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第 34 讲 随机变量及其分布列
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
随机变量及其分布列的数字特征
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为 Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量
X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是
可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量 X 的取值范围是{x ，x ，…，x }，如果对任意
1 2 n
k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝x )＝p 都是已知的，则称X的概率分布是已知
k k
的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为
X的概率分布或分布列.
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)p ≥0，k＝1，2，…，n；
k
(2)∑p ＝p ＋p ＋…＋p ＝1.
k 1 2 n
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
(1)均值
称E(X)＝x p ＋ x p ＋ … ＋ x p ＝ ∑ x p 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简
1 1 2 2 n n i i
称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x －E(X)]2p ＋[x －E(X)]2p ＋…＋[x －E(X)]2p ＝ ∑ [ x － E ( X ) ] 2 p，能够刻
1 1 2 2 n n i i
画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称称为离散型随机变量 X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散
程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数).
分布列
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，
此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝ 1 － p ，且n
次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，
k，…，n}，而且P(X＝k)＝ C p k q n － k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … C p k q n － k … Cpnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋
Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的
二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) .
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) .
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M件(MM，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得 的概率是：
， ，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得 的概率是：
， ，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
， ， ，
， ， ，，
X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6 7
P
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
， ，
，
，
，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
， ，
， ，
，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故 ，故D不满足超几何分布；故选：C
【典例2-2】设随机变量 ， 满足： ， ，若 ，则
（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
由于随机变量 满足： ， ，
，
解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ，
，
故选：C.
【典例2-3】已知随机变量 服从二项分布 ，当 时， 的最大值
是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为随机变量 服从二项分布 ，
所以 ，
所以 ，，
，
，
∴ ，
故选：B．
【典例2-4】某批零件的尺寸X服从正态分布 ，且满足 ，零件的尺
寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于
2件的概率不低于 ，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【详解】
服从正态分布 ，且 ，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为 ，
由 ，得 ，
令 ，
， 单调递减，又 ， ，
不等式 的解集为 的最小值为
故选：C.
【典例2-5】设随机变量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
解：因为随机变量 ， ，
所以 ，则 ，
因为 ，即 ，解得
随机变量 中，
，
故选：A
3、分布列的综合应用
【典例3-1】甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙
胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：
(1)在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
(2)若采用三局二胜制，求比赛场次 的分布列及数学期望．
【答案】(1)在五局三胜制下，甲获胜的可能性大(2)分布列见解析， .
【解析】(1)
解：①如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：
（甲净胜二局）， （前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
因为 与 互斥，所以甲胜概率为 ．
②如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
（甲净胜3局），（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），
（前四局各胜2局，第五局甲胜）．
因为 互斥，所以甲胜概率为
．
由①，②可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大．
(2)
解：依题意可得 的所有可能取值为 ， ．
所以 ，
所以 的分布列为：
2 3
0.52 0.48
所以
【典例3-2】选手参加电视台举办的“中国诗词大会”竞答比赛．选手对每个问题回答的
结果，只能是正确或错误两种情况，每个问题回答正确的概率为 ．选手首先依次回答3
个问题，一旦出观2个问题回答错误，则被淘汰：如果3个问题回答都正确，则算过关；
如果3个问题中有1个回答错误，则进入下一轮附加赛，选手再依次回答2个新问题，一
旦出现问题回答错误，则也被淘汰；若2个问题回答都正确，则也算过关．选手回答每个
问题正确与否是相互独立的．
(1)求选手过关的概率；
(2)若选手回答一个问题耗时3分钟，试估计选手平均用11分钟能否完成这个竞答比赛？【答案】(1) (2)选手平均用11分钟能完成这个竞答比赛
【解析】(1)
选手过关的概率
(2)
设选手完成这个竞答比赛时回答问题的个数为 ，其可能值为：2，3，4，5．
故回答问题的个数 的数学期望为
从而选手完成这个竞答比赛平均用时为
故选手平均用11分钟能完成这个竞答比赛．
【典例3-3】“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人
们对生态文明建设的关注情况，现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200
人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组
[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求 的值，并求这200人年龄的中位数（保留一位小数）；
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选
出3人进行问卷调查，记 为选出的3人中属于第1组的人数，求 的分布列和数学期望
；
【答案】(1) ，中位数为42.1岁(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】(1)
由 ，得 ，
设中位数为x岁，则 ，解得 ，
故这200人年龄的中位数为42.1岁
(2)
第1，2组的频率比是：
在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，其中第1组2人，第2组3人
， ，
的分布列为：
0 1 2【典例3-4】W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布 ，从当
前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
产品尺寸/ [76， (78.5， (79， (79.5，
mm 78.5] 79] 79.5] 80.5]
件数 4 27 27 80
产品尺 (80.5， (81， (81.5，
寸/mm 81] 81.5] 83]
件数 36 20 6
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在 以外视为小概率事
件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在 以内为正品，
以外为次品． ， ，
．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检
测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量 ，求 的数学期望及方差．
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析(2)数学期望是 （元）；方差是
【解析】(1)
依题意，有 ，
所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．
生产线正常工作，次品不能多于 ，而实际上，超出正常范围以
外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
(2)
依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为 ．记这3件产品中次品件数为 ，则 服从二项分布 ，
，
则 ， ，
所以 的数学期望是 （元），
方差是 ．
【典例3-5】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0
代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个
数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最
小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后
代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
