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考点 27 随机变量的分布列、期望与方差（核心考点讲与练）
一.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x，x，…，x，…，x，X取每一
1 2 i n
个值x(i＝1，2，…，n)的概率为p，p，…，p，则表
i 1 2 n
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①p ≥0 (i ＝ 1 ， 2 ， 3 ，…， n )；②p ＋ p ＋…＋ p ＝ 1；
i 1 2 n
③P(x≤x≤x)＝p＋p ＋…＋p.
i j i i＋1 j
二.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中0<p<1，q＝ 1 － p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.
(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中
所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小
的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何
分布.
三．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
x x x p
定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取的值是 1， 2，…， n，这些值对应的概率是 1，
p 2，…， p n，则 E(x)x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n，叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学期望（简称期
望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
x x x p p
一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是 1， 2，…， n，这些值对应的概率是 1， 2，…
p n，则 D(X)(x 1 E(x))2p 1 (x 2 E(x))2p 2 (x n E(x))2p n叫做这个离散型随机变量X 的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
D(X) 的算术平方根 D(x) 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．X 为随机变量， a，b 为常数，则 E(aX b)aE(X)b，D(aX b)a2D(X) ；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为 p ，在n次二点分布试验中，离
散型随机变量X 的期望取值为 np ．
⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n和 p 的二项分布，则 E(X)np ， D(x)npq (q1 p) ．
⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，
nM n(N n)(N M)M
E(X) D(X)
则 N ， N2(N 1) ．
1.离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应
的概率写出分布列．
2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；
②求ξ取每个值的概率；
③写出ξ的分布列；
④由均值的定义求E(ξ)；
⑤由方差的定义求D(ξ)．
3.均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；
反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用 来描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从
整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值
相同，再用方差来决定．离散型随机变量的分布列的性质
1.（2021山西省长治市第二中学高三检测）已知随机变量 的概率分布列如下：
0 1 2 3
0.1 0.1 0.3 0.3
则 ___________.
2.（2021海南省华中师范大学琼中附属中学高三检测）设随机变量 的分布列为
，则 的值为（ ）
A．10 B． C．－10 D．
3.（2021浙江省杭州市八校联盟高三联考）已知随机变量 的分布列如下图所示，若 ，则实
数 的取值范围是___________.
0 2 3
离散型随机变量的均值与方差的计算
1.（多选题）（2021重庆市南开中学高三上10月月考）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如
表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列 表2 股票乙收益的分布列
收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是（ ）
A. 投资股票甲的期望收益较小
B. 投资股票乙的期望收益较小C. 投资股票甲比投资股票乙的风险高
D. 投资股票乙比投资股票甲的风险高
2. （多选题）假定某射手每次射击命中的概率为 ，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，
否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，则（ ）
A．目标被击中的概率为 B．
C． D．
3.（2021浙江省浙南名校联盟高三上第一次联考）已知随机变量 的分布列如下表：
0 1
其中 ，则 的方差 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
均值与方差的实际应用
1.随着经济的飞速发展，市场条件的成熟以及监管机制的不断完善，投资理财逐渐融入人们的生活.若 家
庭有资产 万，他们的投资预期年收益率不低于 ，通过考察，有两个投资方案供他们选择：
甲方案：
年收益(万元)
概率( )
乙方案：
年收益(万元)
概率( )（1）如果 家庭投资甲方案，且达到他们的投资预期年收益率，试求 的最小值；
（2）在（1）的条件下他们投资哪个方案较好？请说明理由；
（3）若年收益率不变，根据（2）中的选择，那么他们至少需要多少年才会使资产翻一番？
注：上年度的收益和本金都作为下年度的投资本金， ， .
2.（2021江苏省南通市海安市高三上学业质量监测）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑
球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为 ，
（1）求 的概率即
（2）求取出白球的数学期望 和方差
1.（2021年全国新高考Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正
确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类
问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
一、单选题
1．（2022·贵州贵阳·二模（理））下列命题为真命题的是（ ）
A．若数据 ， ， ，…， 的方差为3，则数据 的方差为5；
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实数
m的值是4；
C．若随机变量X服从正态分布 ， ，则 ；
D．若随机变量X服从二项分布 ， ，则 ．
二、多选题
2．（2022·湖南师大附中二模）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错
开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分
别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·二模）已知随机变量 服从二项分布 ，其数学期望 ，随机变量 服从正
态分布 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通
过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图
像像素点规模为1行 列时，设第i列像素点的亮度为 ，则该图像对比度计算公式为
．已知某像素点规模为1行 列的图像第i列像素点的亮度 ，现
对该图像进行调整，有2种调整方案：① ；②
，则（ ）
A．使用方案①调整，当 时，
B．使用方案②调整，当 时，C．使用方案①调整，当 时，
D．使用方案②调整，当 ， 时，
5．（2022·江苏南京·模拟预测）下列命题中，正确的命题的序号为（ ）
A．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ，则当 时概率最大
6．（2022·福建·模拟预测）在某独立重复实验中，事件 相互独立，且在一次实验中，事件 发生的概
率为 ，事件 发生的概率为 ，其中 .若进行 次实验，记事件 发生的次数为 ，事件 发
生的次数为 ，事件 发生的次数为 .则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2022·山东日照·模拟预测）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和 个黑球，现从中有放
回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若 ，则 ______．
四、双空题
8．（2020·浙江·模拟预测）某研究机构采用实时荧光RT-PCR检测2019新型冠状病毒（2019-nCOV）.现有
一组病例样本检测中发现有 份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是
，则 =______；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是______.
9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个组成没有重复数字的四位数，且前三位(千百十位)中的偶数个数记为随机变量X，则 ________， ________．
五、解答题
10．（2022·福建三明·模拟预测）2021年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2021年1
月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（ ， ）（i＝1，2，…，10），其中 表示
第i个月， 表示第i个月A省新能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y与x具有
线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值：
1.5 89.1 385 15
(1)建立y关于x的线性回归方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量；
(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有
费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖
励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为 ， ， ．现有甲、乙两家汽车
销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X（单位：万
元）的分布列及数学期望．
附：对于一组数据（ ， ），（ ， ），…，（ ， ），其回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为 ．
11．（2021·四川南充·一模（理））在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查
口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，
， ， ， ，得到如下频率分布直方图．
(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指
标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，
记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望 ；
(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别
在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为 ， ．记甲、乙
两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望 ．
12．（2021·全国·模拟预测）《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周
岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的
使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
年龄/岁 80岁以上
使用过打车软件人
41 20 11 5 1
数
未使用过打车软件
1 3 9 6 3
人数(1)从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在 且未使用过打车软件的概率；
(2)从参与调查的年龄在 且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这
2人中年龄在 的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有
5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．
13．（2022·湖南·长沙一中一模）2022年北京冬奥会的成功举办在全国又掀起了运动的浪湖．墩墩和容融
两个小朋友相约打羽毛球．已知两人在每一局比赛中都不会出现平局，其中墩墩每局获胜的概率均为
．
(1)若两人采用五局三胜制，则墩墩在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
(2)若两人采用三局两胜制．且 ，则比赛结束时，求墩墩获胜局数X的期望；
(3)五局三胜制和三局两胜制，哪种赛制对墩墩获得比赛胜利更有利？
14．（2022·山东泰安·三模）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会．
每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，不可继续抽奖，顾客每次抽中后，可以选
择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．
小明购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为 ， ， ，选择继续抽奖的概率均为 ，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小明第一次抽中，但所得奖金归零的概率；
(2)设小明所得奖金总数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
15．（2022·河南·模拟预测（理））受北京冬奥会的影响，更多人开始关注滑雪运动，但由于室外滑雪场
需要特殊的气候环境，为了满足日益增长的消费需求，国内出现了越来越多的室内滑雪场.某投资商抓住商
机，在某大学城附近开了一家室内滑雪场.经过6个季度的经营，统计该室内滑雪场的季利润数据如下：
第x个季度 1 2 3 4 5 6
季利润y（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5
根据上面的数据得到的一些统计量如下：
4.3 0.5 101.4 14.1 1.8
表中 ， .
(1)若用方程 拟合该室内滑雪场的季利润y与季度x的关系，试根据所给数据求出该方程；
(2)利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元；
(3)从这6个季度的利润中随机抽取4个，记季利润不低于4.5万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.附：线性回归方程 中， ， .参考数据：
16．（2022·福建南平·三模）南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升
第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训
后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到
如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩 近似于服从正态分布 ， 近似为这100人测试
成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），
①求 的值；
②利用该正态分布，求 ；(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于 的可以
获赠2次随机话费，测试成绩低于 的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（元） 10 30
概率
今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为 （单位：元），试根据样本估计
总体的思想，求 的分布列与数学期望.
参考数据与公式：若 ，则 ， ，
.
17．（2022·福建莆田·三模）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌
能响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元，15元或者20元代
金券一张，中奖率分别为 、 和 ，每人限点一餐．且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位
员工决定点餐试吃．
(1)求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率；
(2)这五人中抽到15元，20元代金券的人数分别用a，b表示，记 ，求随机变量X的分布列和数学期
望．
18．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，
与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲
进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为 ，
甲与丙比赛，甲赢的概率为 ，其中 ．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下
业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平
局，两队各获奖金3.6万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织
预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 的取值范围．
