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专题 39 离散型随机变量的分布列与数字特征（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.分布列：离散型随机变量的分布列是概率论中最重要的概念之一。离散型随机变量的一切
可能取值都是离散的，且每个可能取到的值都对应一个概率，即事件发生的概率；
2.数字特征：离散型随机变量的数字特征是描述随机变量取值的统计量。常见的数字特征包
括期望值和方差。期望值是随机变量取值的平均数，方差则是描述随机变量取值分散程度的
指标；
3.离散型随机变量的分布列和数字特征是概率论中的重要概念，在解题时需要熟练掌握并灵
活运用；
【备考策略】1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念.
2.会求离散型随机变量的分布列.
3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念.
4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并在一些生活实例中加以应用.
【命题预测】1.未来命题预测，由于它们是概率论的基础概念，因此未来的命题可能会继续围绕这些基本
概念展开：（1）对于给定的离散型随机变量，如何根据其分布列计算其期望值和方差；
（2）两个离散型随机变量之间，如何计算它们的相关系数；（3）如何利用离散型随机变量
的分布列和数字特征来对数据进行拟合和预测；（4）给定两个离散型随机变量，如何判断
它们是否独立；（5）如何利用离散型随机变量的分布列和数字特征来对概率进行计算和管
理；（6）对于给定的离散型随机变量，如何利用其分布列和数字特征来进行参数估计和假
设检验
2.未来的命题可能会涉及到更复杂的情况，也可能更加注重实际应用；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识讲解
一、随机变量的有关概念
1.随机变量:一般地,对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ,都有唯一的实数 与之对应,我们称
为随机变量,常用字母 表示.
2.离散型随机变量:可能取值为有限个或可以 一一列出 的随机变量.
二、离散型随机变量的分布列及其性质
1.概念:一般地,设离散型随机变量 可能取的不同值为 ,称 取每一个值 的概率
为 的概率分布列,简称分布列.如下表.
… …
… …
2.离散型随机变量的分布列的性质:
(1) 0 ;
(2) 1 .
三、两点分布
若随机变量 服从两点分布,则其分布列为
0 1
1 - p
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中 P ( X= 1 ) 称为成功概率.
利用离散型随机变量的分布列的性质求解问题,主要考查数学运算和数据处理等核心素养.解题切入点
为充分利用分布列的两条性质,在利用该性质时,常利用分布列中各概率
之和为1求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为不大于1的非负数.求随机变量在某个范围内
的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
离散型随机变量分布列的求解步骤：
四、离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 的分布列为
X … …
… …
1. 为随机变量 的均值或数学期望,它反映了随机变
量取值的 平均水平 .
2. 为随机变量
的方差,它刻画了随机变量 与其均值 的平均 偏离 程度,其算术平方根 为随机变量 的
标准差,记为 .
(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大,表明
平均偏离程度越大, 的取值越分散,反之, 越小, 的取值越集中在 附近.(2)方差也是一个常数,
它不具有随机性,方差的值一定是非负实数.
五、均值与方差的性质
1. aE ( X ) + b ;
2. a 2 D ( X ) .( 为常数)
均值与方差的四个常用性质
(1) ,其中 为常数.
(2) .
(3) .
(4)若 相互独立,则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求离散型随机变量 的均值的步骤
(1)理解 的意义,写出 可能的全部值;
(2)求 取每个值的概率;
(3)写出 的分布列;
(4)由均值的定义求 .
求离散型随机变量均值与方差的关键及注意点
(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确
运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意 , 的应用.
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据,建立相应的概率模型,然后利用概率知
识求出样本的数字特征——数学期望、方差等,通过比较得到最优方案,从而解决问题.解题的关键如下:
(1)建立模型,根据题意准确建立解决问题的概率模型,要注意各种概率模型的差异性,不能混淆;
(2)分析数据,分析题中的相关数据,确定概率模型中的相关参数;
(3)求值,利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征;
(4)做出决策,比较概率模型中的数字特征,确定解决问题的最优方案,做出决策.
考点一、离散型随机变量的分布列
1．全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：
分数 0 1 2 3 4 5
人数 0 1 3 12 20 4
现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．
【答案】答案见解析
【分析】根据古典概率公式求 ，然后可得分布列.
【详解】解：由题意可得 ， ，
， ，
， ．
因此，随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3 4 5
P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1
2．（2023年江苏省模拟数学试题）某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)假设演唱1首摇滚歌曲，观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱1首校园民谣，观众与乐队的互
动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的分布列.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件求出没有1首摇滚歌曲被演唱的概率，再借助对立事件的概率公式计算即得；
（2）求出4首歌曲中演唱摇滚歌曲数Y的分布，再求互动指数之和X的分布列即可得解.
【详解】（1）设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A，则事件A的对立事件 为“没有1首摇滚歌曲被演
唱”，
所以 ；
（2）设乐队共演唱Y首摇滚歌曲，Y的所有可能值为0，1，2，3，则 ，( )，
， ， ， ，
因为 ，当 时，对应 ，
即X的所有可能值为：5a，6a，7a，8a，
， ， ，
所以X的分布列为：
Y 5a 6a 7a 8a
P
3．某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随
机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列.
【答案】答案见解析
【分析】根据分布列的解题步骤计算即可.
【详解】答对试题数X的可能取值为： ，
则 ，
.
所以该生答对试题数X的分布列如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0 1 2 3
1．（2023年吉林省模拟数学试题）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组
织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有 人，其中男生 人，女生 人；乙组一共有 人，
其中男生 人，女生 人.现要从这 人的两个兴趣小组中抽出 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件 为“选出的这 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事
件 发生的概率；
(2)用 表示抽取的 人中乙组女生的人数，求随机变量 的分布列.
【答案】(1) ；(2)分布列见解析；
【分析】（1）直接利用古典概型概率公式求 即可 ；
（2）先由题得 可能取值为 ,再求概率及 的分布列.
【详解】（1） .
（2） 可能取值为 ， ，
， ， ，
的分布列为
0 1 2 3
2．一袋中装有6个大小与质地相同的白球，编号为1、2、3、4、5、6，从该袋内随机取出3个球，记被
取出球的最大号码数为 写出随机变量 的分布.
【答案】分布列见解析
【分析】根据题意，得到随机变量 可能的取值，求得相应的概率，即可得到分布列.
【详解】解：由题意，随机变量 可能的取值为 ，
可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以随机变量 的分布列为：
3 4 5 6
3．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是
10分．按成绩共分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，得到
的频率分布直方图如图所示：
(1)分别求第三，四，五组的频率；
(2)该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6名同学．
①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②若在这6名同学中随机抽取2名，设第4组中有 名同学，求 的分布列．
【答案】(1)第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1
(2)① ②分布列见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图可得答案；
（2）①由（1）可知第三，四，五组所占的比例，可得甲乙两名同学同时被选中的概率；②第四组共有X
名同学，求出X的取值和对应的概率可得分布列.
【详解】（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3，
第四组的频率是0.100×2＝0.2，
第五组的频率是0.050×2＝0.1；
（2）①由（1）可知，第三，四，五组所占的比例为 ，
在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个，
而第三组共有100×0.3＝30个，
所以甲乙两名同学同时被选中的概率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②第四组共有X名同学，所以X的取值为0，1，2，
； ； ；
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
考点二、离散型随机变量的分布列的性质
1．（2023年吉林省模拟数学试题）设随机变量X的分布列为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分布列中所有概率和为1求解．
【详解】由题意 ， ．
2．（2023年河北省模拟数学试题）下表是离散型随机变量 的分布列，则常数 的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质运算求解.
【详解】由题意可得： ，解得 .
3．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则 等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【分析】先由各个概率和为1可求出 ，再由 可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
1．（2023年福建省联考数学试题）已知随机变量 的分布列为 ，2，3， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得 的值，又由
，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量 的分布列为 ，
由分布列的性质，则有 ，解得 ，
故 .
.
2．（2023年浙江省联考数学试题）已知 的分布列为
则下列说法错误的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质可求出 的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式
可判断C选项.
【详解】对于A选项，由分布列的性质可得 ，可得 ，则 ，A对；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，C错；
对于D选项， ，D对.
3．设随机变量 的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意， ，即事件 的对立事件是 的事件，
所以 .
考点三、离散型随机变量的分布列与均值计算
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，
利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知， 的可能取值为 ，所以，
,
，
，
.
即 的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望 .
2．（2023届湖北省联合统一调研测试数学试题）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，
初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了
样本频率分布直方图，如图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ，试估计
初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，
答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 ，
后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及
均值．
附：若随机变量X服从正态分布 ，则： ，
， ．
【答案】(1) ；(2) 人；(3)分布列见解析，均值为 ；
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由 可知 即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为
．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布 ，其中 ， ，
则 ，
所以 ，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为 人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为 ．
3．乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：
比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，
先连续多得2分的选手为胜方.
(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为 .在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，
求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；
(2)假设甲选手每局获胜的概率为 ，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，
求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
X 1 2 3 4
p
数学期望为 .
【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢
两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X的可能取值为1，2，3，4，及对应
的概率，写出分布列，求出期望值.
【详解】（1）设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.
事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则 ，
事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则 ；
则
（2）X的可能取值为1，2，3，4.
， ， ， ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
p
其中 .
即数学期望为 .
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球
比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员
5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 发
生的概率；
（2）设 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（Ⅰ）由已知，有 ，
所以事件 发生的概率为 .
（Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为
所以随机变量 的分布列为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以随机变量 的数学期望
考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.
5．（2023年全国高考甲卷数学（理）试题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，
随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对
照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照
组
实验
组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；列联表见解析，（ii）能；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意， 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
故 .
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位
与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为 ，第21位数据为 ，所以 ，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得， ，
所以能有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
1．小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已
知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天
参加各类运动项目的概率如下表：
当天
前一
天
篮球 羽毛 游泳
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】球
篮球 0.5 0.2 0.3
羽毛
0.3 0.1 0.6
球
游泳 0.3 0.6 0.1
(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
羽毛
运动项目 篮球 游泳
球
能量消耗/卡 500 400 600
求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.
【答案】(1)第三天打羽毛球的可能性最大
(2)分布列见解析，期望为1428卡
【分析】（1）根据小王第一天打羽毛球，可得到第二天分别参加哪项运动的概率，由此在分别计算第三
天参加各项运动的可概率，比较可得答案；
（2）求出运动能量消耗总数的可能的取值，计算出每种可能对应的概率，可得前三天参加体育运动能量
消耗总数的分布列，根据期望的计算公式，求得期望.
【详解】（1）用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用 ， ，
分别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.
因为小王第一天打羽毛球，
所以第2天小王做三项运动的概率分别为 ， ， .
第3天小王做三项运动的概率分别为 ，
，
，
所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.
（2）小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、
BCA，BCB、BCC共9种，
运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，
，
，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为
130
X 1200 1400 1500 1600
0
P 0.01 0.09 0.57 0.27 0.06
能量消耗总数X的期望
（卡）
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.
2．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高
峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费
点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间 ，9：40~10：00记作 ，
10：00~10：20记作 ，10：20~10：40记作 ，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4
辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 ，其中 可用这
600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 可用样本的方差近似代替（同
一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：
46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若 ，则 ， ，
.
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， ；
(3) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均
即可．
（2）抽样比为 ，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量 的所有可能的取值，计算出每个
对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到 ， 再根据其对称性处理即可．
【详解】（1）解：这600辆车在 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
，即
（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在 前通过的车辆数就是
位于时间分组中在 ， 这一区间内的车辆数，即 ，所以 的可能的取值为
0，1，2，3，4．
所以 ， ， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
所以 ．
（3）由（1）得 ，
，
所以 ，估计在 之间通过的车辆数也就是在 ， 通过的车辆数，
由 ， ，得
，
所以估计在 之间通过的车辆数为 辆．
3．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运
动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑
测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级 优 良 合格 不合格
频数 7 11 41 1
(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优
或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能
完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
【答案】(1) ；(2)90.
【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；
（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望
公式可求得答案．
【详解】（1）解：由题意得 ；
（2）解：能完成活动的概率为 ，不能完成活动的概率为 ，
由题得Y可以取0，100，200，300，则
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
Y 0 100 200 300
P
则Y的数学期望为 ．
4．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））某地区为下岗人员免费提供财会和计算
机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培
训，已知参加过财会培训的有 ，参加过计算机培训的有 ．假设每个人对培训项目的选择是相互独
立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记 为3人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望.
【答案】(1)0.9
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率
和期望运算求解.
【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事
件B，
由题意可知：事件A与B事件独立， ，则 ，
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率 ，
故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率
（2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数 服从二项分布 ，则 ，
， ，
， ，
的分布列：
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
的期望 .
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次
投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
考点四、方差计算
1．（2023年浙江省模拟数学试题）已知随机变量 的分布列如表：
0 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】m n
若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据离散型随机变量的分布列和 两个信息，可求出 ， 得值，再根据离散型随机变量
方差的性质，即可求出答案．
【详解】 ， ①，
又 ②，
联立①②得 ，
所以 ，
则 ．
2．（2023年福建省联考数学试题）随机变量 的概率分布列如下：
－1 0 1
其中 ， ， 成等差数列，若随机变量 的期望 ，则其方差 ＝ ．
【答案】
【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得 ， ， ，再由方
差的计算公式求得答案.
【详解】因为 ， ， 成等差数列，则 ，又由分布列的性质，则 ，
所以得 ，
又因为随机变量的均值 且 ,
故解得 ， ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知随机变量 ，若 最大，则 ．
【答案】24
【分析】先根据 解出 ，再根据二项分布的方差公式求出 ，再计算
即可.
【详解】由题意知： ，要使 最大，有
，
化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））某花店每天以每枝 元的价格从农场
购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量 （单位：枝， ）的
函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
【答案】（1）
2）（i）
（ii）应购进17枝
【详解】（1）当 时，
当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得：
（2）（i） 可取 ， ，
的分布列为
（ii）购进17枝时，当天的利润为
得：应购进17枝.
1．（2023年甘肃省模拟数学试题）已知随机变量 的分布列如下：
2 3 6
若随机变量 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】根据随机变量 的分布列求得a，即可求得 的期望，由方差公式求得 ，根据方差的性质
即可求得答案.
【详解】由分布列的性质可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
因为 ，所以 .
2．已知 的分布列为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】利用期望的性质可求得 的值，计算出 的值，再利用方差的性质可求得 的值，进而可
求得 的值.
【详解】由 ，
得 ，解得 ．
又 ，
所以 ，
所以 ．
3．设随机变量 ，满足 ．若 ，则 ．
【答案】 /1.5
【分析】由题设有 求出参数 ，再由二项分布方差公式求 ，最后根据方差的
性质求 .
【详解】由 ，
故 ，则 ，
所以 ，则 ，
而 ，
则 .
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷））一家面包房根据以往某种面包的销售
记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72.
【详解】试题分析：（1）设 表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
可求出 ， ，利用事件的独立性即可求出 ；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即
可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.
（1）设 表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未
来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
.
.
.
（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
,
,
,
,
分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点五、分布列、期望及方差的性质
1．（2023年山东省模拟数学试题）若随机变量 的分布列为：
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量 的分布列的性质和数学期望公式得出答案.
【详解】根据所给的分布列，可得 ，
由 ，可得 ，解得 .
2．（2023届湘豫名校联考模拟考试数学（理科）试题）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x 0 1 2
P a b c
若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.
【详解】由题意，得 ，所以 ①．
因为 ，所以 ②．
由 ，得 ，代入①②解得： ， ．
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023-2024学年江苏省模拟考试数学试题）已知随机变量X的分布列如下表所示，若 ，则
（ ）
X 0 1
P a b
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用期望公式与分布列的性质得到 的方程组，从而求得 ，再利用方差公式即可得解.
【详解】因为 ，且各概率之和为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
4．已知随机变量ξ的分布列如下：
若 ，则 的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【分析】由分布列的性质求出 ，由期望公式可得 ，由方差公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意得 ，
所以 ，即 .
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， 取最小值为0.
5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则
E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出 ，则 .
【详解】 的可能取值为 .
， ， .
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是 ，
故 .
6．已知随机变量 ，下列表达式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 ， ，
因此选项B、D不正确，选项C正确，
又因为 ，所以选项A不正确.
7．（2023届广东省模拟数学试题）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进
情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结
果如下表：
甲校 乙校
使用AI作业 不使用AI作业 使用AI作业 不使用AI作业
基本掌握 32 28 50 30
没有掌握 8 14 12 26
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用 表示抽取的2名学生中使用
“AI作业”的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的
学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用
“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了
“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和
DY的大小关系.
【答案】(1)分布列见解析， ；(2) .
【分析】（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
【详解】（1）依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为
20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以 ，1，2，且 ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
P
故
（2）由题意，易知 服从二项分布 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】服从二项分布 ， ，故 .
1．设 ，随机变量 的分布列为
0 1 2
P b
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大
B． 减小
C． 先减小后增大
D． 先增大后减小
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知 ，所以 ，
所以 ，
所以
，因为 ，所以 单调递增.
2．（2023届河南省模拟考试理科数学试题）已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题可知， ，解得 ，
则 ．
3．已知随机变量 的分布列为：
若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用分布列的性质以及期望公式可得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数的值，再利用方
差公式可求得 的值.
【详解】由分布列的性质和期望公式可得 ，解得 ，
所以， .
4．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
设 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列求出 ， ，再根据条件得 ，计算答案即可.
【详解】由X的分布列得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
因为 ，
则
5．设随机变量 ， 满足： ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由 ， ，求出 值，利用二项分布的方差公式求出 ，再利用方差的线
性性质，即可得到答案．
【详解】由于随机变量 满足： ， ，
，
解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ，
.
考点六、决策问题
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加
比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每
个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能
正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序
无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 类．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与
（1）类似，找出先回答 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱
件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先
从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格
品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ；
（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品
的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1） ；（2）（i） ；（ii）应该对余下的产品作检验.
【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得 ，之后对其求
导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意 的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出 ，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变
量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有 件不合格品的概率为 .
因此 .
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 ；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ．
，当且仅当 ，
即 可得所求．
（2）由（1）知， .
（i）令 表示余下的 件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即
.所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于 ，故应该对余下的产品作检验.
【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；
方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．
1．（2023届广东省模拟数学试题）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个
大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱
中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望.
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 的分布列和数学期望.
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
(3)答案见解析
【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.
【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为 ，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数 服从二项分布，即 ，
所以 的所有可能取值为 ，则
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即 ，第（1）不中奖的概率比第 问小，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.
2．（2022年北京市高考数学试题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达
到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4；(2) ；(3)丙；
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
， .
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，
乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．若离散型随机变量 的分布列如下图所示．
0 1
则实数 的值为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意， ，解得 ，
所以实数 的值为 .
2．（2023年福建省模拟数学试题）已知随机变量X的分布列如下表，则 （ ）
X
P
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由离散型随机变量取值的概率和为 ，解出 值，再由方差公式可得.
【详解】由 解得 ，
则 ，
.
3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为 ，发球次数为X，若X的数学期望 ，
则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解 ，可解出 值.
【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即 ，发球次数为2即二次发球成功的概率
为 ，发球次数为3的概率为 ，则期望
，依题意有 ，
即 ，解得 或 ，结合p的实际意义，可得 .
4．某射手射击所得环数 的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知 的数学期望 ，则 的值为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】C
【分析】根据分布列的性质和数学期望公式列方程组可求出结果.
【详解】由表格可知， ,解得 .
5．已知随机变量 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数学期望与方差的性质求解
【详解】 ，得 ，
，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．设 ，随机变量 的分布列如图，则当 在 内增大时，
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】D
【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】 ，
，
，∴ 先增后减，因此选D.
【点睛】
7．（2023届辽宁省教研联盟调研测试（一模）数学试题）随机变量 且 ，随机
变量 ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的期望方差性质可判断A、B，根据 及二项分布期望公式可求出 ，
根据二项分布方差的计算公式可求出 ，进而求得 .
【详解】解：因为 且 ，
所以 ，故 ， ，选项A正确，选项B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，选项C正确；
，选项D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．设随机变量X的分布列为 ，k=1，2，3，4，其中c为常数，求 的值．
【答案】
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得c，再利用 求解.
【详解】解 由离散型随机变量分布列的性质可知
，
所以 ．
解得 ．
所以 ， ．
9．已知离散型随机变量X有概率分布 ， ．若 ，其中a，b为常数，求
．
【答案】
【分析】根据已知写出Y的分布列，应用离散随机变量期望的求法求 即可.
【详解】由于X是离散型随机变量，那么Y也是离散型随机变量．
因为 ， ，
所以Y的分布列为
Y
P
于是
．
10．已知随机变量 的分布列为
0 1 2
(1)求 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求 ；
(3)若 ，求 .
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；
【分析】（1）利用分布列的性质即可得解；
（2）利用随机变量的期望公式可得答案；
（3）法一：利用 即可得解；法二：利用随机变量的期望公式可得答案.
【详解】（1）依题意，由分布列得 ，解得 ，
所以 的值为 .
（2）由（1）得 .
（3）法一：因为 ，
所以 .
法二：因为 ，所以 的分布列如下：
所以 .
11．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））一批产品需要进行质量检验，检
验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品
中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，
若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互
独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用
记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则 ；
（2）X的可能取值为400、500、800；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，则X的分布列为
X 400 500 800
P
【详解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，
第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，
第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，
第二次取出的1件产品是优质品为事件D，
这批产品通过检验为事件E，
∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝ .
(2)X的可能取值为400，500，800，并且
P(X＝400)＝1－ ， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝ ＝ ，
∴X的分布列为
50
400 800
X 0
P
EX＝400× ＋500× ＋800× ＝506.25.
12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））从甲地到乙地要经过 个十字路口，
设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（ ）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和均值．
（ ）若有 辆车独立地从甲地到乙地，求这 辆车共遇到 个红灯的概率．
【答案】(1)见解析；（2） .
【详解】试题分析： 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出
相应的概率值，列出随机变量 的分布列并计算数学期望， 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没
遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.
试题解析：（Ⅰ）解：随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .（Ⅱ）解：设 表示第一辆车遇到红灯的个
数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .
【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变
量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按
照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问
题.
13．（2008年高考天津卷理科数学试题）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别
为 与 ，且乙投球2次均未命中的概率为 .
（Ⅰ）求乙投球的命中率 ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ） 的分布列为
0 1 2 3
的数学期望
【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率 ；对于问题
（II），首先列出两人共命中的次数 的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出 取各个值时所对
应的概率，就可得到 的分布列．
试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件 ，“乙投球一次命中”为事件 .
由题意得 解得 或 （舍去），所以乙投球的命中率为 .
（II）由题设知（I）知 ， ， ， ， 可能取值为
故 ，
，
的分布列为
考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.
14．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅰ））某商场经销某商品，根据以往资料统
计，顾客采用的付款期为 的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，基利润为200元；分2期或3期付款，基利润为250元；分4期或5
期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率 ；
(2)求 的分布列及期望 ．
【答案】(1)0.784；(2)分布列见解析， （元）；
【分析】（1）根据对立事件的概率公式即可得解；
（2）写出随机变量 的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求出期望即可.
【详解】（1）解： ；
（2）解： 可取 ，
，
，
，
则分布列为：
数学期望 （元）.
15．已知随机变量X的概率分布为 ，则实数 ．
【答案】
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意， ，
由分布列的性质得 ，解得 ，
所以实数 .
16．随机变量X的分布列如表所示，若 ，则 .
X －1 0 1
P a b
【答案】5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出 ， ，由此能求出方差，
再根据方差的性质计算可得．
【详解】依题意可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
17．（2023届河南省摸底大联考数学（理科）试题）已知随机变量 ，若 ，则
．
【答案】
【分析】 ，二项分布的性质，算出 ，在使用 即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））一批产品的二等品率为 ，从
这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二等品件数，则 ．
【答案】1.96
【分析】根据二项分布 ，由公式得到结果.
【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布 ， ,填
1.96
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【能力提升】
1．随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得 ，
，进而求得 .
【详解】∵随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c，②
联立①②，得b ，a+c ，
∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c ．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关离散型随机变量的分布列的有关问题，正确解题的关键是要理解
离散型随机变量分布列的各概率和等于1的性质.
2．（2023年山东省模拟数学试题）已知等差数列 的公差为 ，随机变量 满足
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为随机变量 满足 ，
所以 ，
也即 ，又因为 是公差为 的等差数列，
所以 ，则有 ， ， ，
所以 ，则 ，
， ，
因为 ，所以 ，解得 .
3．若离散型随机变量X的分布列如下，若 ，则 =（ ）
X -1 0 1 2
P a b c
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列所有概率之和为1，且 可得 的值，再根据和事件概率的加法公
式即可得出结果.
【详解】由题意知， ；
由 ，即 ，
得 ；
由 ，即
整理得
联立①②③解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为
所以 .
4．设随机变量 的分布列为 ， , 分别为随机变量 的数学期望与
方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质概率之和为1，得出 ，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定
义公式以及其性质逐项判断BCD即可.
【详解】因为随机变量 的分布列为 ，由分布列的性质可知，
，解得 ，
对于A， ，故A不正确；
对于B， ，
，故B不正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ， ，故D不正确.
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））在心理学研究中，常采用对比试验的
方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心
理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的
作用，现有6名男志愿者A，A，A，A，A，A 和4名女志愿者B，B，B，B，从中随机抽取5人接受
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的频率．
1
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【详解】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】X 0 1 2 3 4
P
进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含
的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为： .则
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是 =
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分
布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利
用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学
应用意识、基本运算求解能力等.
6．（2023届山西省联考数学试题）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂
开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，
会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.
(1)若此次知识问答的得分 ，用样本来估计总体，设 ， 分别为被抽取的320名学生得分的
平均数和标准差，求 的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学
生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概
率为 ，抽到价值20元的学习用品的概率为 .从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得
学习用品的价值总额为 元，求 的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用
品的价值总额.
参考数据： ， ，
， ， .
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， ， 元；
【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；
（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.
【详解】（1）由折线图可知：
，
，
所以 ， ，
所以 .
（2）由题意可知 的可能取值为10，20，30，40，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
，
，
，
，
所以 的分布列为
10 20 30 40
P
，
故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为 元.
7．（2023届山东省联考数学试题）为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，
在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，
每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植 后会有 的可能性种植 的可能性种植 ；在每次
种植 的前提下再种植 的概率为 ，种植 的概率为 ，在每次种植 的前提下再种植 的概率为 ，
种植 的概率为 .
(1)在第一次种植 的前提下，求第三次种植 的概率；
(2)在第一次种植 的前提下，求种植 作物次数 的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设 ， ， 表示第 次种植作物 ， ， 的事件，其中 ，2，3，由全概率公式可得
，代入即可得出答案.
（2）求出 的可能取值及每个变量 对应的概率，即可求出 的分布列，再由期望公式求出 的期望.
【详解】（1）设 ， ， 表示第 次种植作物 ， ， 的事件，其中 ，2，3.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在第一次种植 的情况下，第三次种植 的概率为：
；
（2）由已知条件，在第1次种植 的前提下： ， ， ，
， ， ，
因为第一次必种植 ，则随机变量 的可能取值为1，2，-
，
，
所以 的分布列为：
1 2
.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员
工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；
（ii） ．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=
（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为 ．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为 ．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）= （k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望 ．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．
所以，事件A发生的概率为 ．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某
类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个
体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其
实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)
；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
9．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，
在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点
球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门
将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能
性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚
下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，
如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，易知
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①试证明 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下
的概率为 ，满足 .
【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为 ，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
， ，
， ，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望 ．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为 ，门将在前三次扑出点球的个数X可能的
取值为0，1，2，3，易知 ， ， ．X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望 ．
（2）解析：递推求解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，则 ，
从而 ，又 ，∴ 是以 为首项．公比为 的等比数列．
②由①可知 ， ， ，故 ．
10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
型
电影部
140 50 300 200 800 510
数
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得
到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ，
， ， ， 的大小关系．
【答案】(1) 概率为0.025
(2) 概率估计为0.35
(3) > > = > >
【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有
1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评
这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从
0-1分布，因此 ，即得 > > = > > ．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为 ．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（ ）=P（ ）+P（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ） > > = > > ．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互
独立，则P(AB)=P(A)P(B).
11．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷））某商场举行有奖促销活动，顾客购买
一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱
中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；
若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）详分布列见解析， .
【分析】（1）记事件 ｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， ｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝， ｛顾客抽奖1次获二等奖｝， ｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可
知 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，且 ， ， ，再利
用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 ，分别求得 ；
； ； ，即可知 的概
率分布及其期望.
【详解】（1）记事件 ｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，
｛顾客抽奖1次获二等奖｝，
｛顾客抽奖1次能获奖｝，
由题意， 与 相互独立， 与 互斥， 与 互斥，
且 ， ， ，∵ ， ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故所求概率为 ；
（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ，
∴ ，
于是 ；
；
；
，
故 的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为 .
考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一
直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计
的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以
关注.
12．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，
黄、白乒乓球的数量比为 ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，
则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已
取到白球的次数．
(1)求 的分布列；
(2)求 的数学期望．
【答案】(1)分布列见解析；(2) ；
【分析】（1）首先求出取球一次取到黄球、白球的概率，依题意可得 的可能取值为： ， ， ， ，
，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）中的分布列及期望公式表示出 ，再利用错位相减法求和及等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）解：依题意取球一次取到黄球的概率 ，取到白球的概率 ，
则 的可能取值为： ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
（2）解： 的数学希望为
①，
所以 ②，
① ②得 ，
所以
．
13．（2023年江苏省联合调研测试数学试题）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔
举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将
也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 ．
①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p 与q 的大小．
10 10
【答案】(1)分布列见解析；期望为 ；
(2)①证明见解析 ；② ；
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断 ，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 ，则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为
，由条件确定 的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出 ，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一： 的所有可能取值为 ，
在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以 ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为
，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为 ，易知 ，
所以 ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的期望 ．
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则 ，
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【真题感知】
1．某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该
地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ，
则 ，
所以 .
2．（2019年浙江省高考数学试题）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
【答案】D
【分析】研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本
题根据方差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，
注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】方法1：由分布列得 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则当 在 内增大时， 先
减小后增大.
方法2：则
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力
差，不能正确得到二次函数表达式.
3．（2022年浙江省高考数学试题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中
随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
【答案】 ， /
【分析】利用古典概型概率公式求 ，由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
4．（2021年浙江省高考数学试题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红
球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ，
.
【答案】 1 /
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得 的值，再根据随机变量 的分布列即可求出 ．
【详解】 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】, 所以 , 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
5．（2020年浙江省高考数学试题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取
球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则 ；
．
【答案】 /
【分析】先确定 对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根
据数学期望公式求结果.
【详解】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，随机变量 ，
，
，所以 .
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
7．（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人
的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 ，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:
所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
8．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方
式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
或
，
,可知
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
