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第9讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
复习要点 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分
布列.2.通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.3.理解取有限个值的离
散型随机变量的均值、方差的概念.4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决
一些简单的实际问题．
一 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．可能
取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量．
二 离散型随机变量的分布列及性质
1．概念：一般地，若离散型随机变量 X的可能取值为x ，x ，…，x ，我们称X取每
1 2 n
一个值x的概率P(X＝x)＝p，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机
i i i
变量的分布列也可以用表格表示(如下表)，还可以用图形表示.
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
2.离散型随机变量的分布列的性质
(1)p ≥0( i ＝ 1,2 ，…， n ) ；
i
(2) ∑ p ＝ 1 .
i
三 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值
称E(X)＝xp ＋ x p ＋…＋ x p ＝p为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
1 1 2 2 n n i i
它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝ ( x － E ( X )) 2 p 为随机变量X的
1 1 2 2 n n i i
方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．随机变量的方差和标准差都可以度量随机
变量取值与其均值的偏离程度．
四 均值与方差的性质
1．E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
2．D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数)．
常/用/结/论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
(3) D ( X ) ＝ E ( X 2 ) － ( E ( X )) 2 .如何推导呢？D(X)＝(X－E(X))2p＝p－2E(X)p＋2(X)p＝E(X2)－2E2(X)＋E2(X)＝E(X2)
i i i i i i
－(E(X))2.
(4)若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
1．判断下列结论是否正确．
(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()
(3)若随机变量X的分布列如下，则X服从两点分布.
X 2 5
P 0.3 0.7
()
(4)随机变量的方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小．(√)
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A． B．4
C．－1 D．1
解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案：A
3．(2024·重庆八中月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次
试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝，故P(ξ＝0)
＝1－p＝.
答案：B
4．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的方差D(X)＝________.
解析：由＋＝1，
得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为
X 0 1P
∴E(X)＝0×＋1×＝，
则D(X)＝2×＋2×＝.
答案：
题型 随机变量的概念
典例1写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示的意义．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为
可用有序数对来表示．
X，所得点数的最大值为Y.
解：(1)X可取0,1,2.
X＝0表示所取的三个球没有白球；
X＝1表示所取的三个球是1个白球，2个黑球；
X＝2表示所取的三个球是2个白球，1个黑球．
(2)X的可能取值为2,3，…，12，Y的可能取值为1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投掷
的两枚均匀的骰子出现的点数，则
X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
……
X＝12表示(6,6)．
Y＝1表示(1,1)；
Y＝2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；
Y＝3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；
……
Y＝6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结
果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断
其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.
对点练1(1)抛掷两枚均匀的骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的
点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点
(2)袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次不放回地任意取出1个球，直
到取出的球是白球为止，设所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…
解析：(2)红球有6个，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B．
答案：(1)D (2)B
题型 离散型随机变量的分布列
典例2(1)随机变量X的概率分布规律为 P ( X ＝ n ) ＝ ( n ＝ 1,2,3,4) ，其中a
由概率和为1可求出a＝.
为常数，则 P 的值为 ( )
＝P(X＝2)＋P(X＝3)
A． B． C． D．
(2)(2024·广东茂名联考)书法是我国及深受我国文化影响过的周边国家和地区特有的一
种文字美的艺术表现形式．某大学书法社团在2022级新生中招收新团员，通过楷书、隶书
两项书法技能测试进行选拔，每项测试结果只有3种，分别是一等、二等、三等，结果为
一等得3分、二等得1分、三等得0分．甲同学参加楷书测试结果为一等的概率为，二等
的概率为；参加隶书测试结果为一等的概率为，二等的概率为，两项测试互不影响．两项
测试结束后，甲同学得分
说明两项测试相互独立．
之和为ξ.
①求甲同学参加楷书、隶书两项书法技能测试，恰有一次为三等的概率；
②求ξ的分布列．
(1)解析：∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，∴＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×
＋×＝.故选D．
(2)解：①记A为事件“甲同学参加楷书测试的得分为i分(i＝0,1,3)”，
i
则P(A)＝，P(A)＝，P(A)＝1－－＝；
3 1 0
记B 为事件“甲同学参加隶书测试的得分为 i分(i＝0,1,3)”，则P(B)＝，P(B)＝，
i 3 1
P(B)＝1－－＝.
0
记D为事件“甲同学参加楷书、隶书两项书法技能测试，恰有一次为三等”．
由题意，D＝AB＋AB＋AB＋AB，
3 0 1 0 0 1 0 3
由事件的独立性和互斥性，得
乘法 加法
P(D)＝P(AB＋AB＋AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
3 0 1 0 0 1 0 3 3 0 1 0 0 1 0 3
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＋×＋×＝.
3 0 1 0 0 1 0 3
所以甲同学参加楷书、隶书两项书法技能测试，恰有一次为三等的概率为.
②由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性与互斥性，得P(ξ＝0)＝P(AB)＝×＝，
0 0
P(ξ＝1)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝×＋×＝，
1 0 0 1 1 0 0 1
P(ξ＝2)＝P(AB)＝×＝，
1 1
P(ξ＝3)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝×＋×＝，
3 0 0 3 3 0 0 3
P(ξ＝4)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝×＋×＝，
3 1 1 3 3 1 1 3
P(ξ＝6)＝P(AB)＝×＝.
3 3
可得随机变量 ξ 的分布列为
写出分布列后一定要验证概率和是不是1.
ξ 0 1 2 3 4 6
P
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值
均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各
个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
对点练2(1)某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一
时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，P(n)与时刻t无关，统计得到：
P(n)＝那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为( )
A． B． C． D．
(2)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个
箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张
每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取 20张，按照自己的
判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0
分．从所有参赛选手中随机抽取 20 人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，
(60,80]，(80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：
①分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数；
②从所抽取的20人中得分落在[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选
手中得分不超过20分的人数，求X的分布列．
(1)解析：由P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，得P(0)＝1，解得P(0)＝.故选
A．
答案：A(2)解：①由题意知，所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数有0.005 0×20×20＝2(人)，
得分落在(20,40]内的人数有0.007 5×20×20＝3(人)．
因此，所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数有2人，得分落在(20,40]内的人数有3
人．
②由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
题型 离散型随机变量的均值与方差
典例3(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C． E ( X ) ＝ 2 ， D ( X ) ＝ 1.8
直接应用E(X)，D(X)的公式即可．
D． E ( Y ) ＝ 5 ， D ( Y ) ＝ 7.2
利用期望方差的性质：E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)．
(2)(2023·新高考全国Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中
则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中
率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人
是甲、乙的概率各为0.5.
①求第2次投篮的人是乙的概率；
②求第i次投篮的人是甲的概率；
③已知：若随机变量X 服从两点分布，且P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝q，i＝1，2，…，
i i i i
n，则E＝.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
i
(1)解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋
1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－
2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝
5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD．
(2)解：①记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B，
i i
所以P(B)＝P(AB)＋P(BB)
2 1 2 1 2
＝P(A)P(B|A)＋P(B)P(B|B)
1 2 1 1 2 1
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
②设P(A)＝p，
i i
依题可知P(B)＝1－p，
i i2．求离散型随机变量的均值与方差的方法
(1)写出X的分布列．
(2)由均值的定义求E(X)．
(3)由方差的定义求D(X).
对点练3(1)(2024·山东东营高二期末)设0E(Y)，
2 1 2
所以应选择n＝12.
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍
的重要依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差决定.\s\up7( )
对点练4(2024·广西南宁模拟)在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人
员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答．假设甲能答对的题目有4道，
乙每道题目能答对的概率为.
(1)求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？
解：(1)记“甲第一次答错”为事件A，“甲第二次和第三次均答对”为事件 B，则
P(A)＝＝，P(AB)＝××＝，故甲在第一次答错的条件下，第二次和第三次均答对的概率为
P(B|A)＝＝＝.
(2)设甲答对的问题数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X 1 2 3
P
可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
设乙答对的问题数为Y，则Y的所有可能取值为0,1,2,3，
P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C××2＝，
P(Y＝2)＝C×2×＝，
P(Y＝3)＝3＝，
则Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
由E(X)＝E(Y)，D(X)
