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§10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随
机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有
实数值，就称X为一个随机变量．其所有可能的取值都是可以一一列举的随机
变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x ，x ，…，x}时，如果对任意k∈{1,2，…，
1 2 n
n}，概率 都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分
布也可以用如下形式的表格表示，
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
此表称为X的 或 ．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①p 0(k＝1,2，…，n)；
k
②＝p＋p＋…＋p＝ .
k 1 2 n
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值
则称E(X)＝ ＝p 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
i i
它反映了离散型随机变量取值的 ．
(2)方差
称D(X)＝[x －E(X)]2p ＋[x －E(X)]2p ＋…＋[x －E(X)]2p ＝ 为随机变量
1 1 2 2 n n
X的方差，并称为随机变量X的 ，它们都可以度量随机变量取值与其均值的
．5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与
之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝
________，D(X)＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于(
)
A. B. C. D.
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的
概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a c
则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经
统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、
乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 X的均值和方差分别是(
)
A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36
B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36
C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34
D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34(2)(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
X －1 0 1 2
P a b c
若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于( )
A. B. C. D.
均值、方差的大小比较、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，
还经常从下列几个角度进行考查：
(1)均值、方差及概率的大小比较；
(2)均值、方差的增减性分析；
(3)均值、方差的最值；
(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．
典例 (1)设随机变量X的分布列如下(其中0
