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第 07 讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征
(精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数 的值是
（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，
解得 .
故选：C.
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））已知随机变量X的分布列为 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得：
．
故选:A
3．（2022·江苏淮安·高二期末）已知随机变量X满足 ， ，下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】根据方差和期望的性质可得： ,
,
故选：D
4．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦
实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为 ，实验次数为随机
变量 ，若 的数学期望 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得， 的所有可能取值为1,2,3，
，
所以 ，
令 ，
解得 或 ，又因为 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
故选：B
5．（2022·安徽滁州·高二期末）已知随机变量 的分布列为：
则随机变量 的方差 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得 ， ，
则 ，
当 ， 有最大值为 ．
故选：A．
6．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局
得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（
），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为 ，故 ，
又 ，故 ，解得 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：B.
7．（2022·山东东营·高二期末）设 ，随机变量的分布列为：
0 1
则当 在 上增大时（ ）
A． 单调递增，最大值为
B． 先增后减，最大值为
C． 单调递减，最小值为
D． 先减后增，最小值为
【答案】D
【详解】由题知 ，解得 ，
所以
所以
由二次函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 有最小值 .
故选：D
8．（2022·全国·高二课时练习）设 ，若随机变量 的分布列如下表：
－1 0 2P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以 ， ，
即 最大，
故选：C.
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）设离散型随机变量 的概率分布列为
0 1 2 3
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由概率分布列可得 ，故A正确； ，故B错误；
，故C正确； ，故D错误．
故选：AC
10．（2022·全国·高二课时练习）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开
展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学
校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记 为被选中的学校中了解冰壶的人数
在30以上的学校所数，则（ ）
A． 的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】BD
【详解】解：根据题意， 的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰
壶的人数在30以下的学校有6所，
所以， ， ，
所以， 的概率分布列为：
所以， ， ，
所以，BD选项正确，AC选项错误.
故选：BD．
三、填空题
11．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）随机变量 的分布列如下表，则 ___________.
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【详解】由 ，所以 ， ，故答案为：20
12．（2022·广东佛山·二模）冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北
京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合 公里接力赛项目
非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每
人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存
目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根
据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4 5 6 >6
P 0.15 0.1 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.
【答案】
【详解】 ，则
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项
目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在
处每投进一球得3分，在 处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用 表示，如果
的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在
处投一球，以后都在 处投，已知甲同学在 处投篮的命中率为 ，在 处投篮的命中率为 ，求他初赛
结束后所得总分 的分布列．
【答案】分布列见解析.
【详解】设甲同学在 处投中的事件为 ，投不中的事件为 ，在 处投中为事件 ，投不中为事件 ，
由已知得 ， ，则 ， ， 的可能取值为： ， ， ， .
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
14．（2022·福建省福州第二中学高二期末）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得 分；如果甲和乙同时赢
或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分 的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分 的分布列及期望.
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析，
（1）解：依题意可得 的可能取值为 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为
0 1
（2）解：依题意可得 的可能取值为 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以 ．
B 能力提升
15．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极
大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽
取了 人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中 的值；
(2)估计该度假区 名㵀客中，消费金额低于 元的人数；
(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金劵（单位：元）的方案（如下表），
方案
代金券金额
概率
方案
代金券金额
概率
抽奖规则如下：①消费金额低于 元的游客按方案 抽奖一次；②消费金额不低于 元的游客按方案
抽奖两次.记 为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求 的分
布列和数学期望 .
【答案】(1)
(2) 人
(3)分布列答案见解析，
（1）解：由题意可得 ，解得 .
（2）解：由频率分布直方图可知，消费金额低于 元的频率为
，于是估计该度假区 名游客中消费金额低于 元的人
数为 人.
（3）解：由（2）可知，对于该度假区的任意一位游客，消费金额低于 元的概率为 ，不低于 元
的概率为 ，获赠的代金券金额 的可能取值为 、 、 、 ，则 ，， ， ，所以，随机变量
的分布列如下表所示：
所以， .
16．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病
例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检
测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 个人，把这 个人的血液混合在一起检
验，若检验结果为阴性，这 个人的血液全为阴性，因而这 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为
了明确这 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，
随机抽一人核酸检测呈阳性概率为 ，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测
通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据： ， ）
【答案】(1)方案一：分布列见解析，数学期望为 ；方案二：分布列见解析，数学期望为 ；
(2)选择方案一，理由见解析
(1)设方案一中每组的化验次数为 ，则 的取值为1，11，
∴ ， ，
∴ 的分布列为：
1 11
0.970 0.030
．
设方案二中每组的化验次数为 ，则 的取值为1，9，
， ，
∴ 的分布列为：
1 9
0.976 0.024
∴ ．
(2)根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为： 次．
根据方案二，该社区化验分组数为250，
方案二的化验总次数的期望为 次．
∵ ，∴方案一工作量更少．故选择方案一．
C 综合素养
17．（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，
于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小
项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除
雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分
为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；
乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 和 ，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是 和 ，
其中 .
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求 的值，在此基础上，设进入决赛的人数为 ，
求 的分布列及数学期望.
【答案】(1)甲；
(2) ， 的分布列见解析， .
（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为： ，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为： ， ，
， ， ， 甲进入决赛的可能性最大；
（2）由（1）知， ， ， ，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲
和丙、乙和丙进入决赛， ，
，整理得，解得 或 ，又 ， ；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为
，设进入决赛的人数为 ，则 可能的取值为 ， ， ， ，
，
， ，
， 的分布列如下：
.
