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第四节 随机变量的分布列、均值与方差
核心素养立意下的命题导向
1.结合离散型随机变量及其分布列的概念，考查常见离散型分布列的求法，凸显数据分析、数
学运算的核心素养．
2．结合具体实例，考查超几何分布的特征及应用，凸显数学建模的核心素养．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均
值、方差，凸显数学运算的核心素养．
4．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学建模的核心
素养．
[理清主干知识]
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念、性质及均值方差
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x，x，…，x，…，x ，X取每一个值x(i＝
1 2 i n i
1,2，…，n)的概率P(X＝x)＝p，以表格的形式表示如下：
i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝x)＝p，
i i
i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质：①p0，i＝1,2,3，…，n；②∑p＝.
i i
(3)称E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ x p 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散
1 1 2 2 i i n n
型随机变量取值的平均水平．
(4)称D(X)＝∑ (x－E(X))2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平
i i
均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
X 0 1
P 1 － p p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝ P ( X ＝ 1) 为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X 0 1 … m
P …
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
4．均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X ＋X )＝E(X )＋E(X )；
1 2 1 2
(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；
(5)若X ，X 相互独立，则E(X ·X )＝E(X )·E(X )；
1 2 1 2 1 2
(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；
(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(8)若X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则E(X)＝，D(X)＝；
(9)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(随机变量的概念)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(
)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C 选项A、B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机
变量，可能取值为0,1,2.
2．(分布列的性质)设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P p
则p的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.
3．(方差的计算)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 a 0.2 0.1则D(X)＝( )
A．1.44 B．1.2
C. D．2
解析：选B 由分布列性质知：0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.
所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.
4．(超几何分布)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数
为1的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：选B 设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n
＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.
二、易错点练清
1．(随机变量的概念不清)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合
格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取到合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的所有可能取值
为0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
2．(分布列的性质使用不当)已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝
________.
解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3，
∴P(X＝2)＝＝.
答案：
考点一 离散型随机变量的分布列
考法(一) 离散型随机变量分布列的性质
[例1] 离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的
值为( )
A. B．
C. D．
[解析] 由×a＝1，知a＝1，得a＝.故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
[答案] D
[方法技巧]
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非
负数．(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值
的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
考法(二) 离散型随机变量分布列的求法
[例2] 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f(x)＝x，f(x)＝
1 2
x2，f(x)＝x3，f(x)＝sin x，f(x)＝cos x，f(x)＝2.
3 4 5 6
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概
率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止
抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列．
[解] (1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
∵f(x)，f(x)，f(x)为奇函数，
1 3 4
∴从中任取两个相加即可得到一个奇函数．
故P(A)＝＝.
(2)易知ξ的所有可能取值为1,2,3,4.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝·＝，
P(ξ＝3)＝··＝，
P(ξ＝4)＝···＝.
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
[方法技巧]
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．
[提醒] 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要
注意应用计数原理、古典概型等知识.
考法(三) 超几何分布
[例3] 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法
语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
[解] (1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，
则P(A)＝＝.
(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
[方法技巧] 求超几何分布的分布列的步骤
[针对训练]
1．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
解析：选C 由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜
2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
2．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，
其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名
同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P考点二 离散型随机变量的均值与方差
考法(一) 离散型随机变量的均值与方差
[例1] 某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别
为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望
与方差．
[解] (1)由已知，有P(A)＝＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
方差D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
[方法技巧]
求离散型随机变量均值与方差的关键及注意
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分
布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
考法(二) 均值与方差在决策中的应用
[例2] 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目
供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损
15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：5G通信设备．受中美贸易战的影响，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可
能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[解] 若按“项目一”投资，设获利为X 万元，
1
则X 的分布列为
1
X 300 －150
1P
∴E(X )＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
1
若按“项目二”投资，设获利X 万元，
2
则X 的分布列为
2
X 500 －300 0
2
P
∴E(X )＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
2
D(X )＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
1
D(X )＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
2
E(X )＝E(X )，D(X )E(Z)，所以
n＝15时的日利润期望值大于n＝16时的日利润期望值，故选n＝15.
1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码
之和为X，则X的所有可能取值个数为( )
A．25 B．10C．7 D．6
解析：选C X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3
＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m× 3＝＝1，
∴m＝.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人
数，则P(ξ≤1)等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )
X 0 2 a
P p
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 因为p＝1－－＝，
所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，
所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，
所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.
5．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透
明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，
若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏
中获得的利润(单位：元)的期望值是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选A 摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－＝0.2.
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为
X，则E(X)为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：选B X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方
多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜
负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2
＋2＝.
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮
比赛是否停止没有影响．
所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
8．设0
