[x －E(X)]2p ＋[x －E(X)]2p ＋…＋[x －E(X)]2p ＝ 为随机变量
1 1 2 2 n n
X的方差，并称为随机变量X的 ，它们都可以度量随机变量取值与其均值的
．5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与
之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝
________，D(X)＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于(
)
A. B. C. D.
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的
概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经
统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、
乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 X的均值和方差分别是(
)
A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36
B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36
C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34
D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
X －1 0 1 2
P a b c
若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
均值、方差的大小比较、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，
还经常从下列几个角度进行考查：
(1)均值、方差及概率的大小比较；
(2)均值、方差的增减性分析；
(3)均值、方差的最值；
(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．
典例 (1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到
1时( )
X 0 1 2
P
A.D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先减后增 D．D(X)先增后减
(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a,2，根据以往销售经验可得
0<a<2，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
下列结论正确的是( )
A．b＝
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．D(X) ＝
min
D．当D(X) 最小时，E(X)＝
min
命题点2 均值(数学期望)与方差的性质应用
例3 设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的
均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(0<X<3.5)＝B．E(3X＋2)＝7
C．D(X)＝2
D．D(3X＋1)＝6
跟踪训练2 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 3m
下列结论正确的有( )
A．m＝ B．E(X)＝
C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝
(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二
局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为
ξ，则D(ξ)＝________.
题型三 均值与方差中的决策问题
例4 (2023·上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，
B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景
点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非
常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：
非常满意 满意 一般 不满意
A景点 50 30 5 15
B景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游
景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
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(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由．
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跟踪训练3 (2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每
位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该
同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，
该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个
问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回
答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
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