文档内容
8.4 均值与方差在生活中的运用（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 均值与方差的性质
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
2 3 6
P a
则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【答案】D
【解析】根据分布列可知 ，解得 ， ，
，所以 .故选：D.
【例1-2】（2022·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变 B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小 D．V（X）先减小后增大
【答案】D
【解析】 ，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．故选：D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量 的分布列为下表所示，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由 ，解得 由随机变量 的分布列的性质得 ，得
所以 故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则 （ ）．
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由分布列的性质得 ，∴ ，故选：D3．（2023·全国·高三专题练习（理））设 ，随机变量 的分布列是
0 p 1
P
则当p在区间 内增大时，（ ）
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】D
【解析】 ，
，令 ，则 ，易
得 单调递减，又 ，故存在 ，使得 ，则 在 单增，
在 单减，即 先增大后减小.故选：D.
考点二 利用均值最决策
【例2】1（2022·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2
月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对
消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共
需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种
活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回
答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对
填空题的概率均为 ，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．【答案】(1)
(2) ，选方案一； ，方案一、方案二均可； ，选方案二．
【解析】（1）采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
（2）若采用方案一，设其答对题数为 ，得分为X
则 ， ，
∴
若采用方案二，设其得分为Y，则 ，20，30，50，60，90
，
， ，
令 ，则 ，解得 或 （舍去）
即 ，选方案一数学期望大
，则 ，方案一、方案二数学期望一样
，则 ，选方案二数学期望大综上所述： 选方案一； 方案一、方案二均可； 选方案二．
【一隅三反】
1（2022·枣庄模拟）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售
活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为 元时，从该商品在两个平台
所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，
商品日销售量（单位：件） 6 7 8 9 10
甲平台的天数 14 26 26 24 10
乙平台的天数 10 25 35 20 10
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，
（1）求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日
销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；
（2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费
方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8
件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-
平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：令事件 “甲平台日销售量不低于8件”，
则 ，
令事件 “从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，
则
（2）解：设甲平台的日销售收入为 ，则 的所有可能取值为
所以， 的分布列为所以，
，
设乙平台的日销售收入为 ，则 的所有可能取值为
所以， 的分布列为：
所以，
.
所以，
令 得 ，令 得
所以，当 时，选择甲平台；当 时，甲乙平台均可；当 时，选择乙平
台.
2．（2022·南京模拟）空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
空气质量指数AQI 空气质量等级
[0，50] 优
（50，100] 良
（100，150] 轻度污染
（150，200] 中度污染
（200，300] 中度污染
（300，＋¥） 严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：
空气质量指数AQI [0，50] （50，100] （100，150] （150，200]
频数（单位：天） 3 6 15 6
（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中
点值作代表）
（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天
空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.77≈0.0824，结果精确到0.01）
（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要
更换滤芯数量情况如下：
更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5
概率 0.2 0.3 0.5
已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原
价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价
购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考
虑往年剩余滤芯和下一年需求）
【答案】见解析
【解析】（1）解：法一： ；
法二：
（2）解：一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为 ，
∴未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为
；
（3）法一：需要更换的滤芯个数X的所有可能取值为6，7，8，9，10，
，
，，
，
∴更换滤芯个数X的期望为：
个
若购买8个，则总花费为 元，
若购买9个，则总花费为9000元，∵ ，
故应购买9个最合理．
法二：按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是 ，9，10，而需求假设为Z，会有
；
；
那么当 时，会有花费 的分布为
均值
同理算出 ，
故此买9个最划算．
考点三 均值与其他知识的结合
【例3】（2022·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比
赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为 ，不合格者为 ；若两名参赛选手，同时合
格或同时不合格，记两名选手都是 .在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回
答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道
题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得 的个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得 （ ， ）个 的概率为 ，当
最大时，求 .
【答案】(1)甲的合格率为 ，乙的合格率为
(2)分布列见解析，
(3)当 时， 最大
【解析】(1)根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为 ，乙同学合格的概率为 .
(2)设一轮比赛中，甲同学获得 的个数为 ，则 的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得 的个数为0，1，2，故 的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
0 1 2
(3)设10轮比赛中，甲同学获得 的个数为 ，则 ，
则 ( 且 )．
由于 ，
因为 随着 的增大而增大，
所以 时， ，则有 ；
时， ，则有 ，
故当 时， 最大．
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任
取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.
(1)已知 ，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；
(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按
正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件
不合格的零件修复为合格零件的概率为 工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概
率p的最小值？
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：记事件 “此批零件检测未通过，恰好检测5次”则前4次有1次未通过，第5次未通
过 .
即恰好检测5次未通过的概率为 ；
(2)由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的
利润为 元，
设每件零件可获利X元， ；50；
； ； ，
则 ，
解得 ，
即：每件零件为合格零件的概率p的最小值为
2.（2022·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合
格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试
不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同
学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
分段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 5 10 a 30 a+5 10
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学
校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为 ，每次考实践操作合格的
概率均为 ，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考
试的次数的期望不低于2.5次，求 的取值范围.
【答案】(1)①a=20，平均分74；② (2)
【解析】(1)①由题意得： ，解得： ，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的[40，50)的学生为 ， [50，60)的学生为 ， [60，70)的学生为 ，
这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有
，
，
共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有 ，共6种情况，
所以这2人均来自[60，70)的概率为 .
(2)小明考试的次数为2次的概率为 ，
考试次数为3次的概率为 ，
考试次数为4次的概率为 ，
考试次数的期望值为 ，所以 ，解得： ，
因为 ，所以
即 的取值范围是 .
