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第 78 讲 随机变量及其概率分布、均值与方差
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有 唯一的实数 X ( w )与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，我们称 X 取每一个值 x 的概率 P(X＝x)＝p，i
1 2 n i i i
＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①p≥0(i＝1，2，…，n)；
i
②p ＋ p ＋ … ＋ p＝1.
1 2 n
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值
称E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp ＝∑xp为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取
1 1 2 2 i i n n i i
值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝为随机变量 X的方差，并称为随机变量 X的标准
1 1 2 2 n n
差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数).
1、（2020年高考浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1
个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______，
_______．
【答案】 ，【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，
所以 .
故答案为： .
2、（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得 ，
则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D．方法2：则 ，
则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D．
3、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相
互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】∵ ，∴ 或 ，
，
，可知 ，故 ．故选B．
4、【2022年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10分，负方
得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)0.6；
(2)分布列见解析，E(X)=13.
【解析】
【分析】
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥
事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
(1)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．
(2)
依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
5、【2021年新高考1卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先
在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正
确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类
问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
1、若随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X
