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第 78 讲 随机变量及其概率分布、均值与方差
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有 唯一的实数 X ( w )与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，我们称 X 取每一个值 x 的概率 P(X＝x)＝p，i
1 2 n i i i
＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①p≥0(i＝1，2，…，n)；
i
②p ＋ p ＋ … ＋ p＝1.
1 2 n
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值
称E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp ＝∑xp为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取
1 1 2 2 i i n n i i
值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝为随机变量 X的方差，并称为随机变量 X的标准
1 1 2 2 n n
差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数).
1、（2020年高考浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1
个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______，
_______．
【答案】 ，【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，
所以 .
故答案为： .
2、（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得 ，
则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D．方法2：则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D．
3、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相
互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】∵ ，∴ 或 ，
，
，可知 ，故 ．故选B．
4、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10分，负方
得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)0.6；
(2)分布列见解析，E(X)=13.
【解析】
【分析】
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥
事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
(1)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．
(2)
依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
5、【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先
在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正
确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类
问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
1、若随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2] B. [1，2]
C. (1，2] D. (1，2)
【答案】 C
【解析】 由随机变量X的概率分布，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
2、 设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)的值为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意，得＋m＋＋＝1，解得m＝，则P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝.
3. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，则摸
出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．
【答案】
【解析】 数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或3，其发生的概率为2·，所以数字之
和小于2或大于3的概率为1－2·＝.
4、已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为
【答案】
【解析】 因为E（X）＝－＋＝－，所以E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－＋3＝.考向一 分布列的性质
例1、设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1) 求常数a的值；
(2) 求P；
(3) 求P.
【解析】 题目所给分布列为
X
P a 2a 3a 4a 5a
(1) 由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2) P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
(3) 因为<X<，所以X＝，，，
故P＝P＋P(X＝)＋P＝＋＋＝.
变式1、(1) 已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P x
则实数x的值为________，P＝________；
【答案】
【解析】 由题意，得＋＋x＋＋＝1，解得x＝.当<X<时，X＝1，2，3，4，所以P＝1－P(X＝5)＝1－
＝.
(2) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q＝________．
【答案】
【解析】 由分布列的性质知解得q＝.
变式2、(1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
【答案】
【解析】 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
【解析】 ①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝
3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
方法总结：分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考向二 离散型随机变量的均值与方差
例2、（2022·山东临沂·高三期末）一机床生产了 个汽车零件，其中有 个一等品、 个合格品、
个次品，从中随机地抽出 个零件作为样本.用 表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过 的 的值；
②求误差不超过 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
【解析】（1）对于有放回抽取，每次抽到一等品的概率为 ，且各次试验之间的结果是独立的，因此 ，从而 ， ，
， ， ，
所以 的分布列如下：
（2）对于不放回抽取，各次试验结果不独立， 服从超几何分布，样本中一等品的比例为 ，而总体中
一等品的比例为 ，由题意，
① 或 ；
② .
变式1、某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，
4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1) 设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解析】 (1) 由已知，有P(A)＝＝，
所以事件A发生的概率为.
(2) 随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
变式2、 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布．
(1) 每次取出的产品不再放回；
(2) 每次取出的产品仍放回．
【解析】 (1) 因为总共有7件正品，3件次品，
所以X的可能取值是1，2，3，4，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P
(2) 因为取出的产品仍放回，所以每次取时完全相同，所以X的可能取值是1，2，…，k，…，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
……
P(X＝k)＝×，
……
所以X的概率分布列为
X 1 2 3 … k …
P … × …
变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采
用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随
机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)分别抽取 人， 人， 人
(2)分布列见解析，
【解析】
(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为 ，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取 人， 人， 人；(2)随机变量 的所有可能取值为 ，
则 ， ，
， ，
∴随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望 .
方法总结： 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤：
①判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值；
②探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的
概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；
③写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正
确；
④求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，
如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典
型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度．
1、（2023·湖南邵阳·统考三模）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色
球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.
【答案】 /0.6
【详解】由题意，
袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，
不放回地依次随机摸出2个球，
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为： ，
故答案为： .
2、（2023·湖北·校联考三模）袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
【答案】 /0.4
【详解】有两种情况：
①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：
②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为： ，
故乙摸到红球的概率 ．
故答案为：
3、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，
中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向
全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现
有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】(1)
设“从10名学生中任选2名学生，至多有1名学生未观看直播”为事件 ，
.
(2)由题意可知 可取0，1，2，3
， ， ， ，4、（2022·湖北·高三期末）由文化和旅游部会同国家体育总局共同编制的《滑雪旅游度假地等级划分》
（以下简称《标准》）日前发布实施．《标准》的发布得到旅游业界的广泛关注，将有力推动我国冰雪旅
游高质量发展，助力北京2022年冬奥会举办．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销期间滑
雪场的收费标准是：
滑雪时间x小时
收费标准 免费 80元/人 120元/人
不足1小时的部分按1小时计算．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开
的概率分别为 ， ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 ， ，两人滑雪时间都不会超过3
小时．
(1)求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X，求N的分布列和期望（结果用分数表示）．
【解析】
(1)（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、80、120元，
两人都付0元的概率为 ；
两人都付80元的概率为 ；
两人都付120元的概率为 ．
则两人所付费用相同的概率为 ；
(2)（2）设甲、乙所付费用之和为X，X可能取值为0、80、120、160、200，240
则所以，随机变量X的分布列为：
X 0 80 120 160 200 240
P
元
